2023-2024学年北京市首都师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市首都师大附中高一（下）期中数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=tan2xD. y=cs2x
2.若α是第二象限的角，P(x,6)为其终边上的一点，且sinα=35，则x=( )
A. −4B. ±4C. −8D. ±8
3.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于圆周角的16000，即2π弧度=360°=6000密位.在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数.且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0−03，123密位写成1−23，设圆的半径为1，那么10−00密位的圆心角所对的弧长为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
4.已知A(1,2)，B(3,7)，a=(x,−1)，AB//a，则( )
A. x=25，且AB与a方向相同B. x=−25，且AB与a方向相同
C. x=25，且AB与a方向相反D. x=−25，且AB与a方向相反
5.关于函数y=3cs(2x+π3)，则下列结论中：
①−π为该函数的一个周期；
②该函数的图象关于直线x=π3对称；
③将该函数的图象向左平移π6个单位长度得到y=3cs2x的图象；
④该函数在区间[−π6,π6]上单调递减．
所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④
6.设a，b是两个不共线向量，则“a与b的夹角为钝角”是“a⊥(a+b)”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)，g(x)=A2sin(ω2x+φ2)，其图象如图所示．为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )
A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位
8.若P是△ABC内部或边上的一个动点，且AP=xAB+yAC，则xy的最大值是( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
9.如图，质点P在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P的角速度大小为2rad/s，起点P0为射线y=−x(x≥0)与⊙O的交点.则当0≤t≤12时，动点P的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A. [0,π2]
B. [7π8,11π8]
C. [11π8,15π8]
D. [3π4,11π4]
10.如图，M为△ABC的外接圆的圆心，AB=4，AC=6，N为边BC的中点，则AN⋅AM=( )
A. 5
B. 10
C. 13
D. 26
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.计算sin330°= ．
12.已知α是第四象限角，且tanα=−512，则csα= ______，cs(π2+α)= ______．
13.a,b在正方形网格中的位置如图所示，则〈a,b〉= ______，向量a在向量b上的投影的数量为______．
14.已知函数f(x)=cs(2x+φ)(|φ|0,0≤φ0，
则f(x+2t)=sin(πx+2tπ)(x+2t)2−(x+2t)=sinπx(x+2t)2−(x+2t)≤sinπxx2−x=f(x)，
所以若f(x)在(1,+∞)上存在最大值点x0，则x0∈[2,3]，
因为函数f(x)在[2,3]上是一条连续不断的曲线，所以函数f(x)在[2,3]上存在最大值，
故函数f(x)在(1,+∞)上存在最大值，②对；
对于③，对任意的x∈(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，
f(1−x)=sin(π−πx)(1−x)2−(1−x)=sinπxx2−x=f(x)，
因为2023.7−2022.7=1，所以若f(2023.7)=a，则f(−2022.7)=a，③对；
对于④，f(23)=sin2π3(23)2−23= 32×(−92)=−9 34，
f(34)=sin34π(34)2−34= 22×(−163)=−8 23，
因为(9 34)2−(8 23)2=24316−1289=2187−204848>0，即9 34>8 23，故f(23)