八年级第一学期期末数学试卷 (24)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (24)，共67页。试卷主要包含了 下列属于最简二次根式的是， 直线关于轴对称后得到直线等内容，欢迎下载使用。

1. 下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，2，3B. 6，8，10C. ，2，2D. 1.5，2.5，3.5
4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
5. 实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议和整改意见．你认为这四个步骤合理的先后排序为（ ）
A. ①②③④B. ①③②④C. ③①②④D. ②③④①
6. 如图，在▱ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（ ）

A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°
7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分；B. 测量两组对边是否相等；
C. 测量对角线是否相等；D. 测量其中三个角是否为直角
8. 如图，在平行四边形中，，，，则（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
9. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
10. 直线关于轴对称后得到直线（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A. B. C. D.
12. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）

A. 5B. C. D. 2
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
14. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线解析式为 __________．
15. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______．
16. 若点在函数图象上，则的值是___________．
17. 若，为实数，且，则的值是________．
18. 如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_________．

三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
20. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）．
21. 在中，是边上高，，，，求：

（1）求的长；
（2）是直角三角形吗？为什么？
22. 如图，平行四边形中，连接．

（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
23. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽水平距离是多少？
26. 感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为

八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断最简二次根式的两个条件：不含分母（小数），不含开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、属于最简二次根式；
B、，故本项不是最简二次根式；
C、，故本项不是最简二次根式；
D、，故本项不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，2，3B. 6，8，10C. ，2，2D. 1.5，2.5，3.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵1＋2＝3，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵62＋82＝102，
∴能构成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多，
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴最值得关注的是统计数据中的众数．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
5. 实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议和整改意见．你认为这四个步骤合理的先后排序为（ ）
A. ①②③④B. ①③②④C. ③①②④D. ②③④①
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议．
【详解】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理分析数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况，最后得出结论，提出建议和整改意见．
因此合理的排序为：③①②④．
故选：C．
【点睛】考查对某一事件进行得出分析的步骤和方法，确定样本，收集数据、表示数据、分析数据，得出结论等几个步骤．
6. 如图，在▱ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（ ）

A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠A+∠B=180°，即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠A=180°-140°=40°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分；B. 测量两组对边是否相等；
C. 测量对角线是否相等；D. 测量其中三个角是否为直角
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不正确；
两组对边相等的四边形是平行四边形，故B选项不正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不正确；
三个角是直角的四边形是矩形，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查矩形的判定定理，熟记定理并应用解决问题是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，，，，则（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后可得，，再利用勾股定理计算出长即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
9. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，，，则，再证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
10. 直线关于轴对称后得到直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得直线与坐标轴交点坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特征求得点，，关于轴对称的点的坐标为，，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：由，当时，，
当时，，
则直线经过点，，
点，，关于轴对称的点的坐标为，，
则直线关于轴对称后得到直线经过点，，
设直线关于轴对称后得到直线为，代入
解得：，
∴直线关于轴对称后得到直线，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，一次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握以上是解题的关键．
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．
【详解】解：将点代入得：
∴交点坐标为：
由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可．
12. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）

A. 5B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过作于，过作于，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出．
【详解】解：过作于，过作于，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出点的坐标是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．
14. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 __________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】解：直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
15. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______．
【答案】甲
【解析】
【分析】比较四个人的方差的大小，方差最小的成绩最稳定.
【详解】甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，
而方差分别为，，，，
∵
∴甲的成绩最稳定.
故答案为：甲
【点睛】本题主要考查了数据的离散程度.极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度的量.当平均数相同时，极差、方差、标准差越小，表明这一组数据越稳定.掌握以上知识是解题的关键.
16. 若点在函数的图象上，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点代入函数解析式，得，变形得，然后把所求代数式变形为，整体代入计算即可求解．
【详解】解：把点代入，得
，
则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，整体代入求值是解题的关键．
17. 若，为实数，且，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．
【详解】解：，为实数，且，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算、绝对值与算术平方根非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．
18. 如图，已知菱形边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，交于，证明，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，，交于，
∵四边形是菱形且边长为，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
又∵为的中点，
∴，，
∴在中，，
当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求线段和的最值问题．解题的关键是学会添加常用辅助线．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）去括号并化简二次根式，再合并；
（2）将括号展开，再计算乘法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）32
【解析】
【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a-b，再代入a2-b2=（a+b）（a-b）计算可得；
（2）将a-b代入a2-2ab+b2=（a-b）2计算可得．
【详解】解：（1）∵，，
∴a+b=6，a-b=，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=；
（2）由（1）知a-b=，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2==32．
【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
21. 在中，是边上的高，，，，求：

