2025届新高考数学考点全复习讲义2.6指数式、对数式的运算

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1.通过对有理数指数幂amn（a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
基础知识
1.根式与有理数指数幂
（1）根式
①如果xn＝a，那么 x 叫做a的n次方根；
②式子na叫做 根式 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数；
③（na）n＝ a .当n为奇数时，nan＝ a ；当n为偶数时，nan＝｜a｜＝a，a≥0，－a，a<0.
（2）有理数指数幂
2.对数
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） 4(−4）4＝－4.（ × ）
（2）分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.（ × ）
（3）lg2x2＝2lg2x.（ × ）
（4）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则lga（M＋N）＝lgaM＋lgaN.（ × ）
2.化简 416x8y4（x＜0，y＜0）＝（ ）
A.2x2y B.－2x2y
C.2xy2 D.－2xy2
解析：B 因为x＜0，y＜0，所以416x8y4＝（16x8·y4）14＝（16）14·（x8）14·（y4）14＝2x2｜y｜＝－2x2y.
3.（多选）下列等式成立的是（ ）
A.（－2）－2＝14 B.2a－3＝12a3
C.（－2）0＝－1D.（a－14）4＝1a
解析：AD 对于A项，（－2）－2＝14，故A项正确；对于B项，2a－3＝2a3，故B项错误；对于C项，（－2）0＝1，故C项错误；对于D项，（a－14）4＝1a，故D项正确.故选A、D.
4.计算：（1）lg 2＋lg 5＝ 12 ；
（2）lg345－lg35＝ 2 ；
（3）（17）－2＋（279）12－（2－1）0＝ 49 23 .
解析：（1）lg 2＋lg 5＝lg（2×5）＝lg10＝lg 1012＝12.
（2）lg345－lg35＝lg3 455＝lg39＝lg332＝2.
（3）（17）－2＋（279）12－（2－1）0＝72＋（259）12－1＝49＋53－1＝4923.
常用结论
1.换底公式的变形
（1）lgab·lgba＝1，即lgab＝1lgba（a，b均大于0且不等于1）；
（2）lgambn＝nmlgab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）.
2.换底公式的推广
lgab·lgbc·lgcd＝lgad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）.
结论运用
1.（2024·潍坊模拟）若lg35·lg2527＝a，则a＝ 32 .
解析：由结论1知，lg35·lg2527＝lg35·lg5233＝32lg35·lg53＝32，所以a＝32.
2.lg23·lg34·lg42＝ 1 .
解析：由结论2知，lg23·lg34·lg42＝lg22＝1.
聚焦考点 课堂演练

考点1 指数幂的化简与求值
【例1】 化简下列各式：
（1）（235）0＋2－2×（214）－12－（0.01）0.5；
（2）（a23b－1）－12a－12b136ab5（a＞0，b＞0）；
（3）（32）－13×（－76）0＋814×42－（－23）23.
解：（1）原式＝1＋14×（49）12－（1100）12＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.
（2）原式＝a－13b12a－12b13a16b56＝a－13－12－16·b12＋13－56＝1a.
（3）原式＝（23）13×1＋234×214－（23）13＝2.
方法技巧
指数幂的运算
跟踪训练
1.已知f（x）＝2x＋2－x，若f（a）＝3，则f（2a）＝ 7 .
解析：由f（a）＝3得2a＋2－a＝3，所以（2a＋2－a）2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9.所以22a＋2－2a＝7，故f（2a）＝22a＋2－2a＝7.
2.化简与求值：
（1）（64125）－13－（214）0.5＋（0.027）23；
（2）a23ba－12·3b÷（a－1b－1ba）－23（a＞0，b＞0）.
解：（1）原式＝（12564）13－（94）0.5＋（0.3）3×23＝54－32＋0.09＝－0.16.
（2）原式＝a23·b12a－12·b13÷（a－1b－12b·a12）－23
＝a23·b12a－12·b13÷（a－1－12b－12－1）－23
＝a23＋12b12－13÷（a－32b－32）－23
＝a76b16÷（ab）
＝a76－1b16－1
＝a16b－56.
考点2 对数式的化简与求值
考向1 对数式的化简与计算
【例2】 计算下列各式：
（1）lg225·lg3（22）·lg59；
（2）lg2+lg5－lg8lg50－lg40；
（3）lg23·lg38＋（3）lg34.
解：（1）法一 lg225·lg3（22）·lg59＝lg252·lg3232·lg532＝6lg25·lg32·lg53＝6.
法二 lg225·lg3（22）·lg59＝lg25lg2·lg（22）lg3·lg9lg5＝lg 52lg2·lg 232lg3·lg 32lg5＝6.
（2）原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.
（3）原式＝lg3lg2·3lg2lg3＋312lg34＝3＋3lg32＝3＋2＝5.
方法技巧
对数运算的一般思路
（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
提醒 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现lg212＝lg2[（－3）×（－4）]＝lg2（－3）＋lg2（－4）的错误.
考向2 指数式与对数式的综合应用
【例3】（1）已知lga12＝m，lga3＝n，则am＋2n＝（ ）
A.3 B.34
C.9 D.92
（2）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝（ ）
A.10 B.10
C.20 D.100
答案：（1）D （2）A
解析：（1）∵lga12＝m，lga3＝n，∴am＝12，an＝3.∴am＋2n＝am·a2n＝am·（an）2＝12×32＝92.
