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人教版高一数学新教材同步配套教学讲义期末考试押题卷二(考试范围：必修第一册全部)(原卷版+解析)
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这是一份人教版高一数学新教材同步配套教学讲义期末考试押题卷二(考试范围：必修第一册全部)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围，下列叙述中不正确的是，下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：人教A版2019必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合或，，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A．B．C．D．
6．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
8．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B．若，则“”的充要条件是“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“”是“”的充分不必要条件.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
11．已知是定义域为的偶函数，在上单调递减，且，那么下列结论中正确的是
A．可能有三个零点B．
C．D．
12．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数，满足，则的最小值是______．
14．已知，则________.
15．已知函数，若，则的值是_____.
16．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？
19．（12分）
已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
20．（12分）
函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
21．（12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其减区间；
(2)若，用列举法表示的值组成的集合.
22．（12分）
如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
期末考试押题卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：人教A版2019必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合或，，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【解析】集合，集合或，
，
又集合，
故选：B.
2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
3．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】A
【解析】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
5．将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解析：由题可知，，
而，
所以，
从而，取，知，
故选：.
6．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选:D
7．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.
故选：C
8．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】对任意，，，2，3，，，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，
考虑，，
按下图取值即可满足条件，
的最小值为8．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B．若，则“”的充要条件是“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“”是“”的充分不必要条件.
【答案】AB
【解析】当时，若，则恒成立，故A不正确；
当时，“”推不出 “” ，故B不正确；
当 “方程有一个正根和一个负根”时“”， “”推出“”成立，反之不成立，故C正确；
由 得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：AB.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
【答案】AD
【解析】根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；
函数的图象如下所示；
故B错误；
设是第二象限角即，则，
当为偶数，，成立，
当为奇数时，，，故C错误；
函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；
故选：AD
11．已知是定义域为的偶函数，在上单调递减，且，那么下列结论中正确的是
A．可能有三个零点B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为是偶函数，又，所以.
又在上单调递增，所以函数在上有一个零点，
且.所以函数在上有两个零点.
但是的值没有确定，所以函数可能有三个零点，所以A项正确；
又，所以的符号不确定，所以B项不正确；
C项显然正确；
由于的值没有确定，所以与的大小关系不确定，所以D项不正确.
故选：AC.
12．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
【答案】CD
【解析】函数的最小正周期为，
画出在一个周期内的图象，
可得当，时，
，
当，时，
，
可得的对称轴方程为，，
当或，时，取得最小值；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，
综上可得，正确的有．
故选：．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：.
14．已知，则________.
【答案】
【解析】，
故答案为：
15．已知函数，若，则的值是_____.
【答案】2
【解析】由时，是减函数可知，
当，则，
所以，由得
，解得，
则.
故答案为：.
16．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
【答案】
【解析】设，
因为对任意的，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵或，∴，
当时，，因此，；
（2）∵是的充分条件，∴，
又，或
∴，解得.
因此，实数的取值范围是.
18．（12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？
【解析】（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元，
由题意知：，即；，即，
∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；
（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，
由题意，投资获得的收益，
令，则，
∴原问题为求的最大值.
，
∴当，即万元时收益最大，最大为3万元.
故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.
19．（12分）
已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
【解析】（1）由题意得
，
因为，所以，
令，解得；
令，解得，
令，得.
所以函数在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）由（1）知.
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
20．（12分）
函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【解析】(1)由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
(2)函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因为，
所以，即，
所以在上为增函数.
(3)因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.
21．（12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其减区间；
(2)若，用列举法表示的值组成的集合.
【答案】(1)；
(2)
【分析】
小问1：根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；
小问2：首先求出函数的零点，得，是或中的元素，再分类讨论计算可得.
(1)的最小正周期为.
对于函数，
当时，单调递减，
解得，
所以函数的减区间是；
(2)令，即，
所以或，
即或，
所以，是或中的元素．
当，时，，
则；
当，（或，）时，，
则；
当时，，
则．
所以的值组成的集合是．
22．（12分）
如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
【解析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，
因为，所以，
当点位于点时，取得最大值，角取最小值，
由对称性知此时，所以，
所以角的取值范围是.
（2）在直角中，且，所以，
在直角中，且，所以，
在中，由勾股定理得，
因为，所以，所以，
所以，
令，
因为，可得，所以，
又由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
当时，，此时，解得，
所以当时，的周长取得最小值，最小值为.
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：人教A版2019必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合或，，则（ ）
A．B．
C．或D．
2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A．B．C．D．
6．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
8．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B．若，则“”的充要条件是“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“”是“”的充分不必要条件.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
11．已知是定义域为的偶函数，在上单调递减，且，那么下列结论中正确的是
A．可能有三个零点B．
C．D．
12．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数，满足，则的最小值是______．
14．已知，则________.
15．已知函数，若，则的值是_____.
16．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？
19．（12分）
已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
20．（12分）
函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
21．（12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其减区间；
(2)若，用列举法表示的值组成的集合.
22．（12分）
如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
期末考试押题卷二
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：人教A版2019必修第一册
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合或，，则（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】B
【解析】集合，集合或，
，
又集合，
故选：B.
2．若，且为第四象限角，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，且为第四象限角，
所以，
.
