八年级第一学期期末数学试卷 (20)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (20)，共29页。试卷主要包含了务必保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．全卷共4页，满分120分，测试用时为90分钟．
2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、姓名、测试室号、座位号、测试号，用2B铅笔将测试号相应号码的标号涂黑．
3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回．
参考公式：(方差公式：)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
2. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，若，则正方形和正方形面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
4. 如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝2，则AC的长是( )
A. 4B. 8C. 4D. 2
5. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得直线是
A. y=2x+2B. y=2x-2C. y=2（x-2）D. y=2（x+2）
6. 已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数为0，那么这组数据的方差是( )
A. 10B. 4C. 2D. 0.2
7. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A. 24B. 22C. 16D. 12
8. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表，某同学分析表中数据得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小．上述结论中正确的是( )
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
9. 直线与轴、轴交于A、两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
（提示：在轴上取一点，使，连接）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上．
11. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号）
12. 已知一次函数y＝﹣2x+5，若﹣1≤x≤2，则y的最小值是_____．
13. 若计算结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
14. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是_____．
15. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______________．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题8分，满分24分）
16. 计算：．
17. 已知y－2与x成正比，且当x＝2时，y＝－6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数图像上，求a的值．
18. 如图，过点的直线与直线交于．

（1）求直线对应表达式；
（2）求四边形的面积．
四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27）
19. 如图，以一边为直角边构造，且，，，．

（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
20. “加快数字中国建设，推进中国式现代化”．在2023年4月3日第六届数字中国建设峰会召开之际，我市某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
（大赛成绩频数分布统计表）

请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中__________；统计图中__________．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组中随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．

（1）求证：是菱形；
（2），，求的长．
五、解答题（三）（共2个小题，每小题12分，满分24分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．

（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
23. 背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
第二学期义务教育质量监测
八年级数学
说明：
1．全卷共4页，满分120分，测试用时为90分钟．
2．答卷前，在答题卡上用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、姓名、测试室号、座位号、测试号，用2B铅笔将测试号相应号码的标号涂黑．
3．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．务必保持答题卡的整洁．测试结束时，将测试卷和答题卡一并交回．
参考公式：(方差公式：)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 估计的值应在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴的值应在和之间，
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
2. 如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的对角线的性质，可得∠ACD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ACE的大小，再根据三角形外角定理，结合CE＝AC，易得∠CEF＝22.5°，再由三角形外角定理可得∠AFC的大小．
【详解】解：AC是正方形的对角线，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD＋∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝225°，
∴∠AFC＝90°＋22.5°＝112.5°；
故选B．
【点睛】此题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质．
3. 如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A. 150B. 200C. 225D. 无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
4. 如图，在Rt△ABC中．∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝2，则AC的长是( )
A. 4B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可
【详解】∵∠A=30°,∠B=90°
∴∠ACB=180°−30°−90°=60°
∵DE垂直平分斜边AC
∴AD=CD
∴∠A=∠ACD=30°
∴∠DCB=60°−30°=30°
∵BD=2
∴CD=4=AD
∴AB=4+2=6
在△BCD中,由勾股定理得：CB==2，
在△ABC中,由勾股定理得：AC==4
故选C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质, 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 含30度角的直角三角形, 勾股定理，需要灵活运用这些定理进行推理
5. 将直线y=2x向上平移两个单位，所得的直线是
A. y=2x+2B. y=2x-2C. y=2（x-2）D. y=2（x+2）
【答案】A
【解析】
【详解】平移时k的值不变，只有b发生变化
原直线的k=2，b=0；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=2，b=0+2=2．
∴新直线的解析式为y=2x+2．
故选A．
6. 已知一组数据－1，x，0，1，－2的平均数为0，那么这组数据的方差是( )
A. 10B. 4C. 2D. 0.2
【答案】C
【解析】
【分析】先由这组数据的平均数求出x，再根据方差公式进行计算即可．
【详解】这组数据−1，x，0，1，−2的平均数是0,所以x=5×0-（-1+0+1-2）=2
那么这组数据的方差= [(−1−0)2+(2−0)2+(0−0)2+(1−0)2+(−2−0)2]=2，
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是方差，解题的关键是熟练的掌握方差.
7. 如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A. 24B. 22C. 16D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】依据平行四边形的性质可得到，，根据折叠可得，，即可得出DE=8，再根据△ADE是等边三角形，即可得到△ADE的周长．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
由折叠可得，，，
∵将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，
，
∵，，
∴△ADE是等边三角形，
∴△ADE的周长为：8×3=24，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定和性质．解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
8. 甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后结果如下表，某同学分析表中数据得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字≥150个为优秀)；③甲班成绩的波动情况比乙班成绩的波动小．上述结论中正确的是( )
A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】在题目中，通常用样本平均数去估计总体平均数，结合表格中的数据相信你能判断①的正误；
对于②，中位数是一组按照从小到大依次排列数据中处在最中间的一个数据（或最中间两个数据的平均数），所以乙班同学中成绩高于150分数的人数多于甲班，据此即可判断②；
方差是用来衡量一组数据的波动大小，方差越大，说明这组数据的波动越大.
【详解】∵表中甲乙两班的参赛同学的平均数相同，
∴甲、乙两班学生成绩的平均水平相同，则选项①正确；
∵甲乙两班参赛人数相等，而乙班的中位数大于甲班的中位数，且乙班的中位数为151，
∴乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数，则选项②正确；
∵甲班的方差数大于乙班的方差数，方差越大，数据的波动越大，
∴甲班成绩的波动情况比乙班大，则选项③错误.
故答案选：B.
【点睛】本题考查的知识点是方差，解题的关键是熟练的掌握方差.
9. 直线与轴、轴交于A、两点，的平分线所在的直线的解析式是（ ）
（提示：在轴上取一点，使，连接）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对于已知直线，分别令与为0求出对应与的值，确定出A与的坐标，在轴上取一点，使，连接，由为的平分线，得到，
利用得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，设，可得出，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出坐标，设直线解析式为，将A与坐标代入求出与的值，即可确定出直线解析式．
【详解】解：对于直线，令，求出；令求出，
，，
即，，
根据勾股定理得：，
在轴上取一点，使，连接，如图所示：

