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    2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷(含答案)

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    2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷(含答案)

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    这是一份2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一(下)期末数学试卷(含答案),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.设i为虚数单位,若复数z满足i3z=1+2i,则z在复平面内对应的点在( )
    A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
    2.已知α为锐角,且cs(α+π6)=35,则sinα=( )
    A. 3+110B. 2− 35C. 2 3−110D. 4 3−310
    3.在△ABC中,已知a= 2,b= 3,B=60°,则A角的度数为( )
    A. 30°B. 45°C. 45°或135°D. 60°
    4.已知|a|=5,|b|=4,若a在b上的投影向量为−58b,则a与b的夹角为( )
    A. 60°B. 120°C. 135°D. 150°
    5.设样本数据x1,x2,⋯,x10的均值和方差分别为1和2,若yi=2xi−1(i=1,2,⋯,10),则y1,y2,⋯,y10的方差为( )
    A. 1B. 3C. 4D. 8
    6.已知α,β是两个不同的平面,m,l是两条不同的直线,若m⊂α,α∩β=l,则“m/​/l”是“m//β”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    7.如图,在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1=3AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
    A. 45
    B. 910
    C. 35
    D. 710
    8.如图,平行四边形ABCD中,AB=BD=DC=2,∠A=45°.现将△BCD沿BD起,使二面角C−BD−A大小为120°,则折起后得到的三棱锥C−ABD外接球的表面积为( )
    A. 10πB. 15πC. 20πD. 20 3π
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知m,n是不同的直线,α,β是不重合的平面,则下列命题中,真命题有( )
    A. 若α/​/β,m⊥α,m/​/n,则n⊥β
    B. 若m/​/α,m//β,α∩β=n,则m/​/n
    C. 若m/​/α,m/​/n,则n/​/α
    D. 若m⊥α,m⊥β,n⊂α,则n/​/β
    10.2023年10月26日,神舟十七号载人飞船成功发射,中国航天再创辉煌.为普及航天知识,弘扬航天精神,某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况,从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计,得到如下的频率分布直方图,则( )
    注:同一组中的数据用该组区间中点值代表.
    A. 图中y的值为0.004
    B. 估计样本中竞赛成绩的众数为70
    C. 估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分
    D. 估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.75
    11.已知正三棱台A1B1C1−ABC,AB=2A1B1=4,A1A= 2,下列说法正确的是( )
    A. 正三棱台A1B1C1−ABC体积为 2
    B. 侧棱CC1与底面ABC所成角的余弦值为 63
    C. 点A到面BB1C1C的距离为2 2
    D. 三棱台A1B1C1−ABC的外接球的表面积为114π3
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知向量a,b的夹角为5π6,|a|= 3,|b|=1,则|3a+b|= .
    13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边a,b,c满足a2−b2=bc,则AB= ______,三角形ABC为锐角三角形,则cs(C−B)+csA的取值范围是______.
    14.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,P为DD1的中点,过PB的平面α分别与棱AA1,CC1交于点E,F,且AC//α,则截面四边形PEBF的面积为______.
    四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题13分)
    已知:α,β∈(0,π2),且csα= 55,sin(α−β)= 1010.
    (1)求sin(2α−β)的值;
    (2)求β的值.
    16.(本小题15分)
    如图,AB是圆O的直径,点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C,且PC=AC=2BC=4,点D是PA的中点,点F为PC的中点.
    (1)求异面直线BF和PA所成角的大小;
    (2)求二面角D−BC−A的大小.
    17.(本小题15分)
    在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c2=BA−⋅BC−2 3S,其中S为△ABC的面积.
    (1)求角A的大小;
    (2)设D是边BC的中点,若AB⊥AD,求AD的长.
    18.(本小题17分)
    如图,四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形,底面ABCD为矩形,且平面PAD⊥平面ABCD,M,N分别为AB,AD的中点,二面角D−PN−C的正切值为2.
    (1)求四棱锥P−ABCD的体积;
    (2)证明:DM⊥PC;
    (3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值.
    19.(本小题17分)
    柯西是一位伟大的法国数学家,许多数学定理和结论都以他的名字命名,柯西不等式就是其中之一,它在数学的众多分支中有精彩应用,柯西不等式的一般形式为:设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn∈R,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
    (1)请你写出柯西不等式的二元形式;
    (2)设P是棱长为 2的正四面体ABCD内的任意一点,点P到四个面的距离分别为d1、d2、d3、d4,求d12+d22+d32+d42的最小值;
    (3)已知无穷正数数列{an}满足:①存在m∈R,使得ai≤m(i=1,2,…);②对任意正整数i、j(i≠j),均有|ai−aj|≥1i+j.求证:对任意n≥4,n∈N*,恒有m≥1.
    答案和解析
    1.【答案】B
    【解析】解:由i3z=1+2i,得−iz=1+2i,
    ∴−i2z=(1+2i)i=−2+i,则z=−2+i,
    ∴z在复平面内对应的点的坐标为(−2,1),位于第二象限.
    故选:B.
    把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
    2.【答案】D
    【解析】解:α为锐角,且cs(α+π6)=35,
    则sin(α+π6)=45,
    所以sinα=sin[(α+π6)−π6]=sin(α+π6)csπ6−cs(α+π6)sinπ6=45× 32−35×12=4 3−310.
    故选:D.
    利用同角三角函数的基本关系求出sin(α+π6)的值,由α=(α+π6)−π6,结合两角差的正弦公式求解即可.
    本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角差的正弦公式,考查运算求解能力,属于基础题.
    3.【答案】B
    【解析】解:由a= 2,b= 3,得a

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