（1）求的长；
（2）是直角三角形吗？为什么？
【答案】（1）
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）求得，根据勾股定理逆定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由为：
∵，
∴，
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，连接．

（1）尺规作图：作对角线垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，可得，再根据即可证明；
（3）结合（2）证明四边形为菱形，然后根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？
【答案】（1）30；40
（2）平均数为48元 （3）估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元
【解析】
【分析】（1）由出现次数最多的数据是30元，可得众数，由排在最中间的两个数分别是30元与50元，可得中位数；
（2）利用样本平均数公式进行计算即可；
（3）利用样本平均数估计总体即可
【小问1详解】
解：因为购买课外书的花费最多的是30元，有14人，
所以众数是30元，
因为总人数有（人），
排在最中间的两个数据是第20个与第21个，分别是30元与50元，
所以中位数是（元），
故答案为：
【小问2详解】
解：平均数为：（元）
∴这次调查获取的样本数据的平均数为48元．
【小问3详解】
解：200×48＝9600（元）
答：估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，众数，中位数，平均数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键.
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
【答案】（1）A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元；
（2）准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元.
【解析】
【分析】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元，根据题意列二元一次方程组求出x，y即可.
（2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围.设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，根据题意列出w与m的函数关系式，根据函数的增减性求出w的最大值即可.
【小问1详解】
设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元 ，
根据题意得 ，
解得 .
答：A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元 .
【小问2详解】
设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，
根据题意得 ，
解得 .
设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，
则 ，
即 ，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
最大值 ，
此时.
答：准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元 .
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及根据一次函数的增减性解决实际问题.熟练掌握以上知识是解题的关键.
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
【答案】（1）图象见解析；
（2）20厘米
【解析】
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把代入（1）中解析式求值即可．
【小问1详解】
一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，，
解得：
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26. 感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为

【答案】探究：证明见详解；应用：
【解析】
【分析】探究：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
应用：连接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CF=，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵EC=EC，
∴△EDC≌△EBC（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°
又∵∠EBC+∠EBF=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF；
应用：连接DF，

∵EF=DE，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF＝2，DF＝ ，
∵∠DCB=90°，CD=1，
∴CF=，
∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= ．
故答案为．
八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断最简二次根式的两个条件：不含分母（小数），不含开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、属于最简二次根式；
B、，故本项不是最简二次根式；
C、，故本项不是最简二次根式；
D、，故本项不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，2，3B. 6，8，10C. ，2，2D. 1.5，2.5，3.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵1＋2＝3，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵62＋82＝102，
∴能构成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多，
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴最值得关注的是统计数据中的众数．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
5. 实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议和整改意见．你认为这四个步骤合理的先后排序为（ ）
A. ①②③④B. ①③②④C. ③①②④D. ②③④①
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议．
【详解】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理分析数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况，最后得出结论，提出建议和整改意见．
因此合理的排序为：③①②④．
故选：C．
【点睛】考查对某一事件进行得出分析的步骤和方法，确定样本，收集数据、表示数据、分析数据，得出结论等几个步骤．
6. 如图，在▱ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（ ）

