初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆精品随堂练习题

这是一份初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆精品随堂练习题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( )
A. 3B. 2C. 2 2D. 2 3
2.《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B；②以点B为圆心，BO为半径作圆弧分别交⊙O于C，D两点；③连接CO，DO并延长分别交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六边形AFCBDE.再连接AD，EF，AD，EF交于点G.则下列结论不正确的是( )
A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE= 2D. AF⊥AD
3.如图，正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O，则这个正三角形和正六边形边长的比为( )
A. 6:2B. 3:2C. 3:1D. 2︰1
4.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. 22B. 32C. 2D. 3
5.如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10的度数为( )
A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°
6.如图，若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环，还需正五边形的个数为( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
7.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )
A. 10B. 9C. 8D. 7
8.如图，正方形ABCD的边长为6，且顶点A，B，C，D都在⊙O上，则⊙O的半径为( )．
A. 3B. 6C. 3 2D. 6 2
9.如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB=( )
A. 2 2： 3B. 2： 3C. 3： 2D. 3：2 2
10.正六边形的边长为6cm，则该正六边形的内切圆面积为( )
A. 48πcm2B. 36πcm2C. 24πcm2D. 27πcm2
11.如图，画出了⊙O的内接正四边形和内接正五边形，且点A在B，C之间，则∠ABC=( )
A. 6°B. 9∘C. 12∘D. 18∘
12.魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术．为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．作圆内接正多边形，当正多边形的边数不断增加时，其周长就无限接近圆的周长，进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率．祖冲之在刘徽的基础上继续努力，当正多边形的边数增加24576时，得到了精确到小数点后七位的圆周率，这一成就在当时是领先其他国家一千多年，如图，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A. 0.5B. 1C. 3D. π
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.
(1)若一个正三角形的边心距为2，则该正三角形的边长为 ；
(2)已知圆的半径是2 3，则该圆的内接正六边形的面积是 ．
14.如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，分别以点A，D为圆心、AE长为半径作弧，在⊙O外交于点G，连接OG.若⊙O的半径为1，则OG的长为 ．
15.把一张圆形纸片和一张含45°角的扇形纸片按如图所示的方式分别剪得一个正方形，如果所剪得的两个正方形边长相等，扇形的半径为 5，那么圆形纸片的面积是 ．
16.如图，点O是正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心，连接AD，EF交于点P，则∠APE的度数为______°.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．
(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求S1S2的值(结果保留π)．
18.(本小题8分)
如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，CD=5 2 cm，求⊙O的半径．
19.(本小题8分)
(1)如图①，已知△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为BC⌢上一动点，求证：PA=PB+PC；
(2)如图②，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为BC⌢上一动点，求证：PA=PC+ 2PB；
(3)如图③，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为BC⌢上一动点，请探究PA，PB，PC三者之间有何数量关系，并予以证明．
20.(本小题8分)
图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形．如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
21.(本小题8分)
如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，M为劣弧FG的中点．若FM=4 2，求点O到FM的距离．
22.(本小题8分)
把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长．
23.(本小题8分)
刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，设⊙O的半径为1，若用⊙O的外切正六边形的面积S来近似估计⊙O的面积，求S的值(结果保留根号)．
24.(本小题8分)
(教材P108习题T4变式2)如图，等腰三角形ABC的顶角∠A=36°.⊙O和底边BC相切于BC的中点D，并与两腰AC，AB分别相交于E，F，G，H四点，其中G，F分别是两腰AB，AC的中点．求证：五边形DEFGH是正五边形．
25.(本小题8分)
如图，⊙O的半径为R，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，四边形EFGH是正方形．
(1)求∠OGF的度数；
(2)求正六边形与正方形的面积比．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2，
故选B．
连接OA，OB，根据等边三角形的性质可得⊙O的半径，进而可得出结论．
本题考查正多边形和圆的关系．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查作图−复杂作图：画正多边形，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角定理、正多边形与圆的关系等知识，解题的关键是证明四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，属于中考常考题型．
根据圆周角定理和等腰三角形判定即可判断A；证明∠AGF=∠AOF=60°，可判断B；证明EF= 3AE，可判断C；证明∠FAD=90°即可判定D．
【解答】
解：在正六边形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，AF=DE，
∴AF=DE，
∴∠ADF=∠EFD，
∴GF=GD，故A正确；
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等边三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四边形AEOF，四边形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，∠AFE=∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∴AF⊥AD，∠FGA=60°，故 B、D正确；
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF= 3AE，故C错误．
故选C．
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】A
【解析】略
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】
解：∵五边形的内角和为(5−2)⋅180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1=360°−108°×3=360°−324°=36°，360°÷36°=10．
∵已经有3个五边形，∴10−3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选D．