为的平分线，
，
在和中，
，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
即，
设直线解析式为，将A与坐标代入得：，
解得：，
则直线解析式为．
故选：B．
【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
10. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O的一条直线分别与交于点E，F，连接交于点M，连接，若，，则下列结论：①，；②；③四边形是菱形；④.其中正确结论的个数是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质和，证明为等边三角形，再证明，得到是的角平分线，故可证明①；根据，可得，即可证明四边形是平行四边形，再证明即可得到，故可证明③；
根据，故无法证明，故②错误；根据含有角的直角三角形的三边关系和勾股定理可得，故可证明④．
【详解】解：四边形是矩形，O为的中点，
，
为等腰三角形，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
故①正确；
,
，
，
，
，，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
故③正确；
，
无法证明，
故②错误；
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
故正确的为①③④，为3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用上述性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案写在答题卡相应的位置上．
11. 比较大小：6_____7．（填“＞”，“＝”，“＜”号）
【答案】
【解析】
【分析】先把根号外因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解：6，7，
∵180＞147，
∴67，
故答案为：＞．
【点睛】此题考查二次根式的乘法运算：两个二次根式相乘等于把被开方数相乘，根指数不变；熟记运算法则是解题关键．
12. 已知一次函数y＝﹣2x+5，若﹣1≤x≤2，则y的最小值是_____．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一次函数的性质得出其增减性，进而解答即可．
【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x+5，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣1≤x≤2，
∴当x＝2时，y的最小值是1，
故答案为1
【点睛】此题主要考查了一次函数，根据一次函数的性质得出其增减性是解答此题的关键．
13. 若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
【详解】解：∵，
∴时的结果为正整数，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．
14. 如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交于点D，则的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，得垂直平分线段，推出，设，在中，，根据构建方程即可解决问题．
【详解】解：连接．
∵，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
15. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【分析】若函数的图像不过第二象限，则此函数的，，据此求解．
【详解】解：函数的图像不过第二象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与系数的关系，握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0是解题关键掌．
三、解答题（一）（共3个小题，每小题8分，满分24分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先进行二次根式的除法运算，然后化简二次根式后合并即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
17. 已知y－2与x成正比，且当x＝2时，y＝－6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点在这个函数图像上，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设（），把，代入求值即可；
（2）将点（a，6）的坐标代入函数的解析式求a的值．
【小问1详解】
解：设（），
当，时，
得到：，
解得，
则该函数关系式为：；
【小问2详解】
解：∵点（a，6）在函数图象上，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义及待定系数法求一次函数解析式．解题关键是注意本题中是“y-2与x成正比例”，而不是“y与x成正比例”．
18. 如图，过点的直线与直线交于．