A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠A+∠B=180°，即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠A=180°-140°=40°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分；B. 测量两组对边是否相等；
C. 测量对角线是否相等；D. 测量其中三个角是否为直角
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不正确；
两组对边相等的四边形是平行四边形，故B选项不正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不正确；
三个角是直角的四边形是矩形，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查矩形的判定定理，熟记定理并应用解决问题是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，，，，则（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后可得，，再利用勾股定理计算出长即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
9. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，，，则，再证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
10. 直线关于轴对称后得到直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得直线与坐标轴交点坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特征求得点，，关于轴对称的点的坐标为，，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：由，当时，，
当时，，
则直线经过点，，
点，，关于轴对称的点的坐标为，，
则直线关于轴对称后得到直线经过点，，
设直线关于轴对称后得到直线为，代入
解得：，
∴直线关于轴对称后得到直线，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，一次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握以上是解题的关键．
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．
【详解】解：将点代入得：
∴交点坐标为：
由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可．
12. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）

A. 5B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过作于，过作于，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出．
【详解】解：过作于，过作于，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出点的坐标是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．
14. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 __________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】解：直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
15. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______．
【答案】甲
【解析】
【分析】比较四个人的方差的大小，方差最小的成绩最稳定.
【详解】甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，
而方差分别为，，，，
∵
∴甲的成绩最稳定.
故答案为：甲
【点睛】本题主要考查了数据的离散程度.极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度的量.当平均数相同时，极差、方差、标准差越小，表明这一组数据越稳定.掌握以上知识是解题的关键.
16. 若点在函数的图象上，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点代入函数解析式，得，变形得，然后把所求代数式变形为，整体代入计算即可求解．
【详解】解：把点代入，得
，
则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，整体代入求值是解题的关键．
17. 若，为实数，且，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．
【详解】解：，为实数，且，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算、绝对值与算术平方根非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．
18. 如图，已知菱形边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，交于，证明，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，，交于，
∵四边形是菱形且边长为，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
又∵为的中点，
∴，，
∴在中，，
当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求线段和的最值问题．解题的关键是学会添加常用辅助线．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）去括号并化简二次根式，再合并；
（2）将括号展开，再计算乘法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）32
【解析】
【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a-b，再代入a2-b2=（a+b）（a-b）计算可得；
（2）将a-b代入a2-2ab+b2=（a-b）2计算可得．
【详解】解：（1）∵，，
∴a+b=6，a-b=，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=；
（2）由（1）知a-b=，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2==32．
【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
21. 在中，是边上的高，，，，求：

（1）求的长；
（2）是直角三角形吗？为什么？
【答案】（1）
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）求得，根据勾股定理逆定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由为：
∵，
∴，
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，连接．

（1）尺规作图：作对角线垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，可得，再根据即可证明；
（3）结合（2）证明四边形为菱形，然后根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？
【答案】（1）30；40
（2）平均数为48元 （3）估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元
【解析】
【分析】（1）由出现次数最多的数据是30元，可得众数，由排在最中间的两个数分别是30元与50元，可得中位数；
（2）利用样本平均数公式进行计算即可；
（3）利用样本平均数估计总体即可
【小问1详解】
解：因为购买课外书的花费最多的是30元，有14人，
所以众数是30元，
因为总人数有（人），
排在最中间的两个数据是第20个与第21个，分别是30元与50元，
所以中位数是（元），
故答案为：
【小问2详解】
解：平均数为：（元）
∴这次调查获取的样本数据的平均数为48元．
【小问3详解】
解：200×48＝9600（元）
答：估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，众数，中位数，平均数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键.
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
【答案】（1）A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元；
（2）准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元.
【解析】
【分析】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元，根据题意列二元一次方程组求出x，y即可.
（2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围.设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，根据题意列出w与m的函数关系式，根据函数的增减性求出w的最大值即可.
【小问1详解】
设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元 ，
根据题意得 ，
解得 .
答：A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元 .
【小问2详解】
设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，
根据题意得 ，
解得 .
设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，
则 ，
即 ，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
最大值 ，
此时.
答：准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元 .
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及根据一次函数的增减性解决实际问题.熟练掌握以上知识是解题的关键.
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
【答案】（1）图象见解析；
（2）20厘米
【解析】
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把代入（1）中解析式求值即可．
【小问1详解】
一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为，
把，代入，得
，解得：，
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，，
解得：
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26. 感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为