8.【答案】C
【解析】【分析】此题考查了正多边形和圆，连接BD，ABCD是正方形，则∠BAD=90∘，AB=AD，
利用圆周角定理可得BD是⊙O的直径，再用勾股定理即可求解，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和勾股定理的应用．
【详解】如图，连接BD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90∘，AB=AD，
∴BD是⊙O的直径．
在Rt▵ABD中，由勾股定理，得BD= AD2+AB2= 62+62=6 2，
∴⊙O的半径为3 2．
故选：C．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，由垂径定理得出AH=BH=12AB，证出△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=60°，AH=BH=12AB，得出AD= 2OA，AH= 32OA，则AB=2AH= 3OA，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH=BH=12AB，
∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于⊙O，
∴∠AOB=120°，∠AOD=90°，
∵OA=OD=OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH=∠BOH=12×120°=60°，
∴AD= 2OA，∠OAH=30°，
∴OH=12OA，
∴AH= OA2−OH2= 32OA，
∴AB=2AH=2× 32OA= 3OA，
∴ADAB= 2OA 3OA= 2 3，
故选：B．
10.【答案】D
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】如图，连接OA、OB，OG；
∵正六边形的边长为6cm，
∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=6cm，∠OAB=60°，
∴OG=6× 32=3 3(cm)，
∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3 3cm．
该正六边形的内切圆面积为π×(3 3)2=27πcm2
故选：D．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查正多边形与圆，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
连接OA，OB，OC，先求出∠BOC=90°，∠BOA=360°5=72°，进而得出∠AOC，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】
解：连接OA，OB，OC，如图所示：
由题意可得∠BOC=90°，∠BOA=360°5=72°，
∴∠AOC=∠BOC−∠BOA=18°，
∵AC=AC，
∴∠ABC=12∠AOC=9°，
故选B．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正多边形与圆.掌握正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键.连接OC、OD，根据正六边形的性质得到∠COD=60°，得到△COD是等边三角形，得到OC=CD，根据题意计算即可．
【解答】
解：连接OC、OD
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=60°，
又∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC=CD，
∴正六边形的周长∶直径=6CD∶2CD=3．
故选C．
13.【答案】【小题1】
4 3
【小题2】
18 3

【解析】1. 略
2. 略
14.【答案】 2
【解析】连接AG，AD，AE，OE，过点O作OH⊥AE于点H.易得点O在AD上．∵OA=OE，OH⊥AE，∴AH=EH.∵易得∠AOE=120°，∴∠OAE=∠OEA=30°.∴OH=12OA=12.由勾股定理，易知AE=2AH= 3.∴AG=AE= 3.由作图，易得OG⊥AD，∴OG= AG2−AO2= 2．
15.【答案】12π
【解析】如图①，连接OD，即OD= 5.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD.∵∠AOB=45°，∴OB=AB，OC=2OB.由勾股定理得CD2+OC2=OD2，即OB2+4OB2=5，解得OB=1，即正方形的边长为1.如图②，连接MF，MG.∵四边形EFGH是⊙M的内接四边形，四边形EFGH是正方形，∴∠FMG=90°，MF=MG，∴∠MFG=∠MGF=45°.∵FG=1，∴MF=MG= 22，∴⊙M的面积是π× 222=12π，即圆形纸片的面积是12π．
16.【答案】84
【解析】解：如图，连接OC、OD、OF、OG，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠AFE=36°，
∵△AFG是⊙O的内接正三角形，
∴∠FOG=360°3=120°，
根据对称性可知，∠COF=∠DOG=12×(120°−72°)=24°，
∴∠FAD=12(∠COF+∠COD)
=12×(24°+72°)
=48°，
∴∠APE=∠FAD+∠AFE
=48+36°
=84°，
故答案为：84．
根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，∠COD=72°，∠FOG=120°，进而求出∠COF的度数，由圆周角定理和三角形外角性质即可求出答案．
本题考查正多边形和圆，三角形外角性质以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．
17.【答案】(1)证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
(2)解：过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，
∵∠DOE=360°6=60°，OD=OE=r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE=OD=r，∠OED=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=12r，
∴OG= OE2−EG2= 32r，
∴正六边形ABCDEF的面积=6×12×r× 32r=3 32r2，
∵⊙O的面积=πr2，
∴S1S2=πr23 32r2=2 3π9．
【解析】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
(1)连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF=ED=CD=BC，求得EF=ED=CD=BC，于是得到∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，即可得到结论；
(2)过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE=OD=r，∠OED=60°，根据勾股定理得到OG= OE2−EG2= 32r，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论．
18.【答案】连接OB，OC，OD.∵等边三角形ABC内接于⊙O，BD为⊙O内接正十二边形的一边，∴∠BOC=13×360∘=120∘，∠BOD=112×360∘=30∘.∴∠COD=∠BOC−∠BOD=90°.∵OC=OD，CD=5 2 cm，∴由勾股定理，易得OC=5 cm.∴⊙O的半径为5 cm
【解析】见答案
19.【答案】【小题1】
如图①，延长BP至E，使PE=PC，连接CE.由圆内接四边形的性质知∠BAC+∠BPC=180.∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠CPE=∠BAC=60°.又∴PE=PC，∴△PCE是正三角形，∴CE=PC，∠E=∠PCE=60.又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP.∵△ABC，△ECP都为正三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC(SAS)，∴PA=BE=PB+PE=PB+PC．
【小题2】
如图②，连接OA，OB，过点B作BE⊥PB交PA于点E.∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3.∵∠APB=12∠AOB=45∘，∴BP=BE，∴PE= 2PB.又∵AB=BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC=AE，∴PA=AE+PE=PC+ 2PB．
【小题3】
PA= 3PB+PC.证明如下：如图③，过点B作BM⊥AP于M，在AP上截取AQ=PC，连接BQ.∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，AQ=CP，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ=BP，∴MP=QM.又∴∠APB=30°，∴PM= 32PB，∴PQ= 3PB，∴PA=PQ+AQ= 3PB+PC．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
20.【答案】如图所示，正八边形ABCDEFGH即为所求．

