2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高二下学期5月联考数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作高二下学期5月联考数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则f(5)+f′(5)=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知随机变量X∼N(2,σ2)，且P(2≤X≤3)=0.4，则P(X<1)=( )
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
3.某学校一同学研究温差x(单位：℃)与本校当天新增感冒人数y(单位：人)的关系，该同学记录了5天的数据：
由上表中数据求得温差x与新增感冒人数y满足经验回归方程y=bx+2.6，则下列结论不正确的是( )
A. x与y有正相关关系B. 经验回归直线经过点8,25
C. b=2.4D. x=9时，残差为0.2
4.已知函数fx=lnx−ax在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. a≥1B. a>1C. a≥13D. a>13
5.某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为34；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为23，则他第2球投进的概率为( )
A. 712B. 12C. 512D. 23
6.某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6mm∈N*，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的12，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的23.若有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则m的最小值为( )
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d．
临界值表：
A. 18B. 20C. 22D. 24
7.已知a=ln 2，b=e−1，c=ln33(e为自然对数的底数)，则实数a,b,c的大小关系为( )
A. a8.2024年3月12日植树节期间，某乡镇政府为了发展农村经济，根据当地的地理优势计划从A，B，C三种经济作物中选取两种进行种植推广.通过调研得到当地村民愿意种植A,B,C的概率分别为13,12,13，若从当地村民中随机选取4人进行交流，则其中至少有2人愿意种值A，且至少有1人愿意种植B时概率为( )
A. 827B. 1327C. 2354D. 2554
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量ξ,η满足η=2ξ+1，则D(η)=2D(ξ)+1
B. X∼Nμ,σ2，当μ不变时，σ越大，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
C. 若点x1,y1，x2,y2，⋯，xn,yn都落在直线x+y+2=0上，则变量x，y的样本相关系数r=−1
D. 若事件A,B满足PA>0，PB>0，PBA=PB，则有PAB=PA
10.已知定义域为R的函数f(x)，且函数y=f′(x)x的图象如图，则下列结论中正确的是( )
A. f′(1)=f′(−1)=0
B. 函数f(x)在区间(−∞,−1)上单调递增
C. 当x=1时，函数f(x)取得极小值
D. 方程f′(x)=0与f(x)=0均有三个实数根
11.围棋是古代中国人发明的最复杂的智力博弈游戏之一.东汉的许慎在《说文解字)中说：“弈，围棋也”，因此，“对弈
在当时特指下围棋，现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p1，其中甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率.甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是p2，而甲只赢一盘的概率高于甲只赢两盘的概率.若各盘棋的输赢相互独立，甲与乙､丙的三盘对弈均为只赢两盘的概率分别是P(A)和P(B)，则以下结论正确的是( )
A. 0B. 当p1+p2=1时，PA>PB
C. 当PA=PB时，p12+p1p2+p22>43
D. 存在p1，对任意的p2，都有PA>PB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X的分布列如下：
若EX=1.2，则DX= ．
13.已知fx是定义在R上的可导函数，满足f1=0，且对任意的x∈R，都有f′x>ex，则不等式flnx14.骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n(n=1,2,3,4)关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为 ；若甲直接挑战第3关时，记事件A=“三次点数之和等于15”，B=“至少出现一次5点”，则PBA= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1−10分别对应年份2013−2022．

根据散点图，分别用模型①y=bx+a，②y=c+d x作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中ti= xi,t=110i=110ti．