（1）求直线对应的表达式；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）先求得点B，C的坐标，根据即可求解．
【小问1详解】
解：把代入得，则点坐标为；
把，代入得：，
解得，
所以直线的表达式为：；
【小问2详解】
交轴于，交轴于，
，，
四边形的面积．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形面积问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
四、解答题（二）（共3个小题，每小题9分，满分27）
19. 如图，以一边为直角边构造，且，，，．

（1）求证：为直角三角形．
（2）若点P为上一动点，连接，，求最小值．
【答案】（1）见解析 （2）最小值为
【解析】
【分析】（1）根据题意得，，，根据三角形内角和定理得，即可得，则，根据勾股定理的逆定理即可得，即可得；
（2）延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，
则，，根据矩形的性质和勾股定理得，根据，得当B、P、M三点共线时，取最小值为，即可得．
【小问1详解】
证明：根据题意得，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∴△ABC为直角三角形；
【小问2详解】
解：如图所示，延长至M，使得，连接，，过点B作于点N，

则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
当B、P、M三点共线时，取最小值为，
∴最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，两点之间线段最短性质，解题的关键是掌握这些知识点，确定的最小是．
20. “加快数字中国建设，推进中国式现代化”．在2023年4月3日第六届数字中国建设峰会召开之际，我市某校举行了“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
（大赛成绩频数分布统计表）

请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中__________；统计图中__________．
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组中随机抽取2名学生参加体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加体验活动的概率．
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出B组人数m的值；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为，则，
，即，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：①设男同学标记为A、B，女同学标记为1、2．可能出现的所有情况列表如下：
（可以用树状图表示）
共有种可能的结果，且每种结果的可能性相同．
其中刚好抽到1男1女的结果有种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加体验活动的概率为．
②从上表中可知，至少1名女生被抽取参加体验活动的有10种不同的结果．
∴至少1名女生被抽取参加体验活动的概率为．
【点睛】本题考查了频数分布表，列表法和画树状图求概率，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21. 如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，．

（1）求证：是菱形；
（2），，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）的长为
【解析】
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得：，然后由矩形的性质得，，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形．
，
∴平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
五、解答题（三）（共2个小题，每小题12分，满分24分）
22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，三点，点在轴上方，点C在轴正半轴上，且，连接，，已知．

（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
（3）在线段，上分别取点，，使得轴，在轴上取一点，连接，，，是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到到的距离等于点到的距离的2倍，即点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到点坐标．
（3）先求出直线的表达式，再求出点的坐标为，利用等腰直角三角形构造一个关于的方程即可．
【小问1详解】
解：将点，代入，得解得
线段的表达式．
【小问2详解】
已知，且点在轴正半轴上，
点，，，
设点的坐标为，如解图①，过点作轴的垂线交轴于点，则，
，即，解得，
点的坐标为．
【小问3详解】
存在
点的坐标为，设直线的表达式为，
将点，代入，得，解得，
直线的表达式．
已知点在线段上，设点的坐标为，则，
轴，且点在上，将代入，得，，解得．
点的坐标为，
如解图，当为直角顶点时，，，过点作轴，交于点，
易得点为的中点，且，点的坐标为，，
，
，解得，
．
点的坐标为，综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质，解题关键是分情况进行讨论．
23. 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值．
【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15
【解析】
【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形面积公式求解即可；
（知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小．
【详解】解：（小试牛刀）；
；
，
满足的关系式为：．
（知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：
由题意可得：，
，则的最小值，即为的最小值，
由三角形三边关系可得：，当三点共线时，
∴的最小值为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴米，
故答案为：；
（知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，
设，则，
∴，
由上可得当三点共线时，距离最小，最小为，
作交延长线于点F，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
∴代数式的最小值为15．
班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
组别
成绩（分）
人数
A
10
B
C
16
D
4
班级
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
55
135
149
191
乙
55
135
151
110
组别
成绩（分）
人数
A
10
B
C
16
D
4
A
B
1
2
A
—
B
—
1
—
2
—