【答案】探究：证明见详解；应用：
【解析】
【分析】探究：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
应用：连接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CF=，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵EC=EC，
∴△EDC≌△EBC（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°
又∵∠EBC+∠EBF=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF；
应用：连接DF，

∵EF=DE，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF＝2，DF＝ ，
∵∠DCB=90°，CD=1，
∴CF=，
∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= ．
故答案为．
八年级（下）期末数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断最简二次根式的两个条件：不含分母（小数），不含开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】解：A、属于最简二次根式；
B、，故本项不是最简二次根式；
C、，故本项不是最简二次根式；
D、，故本项不是最简二次根式；
故选：A．
【点睛】在判断最简二次根式的过程中要注意：①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义：二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 1，2，3B. 6，8，10C. ，2，2D. 1.5，2.5，3.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系和勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵1＋2＝3，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵62＋82＝102，
∴能构成直角三角形，符合题意；
C、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4. 端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是（ ）
A. 平均数B. 方差C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】学校食堂调查的目的是得出最喜欢哪种口味的粽子的人数最多的人数最多，以便决策，再根据众数的意义，即可得出结果．
【详解】解：根据题意，可知：学校食堂调调查的目的是明确最喜欢哪种口味的粽子的人数最多，
∵众数是数据中出现次数最多的数，
∴最值得关注的是统计数据中的众数．
故选：D．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．
5. 实施“双减”政策后，为了解我县初中生每天完成家庭作业所花时间及质量情况，根据以下四个步骤完成调查：①收集数据；②分析数据；③制作并发放调查问卷；④得出结论，提出建议和整改意见．你认为这四个步骤合理的先后排序为（ ）
A. ①②③④B. ①③②④C. ③①②④D. ②③④①
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目提供的问题情境，采取抽样调查的方式进行，于是先确定抽查样本，紧接着统计收集来的数据，对数据进行分析，最后得出结论，提出建议．
【详解】解：在统计调查中，我们利用调查问卷收集数据，利用表格整理分析数据，利用统计图描述数据，通过分析表和图来了解情况，最后得出结论，提出建议和整改意见．
因此合理的排序为：③①②④．
故选：C．
【点睛】考查对某一事件进行得出分析的步骤和方法，确定样本，收集数据、表示数据、分析数据，得出结论等几个步骤．
6. 如图，在▱ABCD中，∠A＝140°，则∠B的度数是（ ）

A. 40°B. 70°C. 110°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠A+∠B=180°，即可求出答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=180°-∠A=180°-140°=40°．
故选A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
7. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A. 测量对角线是否相互平分；B. 测量两组对边是否相等；
C. 测量对角线是否相等；D. 测量其中三个角是否为直角
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理解答．
【详解】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不正确；
两组对边相等的四边形是平行四边形，故B选项不正确；
对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不正确；
三个角是直角的四边形是矩形，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查矩形的判定定理，熟记定理并应用解决问题是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形中，，，，则（ ）

A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后可得，，再利用勾股定理计算出长即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
9. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的性质得出，，，则，再证是等边三角形，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
10. 直线关于轴对称后得到直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求得直线与坐标轴交点坐标，进而根据关于轴对称的点的坐标特征求得点，，关于轴对称的点的坐标为，，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：由，当时，，
当时，，
则直线经过点，，
点，，关于轴对称的点的坐标为，，
则直线关于轴对称后得到直线经过点，，
设直线关于轴对称后得到直线为，代入
解得：，
∴直线关于轴对称后得到直线，
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特征，一次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握以上是解题的关键．
11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．
【详解】解：将点代入得：
∴交点坐标为：
由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可．
12. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（ ）

