八年级第一学期期末数学试卷 (3)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (3)，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠B＝∠CB. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C. a2＝c2﹣b2D. a：b：c＝：：
2. 如果是二次根式，那么x的取值范围（ ）
A. x＞﹣1B. x≥﹣1C. x≥0D. x＞0
3. 甲、乙两名同学某学期四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B. 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C. 乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D. 乙同学四次数学测试成绩较稳定
4. 对于一次函数的图像与性质，下列结论正确的是（ ）
A. 函数值随自变量增大而增大B. 函数图像与x轴交于负半轴
C. 函数图像不经过第三象限D. 函数图像与y轴交于负半轴
5. 如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数B. 众数、方差C. 平均数、方差D. 众数、中位数
7. 如图正方形网格中，等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A. 2B. 3C. 2D. 3
9. 如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
10. 如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A 2B. C. 4D.
11. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边，以AO为一边向左作等边，连接DC交直线l于点E．则点E的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题 （本大题共6小题，共24分）
13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________．
14. 如图，矩形绕点逆时针旋转（）得到矩形，此时点恰好在边上，若，则的大小为_____．
15. 国家科学技术进步奖是国务院设立的国家科学技术奖五大奖项之一，根据国家统计局公布的奖项数绘制成折线统计图，则奖项数的中位数为__________．
16. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______．
17. 在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．
18. 如图，在矩形中，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止，右图为P运动路程x与的面积y之间的关系图像，则矩形的面积是________．
三、解答题（本大题共78分）
19. 计算：．
20. 两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？
21. 为迎接初三毕业生中考体育测试，学校随机抽查了部分初三学生寒假期间参加体育锻炼活动的天数，并将收集的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的众数为______天，中位数为______天．
（2）请补全条形统计图．
（3）如果该校初三有1600名学生，请你估计全校约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天？
22. 在菱形中，，对角线上一点，是线段延长线上一点，且，连接，．
（1）若是线段的中点，如图①，求证：；
（2）若是线段或延长线上的任意一点，其他条件不变，如图②③，线段，有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
23. 为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．
（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？
（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元？客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车？
24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE．
（1）求证：；
（2）若，分别是，的中点，
①求证：△是等腰三角形；
②当时，时，求平行四边形的面积．
25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴，连接，且．
（1）若的面积为，求用含的式子表示的面积；
（2）如图2，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转至，连接，点在轴负半轴上，且，连接，求凹四边形的周长与四边形的周长之差与的周长的比值；
（3）在（2）的条件下，延长交轴于点，，若，的周长为15，求直线的解析式．
八下期末测试模拟卷
一、单选题（本大题共12小题，共48分）
1. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A. ∠A+∠B＝∠CB. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C. a2＝c2﹣b2D. a：b：c＝：：
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算即可．
【详解】解：A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x°，∠B=2x°，∠C=3x°，
∴x+2x+3x=180，
解得：x=30，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a：b：c=：：，
∴设a=x，b=x，c=x，
∵（x）2+（x）2≠（x）2，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理以及三角形内角和，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
2. 如果是二次根式，那么x的取值范围（ ）
A. x＞﹣1B. x≥﹣1C. x≥0D. x＞0
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出当．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可知：，
，
故选．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
3. 甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：
据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为，，下列说法正确的是（ ）
A. 甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分
B. 甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分
C. 乙同学四次数学测试成绩的众数是80分
D. 乙同学四次数学测试成绩较稳定
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义逐项计算、判断即可作答．
【详解】A项，甲同学四次数学测试成绩的平均数是分，故原说法错误，本项不符合题意；
B项，甲同学四次数学测试成绩的中位数是分，故说法正确，本项符合题意；
C项，乙同学四次数学测试成绩的众数是80分和90分，故原说法错误，本项不符合题意；
D项，根据方差越小数据越稳定，可知甲同学四次数学测试成绩较稳定，故原说法错误，本项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数的求解方法以及方差的意义，掌握方差越小数据越稳定，是解答本题的关键．
4. 对于一次函数的图像与性质，下列结论正确的是（ ）
A. 函数值随自变量增大而增大B. 函数图像与x轴交于负半轴
C. 函数图像不经过第三象限D. 函数图像与y轴交于负半轴
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，，
∴函数值随自变量增大而减小，故选项A错误，不符合题意；
函数图像与x轴的交点坐标为，故选项B错误，不符合题意；
该函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选项C正确，符合题意；
函数图像与y轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5. 如图，要使平行四边形成为菱形，需添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形，利用菱形的定义判定法可得答案．
【详解】解： 平行四边形,
平行四边形是菱形，故符合题意；


，


是矩形，故不符合题意；
添加，可得 不能判定是菱形，故不符合题意；
，，
是矩形，故不符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
6. 下表是某校合唱团成员的年龄分布，对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A. 平均数、中位数B. 众数、方差C. 平均数、方差D. 众数、中位数
【答案】D
【解析】
【分析】由表易得x+(10-x)=10，所以总人数不变，14岁的人最多，众数不变，中位数也可以确定.