(1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y关于年份代码x的经验回归方程模型？并说明理由；
(2)根据(1)中所选模型，求出y关于x的经验回归方程，并预测该公司2028年的高科技研发投入．
附：对于一组数据x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn，其经验回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx．
16.(本小题15分)
已知函数fx=x3−3kx+2,k∈R．
(1)若x=−2是函数fx的极值点，求k的值，并求其单调区间与极值；
(2)若函数fx在0,2上仅有2个零点，求k的取值范围．
17.(本小题15分)
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为23，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答
(1)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
18.(本小题17分)
如图，开车从A站到E站有3条路线.甲、乙、丙路线分别为A→B→C→D→E,A→B→C→G→E,A→B→F→G→E.开车从A站到B站需要3分钟，从C站到D站需要2分钟，从F站到G站需要2分钟，从C站到G站需要，2.5分钟，从B站到C站需要t1分钟，从B站到F站需要t2分钟，从G站到E站需要t3分钟，从D站到E站需要t4分钟，受路上的红绿灯影响，t1,t2,t3,t4都是随机变量，且分布列如下(0
(1)若选择甲路线，开车从A站到E站的总时间为X分钟，求X的分布列；
(2)小张从这3条路线中选择1条，他在每站选择前进的方向时，都会等可能地选择其中一个方向，在他开车经过C站的前提下，若他开车从C站到E站的总时间少于5分钟的概率为0.4，求m的值；
(3)以各条路线开车需要的总时间的期望为依据，若三条路线中只有丙路线最快捷，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
定义可导函数y=fx在x处的弹性函数为f′x⋅xfx，其中f′x为fx的导函数．在区间D上，若函数fx的弹性函数值大于1，则称fx在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作fx的弹性区间．
(1)若rx=ex−x+1，求rx的弹性函数及弹性函数的零点；
(2)对于函数fx=x−1ex+lnx−tx(其中e为自然对数的底数)．
(ⅰ)当t=0时，求fx的弹性区间D；
(ⅱ)若fx>1在(ⅰ)中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
借助导数的几何意义计算即可得．
【解答】
解：由题意可得f(5)=−5+8=3，f′(5)=−1，
故f(5)+f′(5)=3−1=2．
故选：B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
利用正态分布的对称性，列式计算即得．
【解答】
解：由X∼N(2,σ2)，得P(X<1)=P(X>3)=0.5−P(2≤X≤3)=0.5−0.4=0.1．
故选：D
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据x和y的变化规律，即可判断A；计算x,y，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程，即可求b，即可判断C；根据回归直线方程计算x=9时的y，计算y−y，即可判断D．
【解答】
解：由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故 A正确；
x=5+6+8+9+125=8，y=16+20+25+28+365=25，
样本点中心为8,25，经验回归直线经过点8,25，故 B正确；
将样本点中心代入直线方程，得25=8b+2.6，所以b=2.8，故 C错误；
y=2.8x+2.6，当x=9时，y=27.8，y−y=28−27.8=0.2，故 D正确．
故选：C
4.【答案】A
【解析】【分析】
利用导数与函数的关系将问题转化为a≥1x恒成立问题，从而得解．
【解答】
解：因为fx=lnx−ax，所以f′x=1x−a，
因为fx在区间1,3上单调递减，
所以f′x≤0，即1x−a≤0，则a≥1x在1,3上恒成立，
因为y=1x在1,3上单调递减，所以ymax=1，故a≥1．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果．
【解答】
解：设A,B分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知PBA=34，PBA=14，PA=23，这得到PA=1−PA=1−23=13．
故PB=PBAPA+PBAPA=34⋅23+14⋅13=712．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
根据题意先列出列联表计算χ2值，再根据χ2≥6.635计算出m的最小值．
【解答】
解：根据题意，列联表如下：
∴χ2=12m⋅3m⋅2m−3m⋅4m26m⋅6m⋅7m⋅5m=12m35；
∵有99%的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即χ2≥6.635，
∴12m35≥6.635，∴m≥19.352，又m∈N*，
则m的最小值为20．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】【分析】