A. 5B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】过作于，过作于，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出．
【详解】解：过作于，过作于，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
同理可证，
，，
，
，
点在直线上，
，
，
直线的解析式为，
设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出点的坐标是解决问题的关键．
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 化简：_________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平平方根性质计算即可．
【详解】解：．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，牢记性质是解题关键．
14. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式为 __________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据一次函数的平移可进行求解．
【详解】解：直线沿轴向上平移1个单位后，所得直线的解析式 ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的平移，熟练掌握函数图象平移的方法“左加右减，上加下减”是解题的关键．
15. 甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，方差分别为，，，，则数学成绩最稳定的学生是 _______．
【答案】甲
【解析】
【分析】比较四个人的方差的大小，方差最小的成绩最稳定.
【详解】甲、乙、丙、丁四名学生最近3次数学测试的平均分相同，
而方差分别为，，，，
∵
∴甲的成绩最稳定.
故答案为：甲
【点睛】本题主要考查了数据的离散程度.极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度的量.当平均数相同时，极差、方差、标准差越小，表明这一组数据越稳定.掌握以上知识是解题的关键.
16. 若点在函数的图象上，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】把点代入函数解析式，得，变形得，然后把所求代数式变形为，整体代入计算即可求解．
【详解】解：把点代入，得
，
则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，整体代入求值是解题的关键．
17. 若，为实数，且，则的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意，可得：，，据此分别求出、的值，然后把、的值代入计算即可．
【详解】解：，为实数，且，
，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算、绝对值与算术平方根非负性的应用，解题关键是利用非负性求出、的值．
18. 如图，已知菱形边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，交于，证明，可得，依据是等边三角形，即可得到，当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，，，交于，
∵四边形是菱形且边长为，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
又∵为的中点，
∴，，
∴在中，，
当点，，在同一直线上时，即点在点处时，的最小值为的长，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短问题，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称求线段和的最值问题．解题的关键是学会添加常用辅助线．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）去括号并化简二次根式，再合并；
（2）将括号展开，再计算乘法．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 已知，，分别求下列代数式的值：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）32
【解析】
【分析】（1）先由a、b计算出a+b、a-b，再代入a2-b2=（a+b）（a-b）计算可得；
（2）将a-b代入a2-2ab+b2=（a-b）2计算可得．
【详解】解：（1）∵，，
∴a+b=6，a-b=，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=；
（2）由（1）知a-b=，
∴a2-2ab+b2=（a-b）2==32．
【点睛】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
21. 在中，是边上的高，，，，求：

（1）求的长；
（2）是直角三角形吗？为什么？
【答案】（1）
（2）是，理由见解析
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）求得，根据勾股定理逆定理即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：；
【小问2详解】
解：为直角三角形，理由为：
∵，
∴，
∴为直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22. 如图，平行四边形中，连接．

