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广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期三模数学试题（Word版附答案）
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这是一份广东省华南师范大学附属中学2024届高三下学期三模数学试题（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，其中为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A. 既不充分又不必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充要条件
3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
4. 等边的边长为3，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A. 3hB. 4hC. 5hD. 6h
6. 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得面面BCD，若三棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数和函数的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知定圆M：，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为______.
13. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.
14. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在区间上单调递减，，求的值.
16.（15分）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H.
（1）证明：；
（2）求直线BD与平面EFG的距离.
17.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.
（1）①写出X的分布列；
②证明：；
（2）某公司有意向投资该产品.若，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
18.（17分）已知函数.
（1）若在单调递减，求实数a的取值范围；
（2）证明：对任意整数a，至多有1个零点.
19.（17分）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
华南师范大学附属中学2024届高三综合测试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABC 10. BC 11. ABC
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 80 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：因为
……2分（每用对一个公式给1分）
……3分
……4分
（Ⅰ）当时，，……5分
所以；……6分
（Ⅱ）若在区间上单调递减，
则，……8分
所以，……9分
因为，
所以，……10分
因为，
所以，，……11分
所以，，……12分
故.
经检验，满足题意……13分
16.（1）证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以，……1分
又平面EFGH，……2分
平面EFGH，……3分
所以平面EFGH，……4分
因为平面ABD，
平面平面，……5分
所以.……6分
（2）解：由（1）知，平面EFGH，
知点B到平面EFG的距离即为直线BD与平面EFG的距离，……7分
连接EA，ED，
因为与均为正三角形，且E是BC的中点，
所以，，……8分
又平面平面BCD，
平面平面，
，平面ABC，
所以平面BCD，……9分
因为平面BCD，所以，
故以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，……10分
所以，，，……11分
设平面EFG的法向量为，
则，……12分
令，则，，
所以，……13分
所以点B到平面EFG的距离为，……14分
故直线BD与平面EFG的距离为.……15分
17. 解：（1）①由题意可得，，
故，，，
故X的分布列如下：
……6分
（第一问共6分，分布列表格1分，即求解了所有概率，但是没有画表格，则扣1分，分布列表格内有错误这一分也扣掉；写对随机变量可能的取值给1分；写错概率扣1分，其余的概率值每写对两个给1分）
②证明：，……7分
记，……8分
，……9分
两式作差可得，
，……10分
故
……12分
，即得证.……13分
（2）当时，由（1）可知，，……14分
故试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.……15分
18.【解答】解法一：（1）……1分
【当时，显然成立，……无持续求解，只写这个结论给1分，到这一步共2分】
在单调递减对，恒有
，恒有，……2分
令，……3分
则，……4分
令，解得（或，或）……5分
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，……6分
又，所以当时，，
所以……7分
（2）令，则，所以单调递减，……8分
又因为，
所以当时，；
当时，，……9分
令，则与零点一致……10分
当时，，
所以在单调递减，，……11分
当时，有，……12分
令，
因为，在递增，……13分
所以，……14分
故，……15分
综上，当时，
当时，有唯一的零点，
当时，恒大于0，不存在零点；
当时，，不存在零点；……16分
即对任意整数a，至多有1个零点，
所以至多有1个零点……17分
解法二：（1）同解法一
（2）当时，恒成立，
在上单调递减，
所以至多有1个零点……8分
令，则，所以单调递减，
又因为，
当时，；
当时，，……9分
当时，……10分
令，
当时，……11分
当时，，……12分
所以在单调递减，此时，……13分
所以在单调递增，……14分
所以；……15分
所以，当时，，所以，
故此时无零点；……16分
综上所述，对任意的整数a，函数至多1个零点……17分
19. 解：（1）当PQ与x轴平行时，，
因为P，Q两点均在抛物线C上，
所以，
即，……1分
因为的面积为16，
所以，……2分
解得，……3分
则的方程为；……4分
（2）直线AC的斜率为：，
则：，……5分
直线与的交点为T，
则点T为，……6分
所以……7分
……（∗）
……（∗∗）……8分
所以：
……9分
点A处切线方程：，
令，则的斜率，……10分
则有：，
即：，……11分
同理：：，
：，……12分
与相交得：，
得：；……13分
同理可得：，；……14分
将点，，代入（∗∗）得
……15分
……16分
所以，
所以存在，使得……17分
注：
（1）若直接用已知三点求三角形面积公式：
……8分点处，则5~8的步骤分没有，用这个公式代入计算，有适当的化简过程，依照后面的步骤给分；
（2）若直接用已知三点求三角形面积公式的行列式形式：
的绝对值.则不给推导公式的步骤分，若有展示将行列式展开，并代入相关点计算，则按照后续步骤给分；
（2）若直接用已知三点求三角形面积公式，强行得到两个三角形面积关系，不管是否得到正确结果，均不给分.X
1
2
3
4
5
P
p
X
6
7
8
9
10
P
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，其中为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A. 既不充分又不必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充要条件
3. 一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（ ）
A. 25B. 30C. 35D. 40
4. 等边的边长为3，若，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：）
A. 3hB. 4hC. 5hD. 6h
6. 将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），，将其沿BD折起，使得面面BCD，若三棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数和函数的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 为样本空间，随机事件A、B满足，，则有（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设a，b为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
10. 已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知定圆M：，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，则点Q的轨迹可能为（ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n个图中阴影部分的面积为______.
13. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______.
14. 设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在区间上单调递减，，求的值.
16.（15分）如图，边长为4的两个正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F分别为BC，CD的中点，点G在棱AD上，，直线AB与平面EFG相交于点H.
（1）证明：；
（2）求直线BD与平面EFG的距离.
17.（15分）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.
（1）①写出X的分布列；
②证明：；
（2）某公司有意向投资该产品.若，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
18.（17分）已知函数.
（1）若在单调递减，求实数a的取值范围；
（2）证明：对任意整数a，至多有1个零点.
19.（17分）已知抛物线：，过点的直线l交C于P，Q两点，当PQ与x轴平行时，的面积为16，其中O为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）已知点，，（）为抛物线上任意三点，记面积为，分别在点A、B、C处作抛物线的切线、、，与的交点为D，与的交点为E，与的交点为F，记面积为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
华南师范大学附属中学2024届高三综合测试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. ABC 10. BC 11. ABC
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 80 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：因为
……2分（每用对一个公式给1分）
……3分
……4分
（Ⅰ）当时，，……5分
所以；……6分
（Ⅱ）若在区间上单调递减，
则，……8分
所以，……9分
因为，
所以，……10分
因为，
所以，，……11分
所以，，……12分
故.
经检验，满足题意……13分
16.（1）证明：因为E，F分别为BC，CD的中点，
所以，……1分
又平面EFGH，……2分
平面EFGH，……3分
所以平面EFGH，……4分
因为平面ABD，
平面平面，……5分
所以.……6分
（2）解：由（1）知，平面EFGH，
知点B到平面EFG的距离即为直线BD与平面EFG的距离，……7分
连接EA，ED，
因为与均为正三角形，且E是BC的中点，
所以，，……8分
又平面平面BCD，
平面平面，
，平面ABC，
所以平面BCD，……9分
因为平面BCD，所以，
故以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，……10分
所以，，，……11分
设平面EFG的法向量为，
则，……12分
令，则，，
所以，……13分
所以点B到平面EFG的距离为，……14分
故直线BD与平面EFG的距离为.……15分
17. 解：（1）①由题意可得，，
故，，，
故X的分布列如下：
……6分
（第一问共6分，分布列表格1分，即求解了所有概率，但是没有画表格，则扣1分，分布列表格内有错误这一分也扣掉；写对随机变量可能的取值给1分；写错概率扣1分，其余的概率值每写对两个给1分）
②证明：，……7分
记，……8分
，……9分
两式作差可得，
，……10分
故
……12分
，即得证.……13分
（2）当时，由（1）可知，，……14分
故试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.……15分
18.【解答】解法一：（1）……1分
【当时，显然成立，……无持续求解，只写这个结论给1分，到这一步共2分】
在单调递减对，恒有
，恒有，……2分
令，……3分
则，……4分
令，解得（或，或）……5分
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，……6分
又，所以当时，，
所以……7分
（2）令，则，所以单调递减，……8分
又因为，
所以当时，；
当时，，……9分
令，则与零点一致……10分
当时，，
所以在单调递减，，……11分
当时，有，……12分
令，
因为，在递增，……13分
所以，……14分
故，……15分
综上，当时，
当时，有唯一的零点，
当时，恒大于0，不存在零点；
当时，，不存在零点；……16分
即对任意整数a，至多有1个零点，
所以至多有1个零点……17分
解法二：（1）同解法一
（2）当时，恒成立，
在上单调递减，
所以至多有1个零点……8分
令，则，所以单调递减，
又因为，
当时，；
当时，，……9分
当时，……10分
令，
当时，……11分
当时，，……12分
所以在单调递减，此时，……13分
所以在单调递增，……14分
所以；……15分
所以，当时，，所以，
故此时无零点；……16分
综上所述，对任意的整数a，函数至多1个零点……17分
19. 解：（1）当PQ与x轴平行时，，
因为P，Q两点均在抛物线C上，
所以，
即，……1分
因为的面积为16，
所以，……2分
解得，……3分
则的方程为；……4分
（2）直线AC的斜率为：，
则：，……5分
直线与的交点为T，
则点T为，……6分
所以……7分
……（∗）
……（∗∗）……8分
所以：
……9分
点A处切线方程：，
令，则的斜率，……10分
则有：，
即：，……11分
同理：：，
：，……12分
与相交得：，
得：；……13分
同理可得：，；……14分
将点，，代入（∗∗）得
……15分
……16分
所以，
所以存在，使得……17分
注：
（1）若直接用已知三点求三角形面积公式：
……8分点处，则5~8的步骤分没有，用这个公式代入计算，有适当的化简过程，依照后面的步骤给分；
（2）若直接用已知三点求三角形面积公式的行列式形式：
的绝对值.则不给推导公式的步骤分，若有展示将行列式展开，并代入相关点计算，则按照后续步骤给分；
（2）若直接用已知三点求三角形面积公式，强行得到两个三角形面积关系，不管是否得到正确结果，均不给分.X
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