八年级第一学期期末数学试卷 (36)

这是一份八年级第一学期期末数学试卷 (36)，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：90分钟 试卷满分120分）
※注意事项：
考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 12，13，4C. 8，15，17D. 4，5，6
4. 把正比例函数的图象向下平移1个单位长度，得到的函数图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据3、8、5、、4的众数为4，则该组数据的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
6. 在中，，，是的中点，则的面积为（ ）
A. 12B. 24C. 10D. 20
7. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
9. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点．，，则线段的长为（ ）

A. 6B. 6.5C. 7D. 5
10. 甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 甲骑行速度是B. 两地的总路程为
C 乙出发后追上甲D. 甲比乙晚到达B地
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 函数自变量x的取值范围是 _____.
12. 甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是2.42m，方差分别是：，，这两名同学成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．
13. 若直角三角形两边长分别为6和8，则斜边上的高长为_____．
14. 如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为，则点A的坐标为____________．
15. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．

16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
三、解答题（第17题12分，第18题8分，共计20分）
17. 计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
18. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．

四、解答题（第19题8分，第20题8分，共计16分）
19. 某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分（为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的__________，__________，__________；
（2）这组数据的中位数所在的等级是__________；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
20. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

五、解答题（第21题8分，第22题8分，共计16分）
21. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线与直线交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为．
（1）求E的坐标和m的值；
（2）点P在直线上，若的面积为3，求点P的坐标．
22. 如图，四边形中，，E，F分别是对角线的中点，连接．

（1）求证；
（2）当，时，求的长．
六、解答题（10分）
23. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
（1）求，两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
七、解答题（10分）
24. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上一点，点是直线上一点．

（1）求一次函数的表达式；
（2）当点在第二象限，轴且时，求点的坐标；
（3）当以点，，为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
八、解答题（10分）
25. 已知四边形是正方形，点E是射线上的动点（与点C，D不重合），连接，点G在射线上（与点B不重合），且．
（1）如图1，当点E在上时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想；
（2）如图2，当点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
（3）当时，请直接写出长
第二学期期末教学质量检测
八年级数学试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分120分）
※注意事项：
考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】二次根式的被开方数是非负数，即．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
3. 以下四组数中，是勾股数的是（ ）
A. 1，2，3B. 12，13，4C. 8，15，17D. 4，5，6
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、 ，是勾股数，故本选项符合题意；
D、，不是勾股数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
4. 把正比例函数的图象向下平移1个单位长度，得到的函数图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把正比例函数的图象向下平移1个单位长度，得到的函数图象的解析式为．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象平移的法则．
5. 已知一组数据3、8、5、、4的众数为4，则该组数据的中位数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据众数的意义推出这组数据中的值，然后根据求一组数据的中位数的方法即可求出结果．
【详解】解：这组数据的众数是4，
数据中的的值是4，
将这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、8，
中间的是4，
该组数据的中位数为4．
故选：．
【点睛】本题主要考查众数和中位数的意义，熟练掌握众数的意义和求中位数的方法是解决问题的关键．
6. 在中，，，是的中点，则的面积为（ ）
A. 12B. 24C. 10D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】如图，过作于证明再利用三角形的面积公式可得答案．
【详解】解：如图，过作于 ，

∴
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，证明是解本题的关键．
7. 已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质得到，然后根据一次函数的性质得到一次函数的图象过第一、三象限，且与轴的正半轴相交．
【详解】∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，则
∴一次函数的图象过第一、三象限，且与轴的正半轴相交
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是根据正比例函数的性质得到.
8. 如图，在中，平分，交于点F，平分，交于点E，，，则的长为（ ）

A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，得出，同理可证，再由的长即可得出答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
，
，
同理可证．
，
，
解得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，掌握这些性质和判定是解题的关键．
9. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，，分别是，的中点．，，则线段的长为（ ）