【解析】见答案
21.【答案】连接OM，过点O作OH⊥FM于点H.由题意，易得∠FOG=120°.∵M为劣弧FG的中点，∴易得∠FOM=60°.∵OF=OM，∴△OFM为等边三角形．∴OF=FM=4 2.∵OH⊥FM，∴FH=12FM=2 2.在Rt△OFH中，根据勾股定理，易求得OH=2 6，即点O到FM的距离为2 6
【解析】见答案
22.【答案】解：如图①所示，连接OD，OA．
由切线长定理可得∠1=∠2．
又∵AD为切线，∴OD⊥AB．
∵三角形ABC为外切正三角形，∴∠CAB=60°．
∴∠2=30°．∴∠AOD=60°．
在Rt△OAD中，OD=R，
∴OA=2R∴AD= 3R.
∴外切正三角形的边长为2 3R.同理可求外切正方形的边长为2R，外切正六边形的边长
为2 33R.
【解析】略
23.【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形．
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1．
∴由勾股定理可求得BM=AM= 33．
∴AB=2 33．
∴S=6S△ABO=6×12×2 33×1=2 3．
【解析】见答案
24.【答案】证明：连接DF、DG，
∵G、F分别是两腰AB、AC的中点．D是等腰三角形ABC底边的中点，
∴GD/​/AC，GD=AF=
AC，DF/​/AB，DF=AG=
AB，
∴四边形AFDG是平行四边形，
∵AB=AC，
∴GD=DF，
∴四边形AFDG是菱形，
∴∠BGD=∠FDG=∠CFD=∠A=36°，DF=AF，
∴DF=FC，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠CDF=∠C=72°，
∵⊙O和底边BC相切于BC的中点D，
∴∠CDE=∠CFD=36°，
∴∠CDE=36°，
∴∠EDF=36°，
同理：∠GDH=36°，
∴∠BGD=∠CFD=∠EDF=∠FDG=∠GDH=36°，
∴HD=DE=EF=FG=GH，
即D、E、F、G、H将⊙O五等分，
∴五边形DEFGH是正五边形．
【解析】见答案．
25.【答案】解：(1)连接OE，如图所示：
∵在圆内接六边形中，△OEF是正三角形，
∴OF=EF=FG，
∴∠OGF=12(180°−60°−90°)=15°；
(2)设正六边形的边长为a，
则三角形OEF的边EF上的高 32a，
则正六边形的面积为：6×12a× 32a=3 32a2，
∴正方形的面积为：a×a=a2，
∴正六边形与正方形的面积比3 32a2：a2=3 3:2．

【解析】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键．
(1)根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出△OFE是正三角形，继而可得△OFG为等腰三角形，即可得出答案；
(2)设正六边形的边长为a，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可．
1
2
1
2