八年级第一学期期末数学试卷 (5)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (5)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1. 二次根式中，最简二次根式有( )个
A. B. C. D.
2. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3. 由线段a．b．c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
4. 在某样本方差的计算公式s2=[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]中，数字10和8依次表示样本的（ ）
A. 容量，方差B. 平均数，容量C. 容量，平均数D. 方差、平均数
5. 如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A. 100°B. 95°C. 90°D. 85°
6. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若，则a与3的大小关系是（ ）
A. a＜3B. a≤3C. a＞3D. a≥3
8. 如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A. 5cmB. 4cmC. 3cmD. 2cm
9. 下列函数中，经过一、二、四象限的函数是（ ）.
A. B. C. D.
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
A. 1B. C. 2D. ＋1
二、填空题（本题共8小题，满分共24分）
11. 数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是___．
12. 已知，，则的值为________．
13. 如图，在数轴上，点、表示数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是________．

14. 直线y=x﹣3与直线y=﹣x+7交点坐标为__．
15. 如图，等边与正方形有一条共公边，点E在正方形外，连结，则_____°．
16. 使式子有意义的x的取值范围是________．
17. 已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．
18 如图，折叠矩形纸片，得折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕．若，，则________．

三．解答题：（本题共7小题，满分共66分）
19. 计算：
20. 如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD平行四边形.
21. 如图，为的边上的一点，，，，．

（1）求的长；
（2）求的面积．
22. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
23. 某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图1中m的值是 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
24. 定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．

（1）作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
25. 如图，直线与轴、轴分别交于点，．点的坐标为，点的坐标为．

（1）求的值，及一次函数解析式；
（2）若点是第二象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）探究：当运动到什么位置时，面积为，并说明理由．
八年级下学期期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，满分共30分）
1 二次根式中，最简二次根式有( )个
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含开得尽方的因数或因式.
【详解】，，，不是最简二次根式,
，，，无法化简，是最简二次根式，
故选C.
考点：本题考查的是最简二次根式的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握最简二次根式的定义，即可完成．
2. 在下列命题中，正确的是（ ）
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．两组对边平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
【详解】解：A、应为两组对边平行的四边形是平行四边形，故选项A错误，不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B说法正确，符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项C错误，不符合题意；
D、应为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项D错误,不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定与命题的真假辨别，掌握平行四边形、矩形和菱形及正方形的判定定理是关键．
3. 由线段a．b．c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项不合题意；
B、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项不合题意；
C、，即，由线段，，组成的三角形不是直角三角形，故本选项不合题意；
D、，即，由线段，，组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4. 在某样本方差的计算公式s2=[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]中，数字10和8依次表示样本的（ ）
A. 容量，方差B. 平均数，容量C. 容量，平均数D. 方差、平均数
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：方差计算公式：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，n表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
解：由于s2=[（x1﹣8）2+（x2﹣8）2+…+（x10﹣8）2]，所以样本容量是10，平均数是8．
故选C．
5. 如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ）
A. 100°B. 95°C. 90°D. 85°
【答案】C
【解析】
【详解】在中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故选C．
6. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正比例函数的增减性，得出k的取值范围，再将和带入一次函数，得出一次函数与x轴和y轴的交点，即可进行解答．
【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大，
∴，
把带入得：，
∴一次函数与y轴相较于，
把带入得：，解得：
∴一次函数与x轴相较于，
∴一次函数与y轴交于正半轴，于x轴交于负半轴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的相关内容．
7. 若，则a与3的大小关系是（ ）
A. a＜3B. a≤3C. a＞3D. a≥3
【答案】B
【解析】
详解】由题意得：a－3≤0，a≤3.
故选B.
8. 如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A. 5cmB. 4cmC. 3cmD. 2cm
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质可得AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，利用勾股定理列式求出AB，从而求出BE，设CD=DE=x cm，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵△ACD与△AED关于AD成轴对称，
∴AC=AE=6cm，CD=DE，∠ACD=∠AED=∠DEB=90°，
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=102，
∴AB=10cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4(cm)，
设CD=DE=x cm，则DB=BC-CD=（8-x）cm，
在Rt△DEB中，由勾股定理，得x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴CD=3cm．
∴BD=8-x =8-3=5(cm)，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
9. 下列函数中，经过一、二、四象限的函数是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数图象与系数的关系解答．
【详解】解：A. 经过一、二象限，故选项不符合题意；
B.因为，所以经过二、四象限，故选项不符合题意；
C.因为 ，，所以经过二、三、四象限，故选项不符合题意；
D.因为，，所以经过一、二、四象限，故选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【 】
A. 1B. C. 2D. ＋1
【答案】B
【解析】
【分析】先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴故选B．
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题（本题共8小题，满分共24分）
11. 数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是___．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
【详解】解：这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5=1，
则这组数据的方差是：
[（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]=；
故答案为．
12. 已知，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由、的值直接代入求解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值．
13. 如图，在数轴上，点、表示的数分别为0、2，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，由题意可得，即，因为，即可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
则点表示的实数是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．
14. 直线y=x﹣3与直线y=﹣x+7的交点坐标为__．
【答案】（5，2）
【解析】
【分析】将两个一次函数联立为方程组求解即可．
【详解】解：联立两个函数的解析式，得，
解得．
则直线y=x-3与y=-x+7的交点坐标（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点睛】本题主要考查两个一次函数交点与二元一次方程的联系，深刻理解二者的联系是解题关键．
15. 如图，等边与正方形有一条共公边，点E在正方形外，连结，则_____°．
【答案】45
【解析】
【分析】由题意可推出，的度数，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：45
【点睛】本题考查了正方形及等边三角形的性质．掌握相关结论是解题关键．
16. 使式子有意义的x的取值范围是________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得或，再分别计算出两个不等式组的解集即可．
【详解】解：由题意得：或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
17. 已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．
【答案】x≥0
【解析】
【详解】解：根据题意得当x≥0时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥0．
故答案为x≥0．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
18. 如图，折叠矩形纸片，得折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕．若，，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理可得，由折叠的性质可得，，则，在中根据勾股定理求即可．
【详解】解：在中，，，
，
由折叠的性质可得，，，
，
设，则，，
在中，
解得，即．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．
三．解答题：（本题共7小题，满分共66分）
19. 计算：
【答案】6-45
【解析】
【详解】【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：原式=49-48-（45-6+1）
=6-45
【点睛】本题考核知识点：二次根式乘法.解题关键点：运用乘法公式.
20. 如图，已知在四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AE＝CF，BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】见解析．
【解析】
【分析】由SAS证得△ADE≌△CBF，得出AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，证得AD∥BC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABCD是平行四边形．
【详解】证明：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
∵DE＝BF ，∠AED＝∠CFB ，AE＝CF ，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21. 如图，为的边上的一点，，，，．