A. 6B. 6.5C. 7D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】连接，然后勾股定理求得，进而根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵、分别是、的中点
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10. 甲、乙两位同学周末相约骑自行车去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，甲比乙早出发5分钟．甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍继续骑行，经过一段时间，乙先到达B地，甲一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：m）与甲骑行的时间x（单位：）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A. 甲的骑行速度是B. 两地的总路程为
C. 乙出发后追上甲D. 甲比乙晚到达B地
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数与图象的关系依次计算即可判断．
【详解】甲骑行1250m，故速度1250÷5=，A正确；
设乙的速度为x，则有20×250-15x=2000
解得x=200
∴乙的速度为，
甲骑行20分钟后，乙以原速的1.5倍，即1.5×200=继续骑行，
∵乙先到达B地，
∴由题意可得两地的总路程为15×200+（85-20）×300=22500m=，B正确；
设乙出发t后追上甲
依题意可得2000=
解得t=30
∴乙出发后追上甲，C错误；
85甲的路程为85×250=21250m
∴甲比乙晚到达B地，D正确
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考的压轴题．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 函数自变量x的取值范围是 _____.
【答案】x≥1且x≠3
【解析】
【分析】根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解.
【详解】解：根据题意得：，
解得x≥1，且x≠3，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠3．
故答案为x≥1且x．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
12. 甲、乙两名同学5次立定跳远成绩的平均值都是2.42m，方差分别是：，，这两名同学成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的定义判断即可，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．
【详解】解：，
甲同学成绩更稳定，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了根据方差判断稳定性，熟练掌握方差的定义是解题的关键．
13. 若直角三角形的两边长分别为6和8，则斜边上的高长为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了斜边上的高，勾股定理，分两种情况进行计算是解题的关键．分两种情况，当6和8均为直角边时，当6为直角边，8为斜边时，进行计算即可．
【详解】解：设斜边上的高为，
当6和8均为直角边时，
斜边，
故，
求出；
当6为直角边，8为斜边时，
另一条直角边，
故，
求出；
故答案为：或．
14. 如图所示，将正方形放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐标为，则点A的坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点B作轴于点E，过点A作，交的延长线于点D，与y轴交点为点F．证明，得到、的长，进而可求出点A的坐标．
【详解】
∵四边形是正方形
∴，
轴，
，
∵点B的坐标为
，
，
∴四边形是矩形
，
∴点A的坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查的是图形与坐标，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，掌握利用垂直证明三角形全等是解题的关键．
15. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______．

【答案】##
【解析】
【分析】观察图象可得当时，，即可求解．
【详解】观察图象得：当时，，即，
∴不等式的解集为．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键．
16. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，AH是的平分线，于点E，点P是直线AB上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】##
【解析】
【分析】作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF，OE长，再证明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF长即可．
【详解】解：如图，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，此时，PO+PE最小，最小值=EF的长，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=3，∠BAO=30°，
∴OB==，
∴OA=，
∴点O关于AB的对称点F，
∴OF⊥AB，OG=FG，
∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，
∵CE⊥AH于E，OA=OC，
∴OE=OC=OA=，
∴∠AEC=∠CAE，
∵AH平分∠BAC，
∴∠CAE=15°，
∴∠AEO=∠CAE=15°，
∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，
∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，
∴∠FOE=90°，
∴由勾股定理，得EF=,
∴PO+PE最小值=．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF的长是解题的关键．
三、解答题（第17题12分，第18题8分，共计20分）
17. 计算：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的除法，二次根式的乘法以及二次根式的性质，进行计算即可求解；
（2）先因式分解，然后将字母的值代入，进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式
；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
18. 如图，在矩形中，O为的中点，过点O作分别交，于点E，F．求证：四边形是菱形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】先证四边形为平行四边形，然后根据平行四边形对角线垂直证得菱形．
【详解】证明：如图，

∵四边形是矩形，
∴
∴
∵O为的中点
∴
∵
∴≌（）
∴
∴四边形是平行四边形
又∵
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形．
四、解答题（第19题8分，第20题8分，共计16分）
19. 某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为分（为整数），将成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：，B等级：，C等级：，D等级：．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的__________，__________，__________；
（2）这组数据的中位数所在的等级是__________；
（3）该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，求该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？
【答案】（1）8，12，30
（2）B （3）该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【解析】
【分析】（1）由B等级的人数除以它的频率即可求出总人数，用总人数乘以A等级的频率即可求出a的值，求得C等级的人数即可得到m的值；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据用样本估计总体的方法进行计算即可．
【小问1详解】
解：总人数：（人），
等级A的人数为：（人），
等级C的人数为：（人）,
等级C的频率为：，
∴,
故答案为：8，12，30；
【小问2详解】
解：由（1）可知，本次调查共抽取了40人，
A等级有8人，B等级有16人，
中位数是第20、21个数的平均数，则这组数据中位数所在的等级是B；
故答案为：B；
【小问3详解】
解：（人），
答：该校七年级需要进行安全再教育的学生约有400人．
【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，用样本估计总体，中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20. 如图，铁路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少处？