（1）尺规作图：作对角线垂直平分线，分别交，，于点M，O，N（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，，求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）16
【解析】
【分析】（1）利用基本作图作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，，，再证明，可得，再根据即可证明；
（3）结合（2）证明四边形为菱形，然后根据勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，，
四边形为平行四边形，
，
，，
在和中，
，
∴，又，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定和性质和菱形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握基本作图方法．
23. 在学校举办的“读书月”活动中，八年级（3）班的小红调查了班级里所有同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）这次调查获取的样本数据的众数为______元，中位数为______元；
（2）计算这次调查获取的样本数据的平均数；
（3）若该校八年级共有学生200人，根据调查数据，估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了多少元？
【答案】（1）30；40
（2）平均数为48元 （3）估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元
【解析】
【分析】（1）由出现次数最多的数据是30元，可得众数，由排在最中间的两个数分别是30元与50元，可得中位数；
（2）利用样本平均数公式进行计算即可；
（3）利用样本平均数估计总体即可
【小问1详解】
解：因为购买课外书的花费最多的是30元，有14人，
所以众数是30元，
因为总人数有（人），
排在最中间的两个数据是第20个与第21个，分别是30元与50元，
所以中位数是（元），
故答案为：
【小问2详解】
解：平均数为：（元）
∴这次调查获取的样本数据的平均数为48元．
【小问3详解】
解：200×48＝9600（元）
答：估计该校八年级学生本学期购买课外书共花费了9600元．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，众数，中位数，平均数的含义，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键.
24. 在某次体育文化艺术节中，学校学生会开展“爱心义卖”体验活动，准备A种笔记本和B种笔记本共100本．若售出3本A种笔记本和2本B种笔记本收入65元，售出4本A种笔记本和3个B种笔记本收入90元．
（1）求A种笔记本和B种笔记本的价格；
（2）已知A种笔记本数量不超过B种笔记本的3倍，则准备A种笔记本和B种笔记本各多少本的时候总收入最多？求总收入的最大值？
【答案】（1）A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元；
（2）准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元.
【解析】
【分析】（1）设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元，根据题意列二元一次方程组求出x，y即可.
（2）设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，根据题意列出关于m的不等式，求出m的范围.设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，根据题意列出w与m的函数关系式，根据函数的增减性求出w的最大值即可.
【小问1详解】
设A种笔记本的价格是元，B种笔记本的价格是元 ，
根据题意得 ，
解得 .
答：A种笔记本的价格是15元，B种笔记本的价格是10元 .
【小问2详解】
设准备本A种笔记本，则准备本B种笔记本，
根据题意得 ，
解得 .
设准备的A种笔记本和B种笔记本全部售出后获得的总收入为元，
则 ，
即 ，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，
最大值 ，
此时.
答：准备75本A种笔记本，25本B种笔记本时，总收入最多，总收入的最大值为1375元 .
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，以及根据一次函数的增减性解决实际问题.熟练掌握以上知识是解题的关键.
25. 千百年来，手杆秤也可算作华夏“国粹”，是我国传统的计重工具，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（1）在图2中，通过描点的方法画出一次函数的图象，并求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式；
（2）当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是多少？
【答案】（1）图象见解析；
（2）20厘米
【解析】
【分析】（1）先利用描点法画出图象，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）把代入（1）中解析式求值即可．
【小问1详解】
一次函数的图象，如图所示，
设y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴求y（斤）与x（厘米）之间的函数表达式为；
【小问2详解】
当时，，
解得：
∴当秤钩上所挂物重是5.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离是20厘米．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26. 感知：如图①，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），连结ED，EB，过点E作EF⊥ED，交边BC于点F．易知∠EFC+∠EDC=180°，进而证出EB=EF．
探究：如图②，点E在射线CA上（不与点A、C重合），连结ED、EB，过点E作EF⊥ED，交CB的延长线于点F．求证：EB=EF
应用：如图②，若DE=2，CD=1，则四边形EFCD的面积为

【答案】探究：证明见详解；应用：
【解析】
【分析】探究：根据正方形的性质得到AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．求得∠ACB=∠ACD=45°，根据全等三角形的性质得到ED=EB，∠EDC=∠EBC，求得∠EFB=∠EDC，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
应用：连接DF，求得△DEF是等腰直角三角形，根据勾股定理得到CF=，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：探究：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°．
∴∠ACB=∠ACD=45°，
又∵EC=EC，
∴△EDC≌△EBC（SAS），
∴ED=EB，∠EDC=∠EBC，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°
又∵∠EBC+∠EBF=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF；
应用：连接DF，

∵EF=DE，∠DEF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵DE=2，
∴EF＝2，DF＝ ，
∵∠DCB=90°，CD=1，
∴CF=，
∴四边形EFCD的面积=S△DEF+S△CDF= ．
故答案为．
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50
x（厘米）
1
2
4
8
10
12
y（斤）
0.75
1.00
1.50
2.50
3.00
3.50