根据a,b,c式子特点，构建函数f(x)=lnxx，利用导数判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较b,c大小，再由y=lnx的单调性比较a,c大小，则可得结果．
【解答】
解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx2，
故当x∈(0,e)时，f′(x)>0，fx单调递增，
当x∈(e,+∞)时，f′(x)<0，fx单调递减，
而b=e−1=lnee=f(e)，c=ln33=ln33=f(3)，
因为e<3，f(e)>f(3)，故c因为函数y=lnx在0,+∞上为增函数，
而 26= 223=8,336=3332=9，且8<9，
所以 2<33，所以a所以a故选：A．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查独立事件的乘法公式，属于中档题．
由题意分三种情况讨论，再结合独立事件的乘法公式即可得出答案．
【解答】
解：4人中，至少有2人愿意种植A，且至少有1人愿意种植B的可能性共有3种：
①有2人愿意种植A，愿意种植B，C的各有1人，
②有2人愿意种植A，有2人愿意种植B，
③有3人愿意种植A，有1人愿意种植B，
故所求概率P=C42×(13)2×C21×12×13
+C42×(13)2×C22×(12)2+C43×(13)3×12=2554．
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
根据方差的性质可判断A；根据正态分布的性质可判断B；根据相关系数定义可判断C；根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式可判定D．
【解答】
解：由方差的性质可知，若随机变量ξ,η满足η=2ξ+1，则D(η)=4D(ξ)，故 A错误；
若随机变量X∼Nμ,σ2，当μ不变时，σ越大，则数据越分散，即该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故B正确；
若点x1,y1，x2,y2，⋯，xn,yn都落在一条斜率为非零的直线x+y+2=0上，则变量x，y呈负相关，且变量x，y的样本相关系数r=−1，故 C正确；
因为PBA=PABPA=PB，得PAB=PAPB，
所以事件A,B为相互独立事件，
所以PAB=PABPB=PAPBPB=PA，故 D正确．
故选：BCD
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查原函数与导函数的图象关系，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的关系是解题的关键，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
由已知函数的图象，根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的关系，列表写出y，f′(x)和f(x)随x的变化情况，即可逐一对选项进行判断．
【解答】
解：对于A，当x=1时，y=f′(1)=0；
当x=−1时，y=−f′(−1)=0，即f′(1)=f′(−1)=0，∴A正确；
由函数图象可知，y，f′(x)和f(x)随x的变化情况如下表：
对于B，函数f(x)在(−∞,−1)上单调递增，即B正确；
对于C，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴在x=1处取得极小值，即C正确；
对于D，f′(x)=0现在确定的有两个实数根，无法判断f(x)=0的根的情况，即D错误．
故选：ABC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据题意甲只赢一盘的概率低于甲只赢两盘的概率得C31p11−p12【解答】
解：对于A，根据题意，甲与乙对弈只赢一盘的概率为C31p11−p12，只赢两盘的概率为C32p121−p1，
则C31p11−p1212，故12甲与丙对弈只赢一盘的概率为C31p21−p22，只赢两盘的概率为C32p221−p2，
则C31p21−p22>C32p221−p2，解得p2<12，故0对于B，由p1+p2=1得p1=1−p2，则PA=C321−p22p2=C32p221−p2⋅1−p2p2，
即PA=PB⋅1p2−1，又01，所以PA>PB，故 B正确；
对于C，令PA=PB，则C32p121−p1=C32p221−p2，化简为p12−p22=p13−p23，
故p1+p2p1−p2=p1−p2p12+p1p2+p22，即p1+p2=p12+p1p2+p22，
又因为0对于D，结合选项C，可得PA−PB=(p1−p2)[(p1+p2)−(p 12+p1p2+p 22)]
由A选项知p1>p2，p1−p2>0，
另一方面(p1+p2)−(p 12+p1p2+p 22)=−[p 22+(p1−1)p2+p 12−p1]可将其看作有关p2的二次函数h(p2)=−[p 22+(p1−1)p2+p 12−p1],p2∈(0,12)，若PA−PB>0对任意的p2∈(0,12)恒成立，
只需h(p2)=−[p 22+(p1−1)p2+p 12−p1]>0对任意的p2∈(0,12)恒成立．
可知h(0)=−[p 12−p1]=−p1(p1−1)>0，h(12)=−(p 12−12p1−14)，二次函数图象开口向下，只需h(12)≥0，即12故选：ABD．
方法点睛：
直接翻译题意得到概率的大小关系．
二元换一元比较概率的大小关系．
有双元时，看成一个变量的二次函数，另一个当常数，按二次函数性质做题．
12.【答案】0.36或925
【解析】【分析】
根据给定条件，利用分布列的性质，期望方差计算公式可求解．
【解答】
解：由E(x)=1.2，得0×p+1×0.6+2×(1−0.6−p)=1.2，解得p=0.1，
依题意D(X)=0.1×(0−1.2)2+0.6×(1−1.2)2+0.3×(2−1.2)2=0.36．
