2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i为虚数单位，若复数z满足i3z=1+2i，则z在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知α为锐角，且cs(α+π6)=35，则sinα=( )
A. 3+110B. 2− 35C. 2 3−110D. 4 3−310
3.在△ABC中，已知a= 2，b= 3，B=60°，则A角的度数为( )
A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°
4.已知|a|=5，|b|=4，若a在b上的投影向量为−58b，则a与b的夹角为( )
A. 60°B. 120°C. 135°D. 150°
5.设样本数据x1，x2，⋯，x10的均值和方差分别为1和2，若yi=2xi−1(i=1,2,⋯,10)，则y1，y2，⋯，y10的方差为( )
A. 1B. 3C. 4D. 8
6.已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若m⊂α，α∩β=l，则“m/​/l”是“m//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=3AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A. 45
B. 910
C. 35
D. 710
8.如图，平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=2，∠A=45°.现将△BCD沿BD起，使二面角C−BD−A大小为120°，则折起后得到的三棱锥C−ABD外接球的表面积为( )
A. 10πB. 15πC. 20πD. 20 3π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有( )
A. 若α/​/β，m⊥α，m/​/n，则n⊥β
B. 若m/​/α，m//β，α∩β=n，则m/​/n
C. 若m/​/α，m/​/n，则n/​/α
D. 若m⊥α，m⊥β，n⊂α，则n/​/β
10.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计，得到如下的频率分布直方图，则( )
注：同一组中的数据用该组区间中点值代表．
A. 图中y的值为0.004
B. 估计样本中竞赛成绩的众数为70
C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
11.已知正三棱台A1B1C1−ABC，AB=2A1B1=4，A1A= 2，下列说法正确的是( )
A. 正三棱台A1B1C1−ABC体积为 2
B. 侧棱CC1与底面ABC所成角的余弦值为 63
C. 点A到面BB1C1C的距离为2 2
D. 三棱台A1B1C1−ABC的外接球的表面积为114π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|= 3，|b|=1，则|3a+b|= ．
13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c满足a2−b2=bc，则AB= ______，三角形ABC为锐角三角形，则cs(C−B)+csA的取值范围是______．
14.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AC//α，则截面四边形PEBF的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知：α,β∈(0,π2)，且csα= 55，sin(α−β)= 1010．
(1)求sin(2α−β)的值；
(2)求β的值．
16.(本小题15分)
如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且PC=AC=2BC=4，点D是PA的中点，点F为PC的中点．
(1)求异面直线BF和PA所成角的大小；
(2)求二面角D−BC−A的大小．
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c2=BA−⋅BC−2 3S，其中S为△ABC的面积．
(1)求角A的大小；
(2)设D是边BC的中点，若AB⊥AD，求AD的长．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D−PN−C的正切值为2．
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)证明：DM⊥PC；
(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立．
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为 2的正四面体ABCD内的任意一点，点P到四个面的距离分别为d1、d2、d3、d4，求d12+d22+d32+d42的最小值；
(3)已知无穷正数数列{an}满足：①存在m∈R，使得ai≤m(i=1,2,…)；②对任意正整数i、j(i≠j)，均有|ai−aj|≥1i+j.求证：对任意n≥4，n∈N*，恒有m≥1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由i3z=1+2i，得−iz=1+2i，
∴−i2z=(1+2i)i=−2+i，则z=−2+i，
∴z在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，位于第二象限．
故选：B．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：α为锐角，且cs(α+π6)=35，
则sin(α+π6)=45，
所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6=45× 32−35×12=4 3−310．
故选：D．
利用同角三角函数的基本关系求出sin(α+π6)的值，由α=(α+π6)−π6，结合两角差的正弦公式求解即可．
本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由a= 2，b= 3，得a