故选：D
3．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的定义域为
D．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】A
【解析】对A，当时，解有，故A正确；
对B，当时，，此时，，
此时值域为，故B错误；
对C，由A，的定义域为，故C错误；
对D，若在区间上单调递增，此时在上单调递增，所以对称轴，解得，但当时，在处无定义，故D错误.
故选：A.
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
5．将函数的图象向右平移个单位与函数的图像重合，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解析：由题可知，，
而，
所以，
从而，取，知，
故选：.
6．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以.
故选:D
7．已知函数的部分图像如下图所示.则能够使得变成函数的变换为（ ）
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
【答案】C
【解析】观察图象知A=2，周期为T，则，即，，
又，即，而，则，
所以，
把图象向左平移得图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得.
故选：C
8．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】对任意，，，2，3，，，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，
考虑，，
按下图取值即可满足条件，
的最小值为8．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列叙述中不正确的是（ ）
A．若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”；
B．若，则“”的充要条件是“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
D．“”是“”的充分不必要条件.
【答案】AB
【解析】当时，若，则恒成立，故A不正确；
当时，“”推不出 “” ，故B不正确；
当 “方程有一个正根和一个负根”时“”， “”推出“”成立，反之不成立，故C正确；
由 得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：AB.
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的图象关于点，k∈Z对称
B．函数是最小正周期为π的周期函数
C．设θ为第二象限角，则，且
D．函数的最小值为－1
【答案】AD
【解析】根据正切函数的性质可知函数的图象关于点对称，故A正确；
函数的图象如下所示；
故B错误；
设是第二象限角即，则，
当为偶数，，成立，
当为奇数时，，，故C错误；
函数，，，则当时，函数有最小值，故D正确；
故选：AD
11．已知是定义域为的偶函数，在上单调递减，且，那么下列结论中正确的是
A．可能有三个零点B．
C．D．
【答案】AC
【解析】因为是偶函数，又，所以.
又在上单调递增，所以函数在上有一个零点，
且.所以函数在上有两个零点.
但是的值没有确定，所以函数可能有三个零点，所以A项正确；
又，所以的符号不确定，所以B项不正确；
C项显然正确；
由于的值没有确定，所以与的大小关系不确定，所以D项不正确.
故选：AC.
12．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）
A．是以为周期的函数
B．当且仅当时，取得最小值-1
C．图象的对称轴为直线
D．当且仅当时，
【答案】CD
【解析】函数的最小正周期为，
画出在一个周期内的图象，
可得当，时，
，
当，时，
，
可得的对称轴方程为，，
当或，时，取得最小值；
当且仅当时，，
的最大值为，可得，
综上可得，正确的有．
故选：．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正数，满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
当且仅当即 时等号成立，
所以的最小值是，
故答案为：.
14．已知，则________.
【答案】
【解析】，
故答案为：
15．已知函数，若，则的值是_____.
【答案】2
【解析】由时，是减函数可知，
当，则，
所以，由得
，解得，
则.
故答案为：.
16．定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为________
【答案】
【解析】设，
因为对任意的，恒有，
所以函数在上为增函数，则在上为增函数，
又，而，所以，
所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，
所以不等式等价于，
即，亦即，
可得，解得．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1）∵或，∴，
当时，，因此，；
（2）∵是的充分条件，∴，
又，或
∴，解得.
因此，实数的取值范围是.
18．（12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其收益最大为多少万元？
【解析】（1）设投资x万元时，投资债券等稳健型产品的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益为万元，
由题意知：，即；，即，
∴两类产品的收益与投资的函数关系式分别是：，；
（2）设投资债券等稳健型产品x万元，则投资股票等风险型产品为万元，
由题意，投资获得的收益，
令，则，
∴原问题为求的最大值.
，
∴当，即万元时收益最大，最大为3万元.
故投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品为万元时，收益最大为3万元.
19．（12分）
已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
【解析】（1）由题意得
，
因为，所以，
令，解得；
令，解得，
令，得.
所以函数在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）由（1）知.
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
20．（12分）
函数是定义在上的奇函数，且.
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于的不等式.
【解析】(1)由函数是定义在上的奇函数，得，解得，
经检验，时，，所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，
故；
(2)函数在上为增函数.证明如下：
在任取且，
则，
因为，
所以，即，
所以在上为增函数.
(3)因为为奇函数所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以 ，解得
所以关于的不等式解集为.
21．（12分）
已知函数.
(1)求函数的最小正周期及其减区间；
(2)若，用列举法表示的值组成的集合.
【答案】(1)；
(2)
【分析】
小问1：根据正弦函数的最小正周期公式计算可得，根据正弦函数的单调性求出函数的单调区间；
小问2：首先求出函数的零点，得，是或中的元素，再分类讨论计算可得.
(1)的最小正周期为.
对于函数，
当时，单调递减，
解得，
所以函数的减区间是；
(2)令，即，
所以或，
即或，
所以，是或中的元素．
当，时，，
则；
当，（或，）时，，
则；
当时，，
则．
所以的值组成的集合是．
22．（12分）
如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
【解析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，
因为，所以，
当点位于点时，取得最大值，角取最小值，
由对称性知此时，所以，
所以角的取值范围是.
（2）在直角中，且，所以，
在直角中，且，所以，
在中，由勾股定理得，
因为，所以，所以，
所以，
令，
因为，可得，所以，
又由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
当时，，此时，解得，
所以当时，的周长取得最小值，最小值为.
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