（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）8 （2）60
【解析】
【分析】（1）由，根据的长求出的长，进而求出的长即可；
（2）在直角三角形中，由，以及的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，即可求出三角形面积．
【小问1详解】
解：，，
，
，
；
【小问2详解】
在中，，，，
，
为直角三角形，即，
，，
．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由▱ABCD得到OA=OC，OB=OD，由OA=OB，得到；OA=OB=OC=OD，对角线平分且相等的四边形是矩形，即可推出结论；
（2）根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB的长度．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，
OA=OC=AC，OB=OD=BD，
又∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，OA=OD．
又∵∠AOD=60°，
∴AOD是等边三角形，
∴OD=AD=4，
∴BD=2OD=8，
在RtABD中，AB=．
23. 某校学生会向全校1900名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图1和图2，请根据相关信息，解答系列问题：

（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，图1中m的值是 ．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】（1）50，32
（2）平均数是16元，众数是10元，中位数是15元
（3）608人
【解析】
【分析】（1）根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数和图1中m的值；
（2）根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【小问1详解】
解：由统计图可得，
本次接受随机抽样调查的学生人数为：，
，
故答案为：50，32；
【小问2详解】
本次调查获取的样本数据的平均数是：
（元），
本次调查获取的样本数据的众数是：10元，
本次调查获取样本数据的中位数是：15元；
【小问3详解】
该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为：（人），
即该校本次活动捐款金额为10元的学生有608人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24. 定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．

（1）作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
（2）已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
【答案】（1）①见解析；②相等，理由见解析
（2）变化，最大值为18
【解析】
【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论；
②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论；
（2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论．
【小问1详解】
解：①证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
和中，
，
．
，
．
②．
理由如下：
如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．

．
四边形，四边形均为正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
，
．
，
，，
；
【小问2详解】
的值发生变化；的最大值为18；理由如下：
由（1）得，是面积的三倍，
要使最大，只需的面积最大，
当是直角三角形，即时，有最大值．
此时，．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
25. 如图，直线与轴、轴分别交于点，．点的坐标为，点的坐标为．

（1）求的值，及一次函数解析式；
（2）若点是第二象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）探究：当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3），或，
【解析】
【分析】（1）把点的坐标为代入求出即可解决问题；
（2）是以长度6为底边，点纵坐标为高的三角形，根据，列出函数关系式即可；、
（3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：直线与轴交于点，
，
，
这个一次函数解析式为．
【小问2详解】
是以长度6为底边，点的纵坐标为高的三角形，
；
【小问3详解】
当点在轴上方时，

的面积为，
，
把代入一次函数，得
当点的坐标为，时，的面积为．
当点在轴下方时，同法可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为，或，．