故答案为：0.36
13.【答案】0,e
【解析】【分析】
条件f′x>ex可化为f′x−ex>0，考虑构造函数Fx=fx−ex，结合条件判断其单调性，不等式flnx【解答】
解：因为f′x>ex，所以f′x−ex>0，
考虑构造函数Fx=fx−ex，则F′x=f′x−ex>0，
所以函数Fx=fx−ex在R上单调递增，
不等式flnx所以Flnx所以lnx<1，
所以0所以不等式flnx故答案为：0,e．
14.【答案】724；710或0.7
【解析】【分析】
利用独立事件乘法公式结合条件概率公式求解即可．
【解答】
解：闯第1关时，2n+n=21+1=3，且基本事件为6，故概率为36=12，
闯第2关时，2n+n=22+2=6，且基本事件为62=36，故通过概率为1+2+3+4+5+636=712，
因每次闯关互不影响，则两个事件相互独立，故由独立事件乘法公式得概率为712×12=724；
而抛3次的基本事件为63=216，事件AB包含456,465,645,654,546,564,555,共7个基本事件，故PAB=7216，
而满足A的有456,663,636,366,465,645,654,546,564,555,共10个基本事件，故PA=10216，
由条件概率公式得PBA=PABPA=710．
故答案为：724；710
15.【答案】解：(1)根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差；模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜．
(2)设t= x，所以，
所以d=i=110yi−yti−ti=110ti−t2=，c=y−dt=60.825，
所以y关于x的经验回归方程为y=60.825+6.3 x，
令x=16，则y=60.825+6.3×4=86.025，
即预测该公司2028年的高科技研发投入86.025亿元．

【解析】(1)根据残差图判断；
(2)利用最小二乘法求非线性回归方程即可求解．
16.【答案】解：(1)f′x=3x2−3k,∵x=−2是函数fx的极值点，
∴f′−2=12−3k=0，解得k=4，
∴f′x=3x+2x−2，
可知：x=−2是函数fx的极大值点，满足题意．∴k=4．
令f′x>0可得x>2或x<−2；令f′x<0可得−2所以fx的单调增区间为：−∞,−2,2,+∞，单调减区间为：−2,2．
(2)函数fx在0,2上仅有2个零点(0不是函数fx的零点)
则令fx=x3−3kx+2=0，所以x2+2x=3k，
可转化为函数y=3k的图象与函数gx=x2+2x的图象有2个不同的交点，g′x=2x−2x2=2x−1x2+x+1x2,x∈0,2,
∵x2+x+1=x+122+34>0,∴x∈0,1时，g′x<0，函数gx单调递减；
x∈1,2时，g′x>0，函数gx单调递增，
∴x=1时，函数gx取得极小值即最小值，g1=3．
当x趋近于0时，gx趋近正无穷，因为g2=5，
所以3<3k≤5，解得：1∴k的取值范围是1,53．

【解析】(1)由题意可得f′−2=0，解方程求出k=4，再代入fx，对fx求导，即可得出答案．
(2)分离参数可得x2+2x=3k，此题可转化为函数y=3k的图象与函数gx=x2+2x的图象有2个不同的交点，对gx求导，求出gx的单调性和最值，即可得出答案．
17.【答案】解：(1)X的所有可能取值为1，2，3，
PX=1=C41C22C63=15，PX=2=C42C21C63=35，PX=3=C43C63=15，
X的分布列为：
所以EX=1×15+2×35+3×15=2，
DX=151−22+352−22+153−22=25；
(2)设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，
则Y∼B3,23．
所以EY=3×23=2，DY=3×23×1−23=23．
因为EX=EY，DX即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．

【解析】(1)得出X的所有可能取值并求出其对应概率即可得分布列，借助分布列计算即可得期望与方差；
(2)设学生乙答对的题数为Y，则Y∼B3,23，结合二项分布的期望公式与方差公式计算可得学生乙答对的题数的期望与方差，与X的期望与方差比较即可得．
18.【答案】解：(1)X的可能取值为9，9.5，10，10.5，
P(X=9)=0.4×0.5=0.2,P(X=9.5)=0.6×0.5=0.3，
P(X=10)=0.4×0.5=0.2,P(X=10.5)=0.6×0.5=0.3,
则X的分布列为
(2)若他开车经过C站，则他选择的路线是甲路线或乙路线，
记选择甲路线为事件M，选择乙路线为事件N，则P(M)=P(N)=0.5，
若他开车从C站到E站的总时间少于5分钟，则t3=2或t4=2，
所以由全概率公式得mP(M)+0.5P(N)=0.5m+0.25=0.4，解得m=0.3．
(3)设选择乙路线开车从A站到E站的总时间为Y分钟，
P(Y=3+2+2.5+2)=P(Y=9.5)=0.4m,
P(Y=3+2+2.5+3)=P(Y=10.5)=0.4(1−m),
P(Y=3+2.5+2.5+2)=P(Y=10)=0.6m,
P(Y=3+2.5+2.5+3)=P(Y=11)=0.6(1−m),
则E(Y)=9.5×0.4m+10.5×0.4(1−m)+10×0.6m+11×0.6(1−m)=10.8−m.
设选择丙路线开车从A站到E站的总时间为Z分钟，
P(Z=3+1.5+2+2)=P(Z=8.5)=0.5m,
3+1.5+2+3=3+2.5+2+2=9.5,P(Z=9.5)=0.5(1−m)+0.5m=0.5,
P(Z=3+2.5+2+3)=P(Z=10.5)=0.5(1−m)，
则E(Z)=8.5×0.5m+9.5×0.5+10.5×0.5(1−m)=10−m.