【详解】∵年龄为15岁和16岁的同学人数之和为：x+(10-x)=10，
∴由表中数据可知人数最多的是年龄为14岁的，共有15人，合唱团总人数为30人，
∴合唱团成员年龄的中位数是14，众数也是14，这两个统计量不会随着x的变化而变化.
故选D.
7. 如图在正方形网格中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，同理得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，计算即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
同理可得：，，，
，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝4，则BC的长是（ ）
A. 2B. 3C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，由题意可得为等边三角形，再由勾股定理即可求解．
【详解】解：在矩形ABCD中，，
∵∠AOB＝60°
∴为等边三角形
∴
在中，
故选C
【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
9. 如图是小明从学校到家行进的路程s(米)与时间t(分)的图象，观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走得快，其中正确的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由图象可知，横轴表示时间，纵轴表示路程，则点（20，1000）表示小明用时20分钟走了1000米，结合图象的实际意义依次分析各条信息即可.
【详解】解：①由图象的纵坐标可以看出学样离小明家1000米，故①正确.
②由图象的横坐标可以看出小明用了20分钟到家，故②正确.
③由图象的纵横坐标可以看出，小明前10分钟走的路程比一半少，故③错误.
④由图象的纵横坐标可以看出，小明后10分钟比前10分钟走得快，故④正确.
故选B.
【点睛】本题考查了函数的图象，理解函数图象上各点横纵坐标表示的实际意义是解题关键.
10. 如图，正方形的面积是4，点是的中点，点是上的动点，则的最小值为
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接PD，根据△ADP≌△ABP，即可得出PD＝PB，进而得到当D，P，E在同一直线上时，BP＋EP的最小值等于线段DE的长，再根据勾股定理求得DE的长，即可得出PE＋PB的最小值为．
【详解】解：如图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，
，
当，，在同一直线上时，的最小值等于线段的长，
正方形的面积是4，点是边的中点，
，，
在中，，
的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，确定点P的位置是解题的关键．
11. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为2，三角形ABC的三个顶点均在格点上，则BC边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据勾股定理可以求出BC的长度．
【详解】解：由勾股定理可得：
，故A正确．
故选：A ．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的意义是解题关键．
12. 如图，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点B、A，以AB为一边向右作等边，以AO为一边向左作等边，连接DC交直线l于点E．则点E的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出C和D点坐标，求出直线CD的解析式，再与直线AB解析式联立方程组即可求出交点E的坐标．
【详解】解：令直线中，得到，故，
令直线中，得到，故，
由勾股定理可知：，
∵，且，
∴，，
过C点作CH⊥x轴于H点，过D点作DF⊥x轴于F，如下图所示：
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的解析式为：y=kx+b，代入和，
得到：，解得，
∴CD解析式为：，
与直线联立方程组，
解得，故E点坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，本题的关键是求出点C、D的坐标，进而求解．
二、填空题 （本大题共6小题，共24分）
13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可求出答案．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是整数，
∴是一个平方数，
∴最小正整数n为5；
故答案为：5
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
14. 如图，矩形绕点逆时针旋转（）得到矩形，此时点恰好在边上，若，则的大小为_____．
【答案】##度
【解析】
【分析】由矩形的性质，可知，再由旋转，可知为等腰三角形，根据内角和求解即可.