【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得．
【详解】解：∵使得两村到站的距离相等，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：站应建在离站处．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键．
五、解答题（第21题8分，第22题8分，共计16分）
21. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，点B．直线与直线交于点E，与x轴交于点C，点E坐标为．
（1）求E的坐标和m的值；
（2）点P在直线上，若的面积为3，求点P的坐标．
【答案】21. 点E坐标为，；
22. 或．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）先求得点C坐标为，点A坐标为，设点，根据三角形的面积公式可列出关于t的方程，求出t，即可得出P点的坐标，
【小问1详解】
解：当时，，即点E坐标为，
将点E的坐标代入得：，
解得：；
【小问2详解】
解：由（1）知，直线：，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴点C坐标为，点A坐标为，
设点，
由题意得，
∴，
即或，
解得或，
∴或．
【点睛】本题考查的是一次函数应用，涉及到一次函数的性质，面积的计算等，求得点的坐标是解题的关键．
22. 如图，四边形中，，E，F分别是对角线的中点，连接．

（1）求证；
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明；
（2）由（1）得，，利用勾股定理求出的长即可．
小问1详解】
证明：连接，

∵，E为中点，
∴，
∴，
∵F是中点，
∴；
小问2详解】
解：∵，，E，F分别是对角线的中点，，
∴，，，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质及等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”．
六、解答题（10分）
23. 为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
（1）求，两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买，两种品牌的足球共个，且品牌足球数不少于品牌足球数的倍，设购买两种品牌足球所需总费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低总费用．
【答案】（1）品牌足球单价为元，品牌足球单价为元
（2） 当品牌足球购买了 个，品牌足球购买了个，费用最低为元
【解析】
【分析】（1）设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元，根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用y，根据一次函数的增减性计算y最小值即可．
【小问1详解】
设 两种品牌足球的单价分别为 元， 元
根据题意，得
解得
∴ 品牌足球单价为 元， 品牌足球单价为 元；
【小问2详解】
根据题意可知， 品牌足球 个，依题意，
解得；
∴
∴ 随 的增大而减小
∴当 时， 最小，此时
综上， 取得最小值元， 此时 品牌足球购买了 个， 品牌足球购买了个
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最小值是解决本题的关键
七、解答题（10分）
24. 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，点是直线上一点，点是直线上一点．

（1）求一次函数的表达式；
（2）当点在第二象限，轴且时，求点的坐标；
（3）当以点，，为顶点的三角形是以为直角的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，则则，将点代入，解方程，即可求解；
（3）当点在第一象限时，过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，则，，设，则，将点代入，解方程，即可求解，当点在第四象限时，同理可得的值．
【小问1详解】
解：∵直线与轴交于点，
当时，，则,
一次函数的图象经过点，与轴交于点，
∴
解得：
∴
【小问2详解】
解：∵点是直线上一点，点是直线上一点，．
又点在第二象限，设，则，
∴，
解得：，
∴
【小问3详解】
解：当点在第一象限时，如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
设，则，
∵点在直线上，
∴或，
解得：
∴．
当点在第四象限时， 如图所示，

同理可得，
∴
解得：，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求解析式，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
八、解答题（10分）
25. 已知四边形是正方形，点E是射线上的动点（与点C，D不重合），连接，点G在射线上（与点B不重合），且．
（1）如图1，当点E在上时，猜想线段之间的数量关系，请直接写出你的猜想；
（2）如图2，当点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；
（3）当时，请直接写出的长．
【答案】（1），见解析
（2）成立，见解析 （3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）过点B作直线的垂线，垂足分别为H、G，推出四边形是矩形，再证明，推出，，得到矩形是正方形，据此即可求解；
（2）过点B作直线的垂线，垂足分别为H、G，推出四边形是矩形，再证明，推出，，得到矩形是正方形，据此即可求解；
（3）分两种情况讨论，连接，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为M，N，证明，推出，利用等积法求解即可．
【小问1详解】
解：，
证明：过点B作直线的垂线，垂足分别为H、G，如图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形正方形，
∴，∴；
【小问2详解】
解：结论成立，
证明：过点B作直线的垂线，垂足分别为H、G，如图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形是正方形，
∴，∴；
【小问3详解】
解：当点E在上时，连接，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为M，N，
由（1）知，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
同理，
∴；
当点E在的延长线上时，连接，过点A，C分别作的垂线，垂足分别为M，N，
由（2）知，，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，同理可证，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
同理，
∴；
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
等级
频数（人数）

A
B
16
C
D
4
等级
频数（人数）

A
B
16
C
D
4