若三条路线中只有丙路线最快捷，则E(Z)即10−m<0.2×(9+10)+0.3×(9.5+10.5)10−m<10.8−m,
又0
【解析】(1)由题意X的可能取值为9，9.5，10，10.5，由独立乘法公式算出对应的概率即可得解；
(2)由全概率公式即可列方程求解；
(3)设选择乙路线开车从A站到E站的总时间为Y分钟，选择丙路线开车从A站到E站的总时间为Z分钟，分别算出EX,EY,EZ的表达式，即可列不等式组求解m的范围．
关键点点睛：第三问的关键是准确表示出EX,EY,EZ，列出不等式组即可顺利得解．
19.【答案】解：(1)r(x)=ex−x+1，r′(x)=ex−1，
r′(x)⋅xr(x)=(ex−1)⋅xex−x+1．
令r′(x)⋅xr(x)=(ex−1)⋅xex−x+1=0，解得x=0，
所以r(x)弹性函数的零点为x=0．
(2)(i)f(x)=(x−1)ex+lnx，函数定义域为{x|x>0}．
因为f′(x)=ex+(x−1)ex+1x=x2ex+1x，
f(x)的弹性函数f′(x)⋅xf(x)=x2ex+1(x−1)ex+lnx>1，
此不等式等价于下面两个不等式组，
(Ⅰ)(x−1)ex+lnx>0①x2ex+1>(x−1)ex+lnx②或(Ⅱ)(x−1)ex+lnx<0③x2ex+1<(x−1)ex+lnx④．
因①对应的函数就是f(x)，
由f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调增，
又f(1)=0，∴①的解为x>1；
而②⇔g(x)=x2ex+1−[(x−1)ex+lnx]=(x2−x+1)ex+1−lnx>0，
g′(x)=(2x−1)ex+(x2−x+1)ex−1x=(x3+x2)ex−1x在x>1时恒正，
则g(x)在x>1时单调递增，∴g(x)>g(1)>0，故②在x>1时恒成立．
于是不等式组(Ⅰ)的解为x>1；
同①的解法得③的解为0因为在0故不等式组(Ⅱ)无实数解．
综上，f(x)的弹性区间D=(1,+∞)．
(ii)f(x)>1在(1,+∞)恒成立⇔t<(1−1x)ex+lnx−1x在x>1恒成立，
设h(x)=(1−1x)ex+lnx−1x，则h′(x)=(x2−x+1)ex+2−lnxx2，
而(x2−x+1)ex+2−lnx=g(x)+1，由(i)知它在x>1恒为正，
∴h′(x)>0，h(x)在(1,+∞)递增，h(x)>h(1)=−1．
故t≤−1．
【解析】本题考查函数的弹性函数及弹性函数的零点的求法，考查函数的弹性区间的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算与求解能力，考查函数与方程思想，是一道综合题，属于难题．
(1)r(x)=ex−x，r′(x)=(ex−1)，利用导数性质能求出r(x)的弹性函数及弹性函数的零点；
(2)(i)f(x)=(x−1)ex+lnx，函数定义域为{x|x>0}，f(x)的弹性函数f′(x)⋅xf(x)>1，由此能求出f(x)的弹性区间；
(ii)问题转化为t<(1−1x)ex+lnx−1x在x>1恒成立，设h(x)=(1−1x)ex+lnx−1x，根据函数的单调性求出t的范围即可．x
5
6
8
9
12
y
16
20
25
28
36
α
0.050
0.010
xα
3.841
6.635
X
0
1
2
P
p
0.6
q
y
t
i=110xi−x2
i=110ti−t2
i=110yi−yxi−x
i=110yi−yti−t
75
2.25
82.5
4.5
120
28.35
t1
2
2.5
P
0.4
0.6
t2
1.5
2.5
P
0.5
0.5
t3
2
3
P
m
1−m
t4
2
3
P
0.5
0.5
喜欢
不喜欢
合计
男
3m
3m
6m
女
4m
2m
6m
合计
7m
5m
12m
x
−∞,−1
−1,0
0,1
1,+∞
y
−
+
−
+
f′(x)
+
−
−
+
f(x)
增
减
减
增
X
1
2
3
P
15
35
15
X
9
9.5
10
10.5
P
0.2
0.3
0.2
0.3