【详解】解：如图所示，连接．
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握性质的性质是解题的关键．
15. 国家科学技术进步奖是国务院设立的国家科学技术奖五大奖项之一，根据国家统计局公布的奖项数绘制成折线统计图，则奖项数的中位数为__________．
【答案】188
【解析】
【分析】结合统计图根据中位数的概念进行求解即可.
【详解】由折线统计图得：2012年有212项，2013年有188项，2014年有202项，2015年有187项，2016年有171项，把奖项数从小到大排列为171，187，188，202，212，最中间的数为188，则中位数为188，
故答案为188.
【点睛】本题考查了中位数，将一组数据从小到大（或从大到小）进行排列后，如果数据个数是奇数个，则最中间的数所即为这组数据的中位数，如果是偶数个，则最中间两个数的平均数为这组数据的中位数.
16. 如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据直线求出P点坐标，不等式的解即为直线OP在直线PQ下方时，对应的x的范围
【详解】
∵点在上
∴
即
故
∵
即直线OP在直线PQ下方
由图知，此时
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去看
17. 在一个长米，宽为4米的长方形草地上，如图推放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据几何体的展开图，利用两点之间线段最短计算．
【详解】解：因为木块的主视图的高是米的等腰直角三角形，
所以等腰直角三角形的腰为2，斜边长为，
将木块展开如下，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】本题考查了几何体的展开图中计算最短距离，熟练掌握几何展开图是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，动点P从点B出发，沿，，运动至点A停止，右图为P运动的路程x与的面积y之间的关系图像，则矩形的面积是________．
【答案】20
【解析】
【分析】点P从点B运动到点C的过程中，y与x的关系是一个一次函数，运动路程为4时，面积发生了变化，说明BC的长为4，当点P在CD上运动时，三角形ABP的面积保持不变，就是矩形ABCD面积的一半，并且动路程由4到9，说明CD的长为5，然后求出矩形的面积．
【详解】解：结合图形可以知道，P点在BC上，△ABP面积为y增大，当x在4−−9之间得出，△ABP的面积不变，
得出BC＝4，CD＝5，
所以矩形ABCD的面积为：4×5＝20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出BC和CD的长，再用矩形面积公式求出矩形的面积．
三、解答题（本大题共78分）
19. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则，先乘除再化简，最后合并同类项，同时考虑去绝对值符号，最后运用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】题目主要考查二次根式运算法则、去绝对值及平方差公式的运用，掌握方式方法及公式运用是解题关键．
20. 两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？
【答案】距点B3米处.
【解析】
【分析】首先设BE=x，则CE=8－x，分别根据Rt△ABE和Rt△CDE的勾股定理求出AE和CE的长度，从而根据AE=CE得出x的值．
【详解】由题意可得：∠ABE=∠EDC=90°，
设BE=x，则DE=8-x
∵AE=CE，
∴
解得：x=3
答：那么点E应该选在距点B3m的地方．
考点：勾股定理的应用
21. 为迎接初三毕业生中考体育测试，学校随机抽查了部分初三学生寒假期间参加体育锻炼活动的天数，并将收集的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的众数为______天，中位数为______天．
（2）请补全条形统计图．
（3）如果该校初三有1600名学生，请你估计全校约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天？
【答案】（1）5，6 （2）见解析
（3）640名
【解析】
【分析】（1）先求出本次调查人数，锻炼8天的人数，然后根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据第（1）中所求数据补图即可；
（3）用总人数乘以“活动时间不少于7天”的百分比，计算即可得解．
【小问1详解】
解：本次抽样调查人数为（名），
锻炼8天的人数是（名），
∴众数为5天，中位数为6天；
故答案为：5，6
【小问2详解】
解：补图如下：
；
【小问3详解】
解：，
答：估计全校约有640名学生参加体育锻炼天数不少于7天．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22. 在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且，连接，．
（1）若是线段中点，如图①，求证：；
（2）若是线段或延长线上的任意一点，其他条件不变，如图②③，线段，有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）猜想：题图②中．题图③中．选题图②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质得到，进一步证明是等边三角形，得到，由三线合一定理得到，，则，推出，即可得到，由此可证明；
（2）选图②，作交于，利用可证明，即可得出最后结论．选图③，过点E作交延长线于点H，利用可证明，即可得出最后结论
【小问1详解】
证明：∵四边形为菱形，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：猜想：题图②中．题图③中，
选图②，证明如下：过点作，交于点，
是等边三角形，
∴，，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
．
选图③，证明如下：过点E作交延长线于点H，
∵是等边三角形，
∴，，
是等边三角形，
∴，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23. 为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车CS35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．
（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？
（2）若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，购车人需要交纳车辆购置各种税费杂费路桥保险等为每台汽车价格的22%，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元？客户实际需要花多少钱才能够买一辆自动型的CS35汽车？
【答案】（1）手动型560台和自动型汽车400台
（2）516.2万元，10.53万元
【解析】
【分析】（1）首先设在政策出台前的一个月销售手动型和自动型汽车分别为x，y台，然后根据出台前的数量之和和出台后的数量之和列出方程组，从而得出答案；
（2）根据两种不同车型的补贴方式分别求出补贴款，从而得出总的补贴款，根据实际售价减去政府补贴的5%得出实际的花费．
【小问1详解】
解：设在政策出台前的一个月销售手动型x台，自动型汽车y台根据题意，得
，
解得：，
答∶政策出台前一个月销售手动型560台和自动型汽车400台；
【小问2详解】
解：手动型汽车的补贴额为∶ (万元)；
自动型汽车的补贴额为∶ (万元)；
(万元)．
客户购买实际花费：9(1+22%)-95%=10.98-0.45=10.53万元，
答∶政策出台后第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴516.2万元． 客户实际需要花10.53万元才能够买一辆自动型的汽车．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．
24. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，点E在线段OC上，且OE=CE．
（1）求证：；
（2）若，分别是，的中点，
①求证：△是等腰三角形；
②当时，时，求平行四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②120
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，， ，则，，可得是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而结论得证；
（2）①由等腰三角形的性质可知，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由中位线的性质可知，由平行四边形的性质可知，可得，进而结论得证；②证明四边形是平行四边形，则，证明，则是等腰三角形，，设，则，，在中，由勾股定理得，，即，求出满足要求的值，进而可得的值，根据计算求解即可得平行四边形的面积．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，， ，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴由等腰三角形的性质可知，
∴．
【小问2详解】
①证明：∵△BOC是等腰三角形，E是CO中点，
∴，
∴，
∵G为AB中点，
∴，
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
②解：由题意知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，，即，
解得或 （不合题意，舍去），
∴，，
∴，
∴平行四边形的面积为120．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点在轴正半轴，连接，且．
（1）若的面积为，求用含的式子表示的面积；
（2）如图2，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转至，连接，点在轴负半轴上，且，连接，求凹四边形的周长与四边形的周长之差与的周长的比值；
（3）在（2）的条件下，延长交轴于点，，若，的周长为15，求直线的解析式．
【答案】（1）m
（2）
（3）y＝x+
【解析】
【分析】（1）令可直接得出点的坐标，进而可得出的长，根据三角形的面积公式可得出结论；
（2）根据周长的公式可直接表达所求的周长和比值；
（3）设，则，，，在点
的右侧取点，使，则，则，可证，可得，则，设，则，，由周长可得，解即可得到的值，进而得出点的坐标，代入即可得出直线的解析式．
【小问1详解】
令，则，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
由题意可知，是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
∴凹四边形的周长＝，
四边形的周长＝，
∴凹四边形的周长与四边形的周长之差＝，
∵的周长＝，
∴凹四边形的周长与四边形的周长之差与的周长的比值为．
【小问3详解】
如图，在点的右侧取点，使，
则，
设，则，
∴，
由（2）知，是等边三角形，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
在中，由三角形内角和可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∴，
∵的周长为15，
∴，
∴，，
过点作于点，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理可得，，
∴，
解得或（舍）．
∴，
∴，
∴，
将点的坐标代入，
解得．
∴直线的解析式为：．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，涉及三角形的面积问题，待定系数法求解析式，勾股定理，等边三角形的判定与性质等相关知识，作出辅助线构造全等是解题的关键
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
87
95
85
93
乙
80
80
90
90
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
15
x
10- x
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
87
95
85
93
乙
80
80
90
90
年龄/岁
13
14
15
16
频数
5
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x
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