（2）∵2a＝5b＝m，∴lg2m＝a，lg5m＝b，∴1a＋1b＝1lg2m＋1lg5m＝lgm2＋lgm5＝lgm10＝2，∴m2＝10，∴m＝10（舍m＝－10）.
方法技巧
指对互化的转化技巧
对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f（x，y，z）的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k（k＞0），则x＝lgak，y＝lgbk，z＝lgck，将x，y，z的值代入函数f（x，y，z）求解.
跟踪训练
1.已知2a＝5，b＝lg83，则4a－3b＝（ ）
A.25 B.5
C.259 D.53
解析：C 由2a＝5两边取以2为底的对数，得a＝lg25.又b＝lg83＝lg23lg28＝13lg23，所以a－3b＝lg25－lg23＝lg253＝lg453lg42＝2lg453＝lg4259，所以4a－3b＝4lg4259＝259，故选C.
2.计算：（1）lg535＋2lg122－lg5150－lg514；
（2）（827）－23＋eln 3＋lg142－lg34·lg23.
解：（1）原式＝lg535－lg5150－lg514＋lg12（2）2＝lg535150×14＋lg122＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
原式＝（23）3×－23＋3－12lg2212－2lg32·lg23＝94＋3－14－2＝3.
第六节 指数式、对数式的运算
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.已知a＞0，则a2a3a2＝（ ）
A.a65 B.a56
C.a－56 D.a53
解析：B a2a3a2＝a2a12·a23＝a2－12－23＝a56.故选B.
2.若代数式2x－1＋2－x有意义，则4x2－4x+1＋24（x－2）4＝（ ）
A.2 B.3 C.2x－1 D.x－2
解析：B 由2x－1＋2－x有意义，得2x－1≥0，2－x≥0，解得12≤x≤2.所以x－2≤0，2x－1≥0，所以4x2－4x+1＋24（x－2）4＝（2x－1）2＋2｜x－2｜＝｜2x－1｜＋2｜x－2｜＝2x－1＋2（2－x）＝3.
3.若lg2x＋lg4y＝1，则（ ）
A.x2y＝2 B.x2y＝4
C.xy2＝2 D.xy2＝4
解析：B lg2x＋lg4y＝lg2x＋12lg2y＝lg2x＋lg2y12＝lg2（xy12）＝1，所以xy12＝2，两边平方得x2y＝4.故选B.
4.（2024·济宁模拟）已知a＝lg23，b＝lg25，则lg415＝（ ）
A.2a＋2b B.a＋b
C.ab D.12a＋12b
解析：D lg415＝12lg215＝12（lg23＋lg25）＝12a＋12b，故选D.
5.（2024·宁波一模）计算［（－127）－2］13＋lg25－lg210＝（ ）
A.－10 B.－8
C.10 D.8
解析：D ［（－127）－2］13＋lg25－lg210＝（36）13＋lg2510＝9－1＝8.故选D.
6.（2024·河西区模拟）计算2lg32－lg3329＋（2－1）0＋lg38－25lg53＝（ ）
A.－7 B.－3
C.0 D.－6
解析：D 原式＝lg34－lg3329＋lg38＋1－52lg53＝lg3（4×932×8）＋1－5lg59＝lg39＋1－9＝－6.
7.（多选）设f（x）＝ex－e－x2，g（x）＝ex＋e－x2，则下列结论正确的有（ ）
A.[g（x）]2－[f（x）]2＝1
B.[g（x）]2＋[f（x）]2＝g（2x）
C.g（2x）＝2f（x）g（x）
D.f（2x）＝2f（x）g（x）
解析：ABD 因为[g（x）]2－[f（x）]2＝[g（x）＋f（x）]·[g（x）－f（x）]＝ex·e－x＝1，所以A选项正确；因为[g（x）]2＋[f（x）]2＝e2x＋e－2x2，g（2x）＝e2x＋e－2x2，所以B选项正确；因为2f（x）g（x）＝e2x－e－2x2，g（2x）＝e2x＋e－2x2，所以C选项不正确；因为f（2x）＝e2x－e－2x2，2f（x）g（x）＝e2x－e－2x2，所以D选项正确.故选A、B、D.
8.（2a23b12）（－6a12b13）÷（－3a16b56）（a＞0且b＞0）＝ 4a .
解析：原式＝2×(−6）－3·a23＋12－16b12＋13－56＝4a.
9.（2024·六盘水一模）若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝ ln 2 .
解析：ex＝2 024，e－y＝1 012，则exe－y＝2 0241 012＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2.
10.计算：
（1）1－312－12+3－33813＋（7－103）0；
（2）lg20.25＋ln e＋24·lg23＋lg 4＋2lg 5－4(−2）4.
解：（1）1－312－12+3－33813＋（7－103）0
＝1－3－2－3（2+3)(2－3）－27813＋1
＝1－3－2＋3－323×13＋1＝－32.
（2）lg20.25＋ln e＋24·lg23＋lg 4＋2lg 5－4(−2）4
＝lg214＋ln e12＋2lg234＋lg 4＋lg 52－424
＝－2＋12＋81＋lg 100－2＝1592.
综合应用 B
巩固
11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则lgab2＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：B 由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝12，则lgab2＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×12＝2.
12.（多选）（2024·咸宁模拟）下列运算中正确的是（ ）
A.2lg214－（278）23＝－2
B.若a＋1a＝14，则a＋1a＝4
C.若lg73＝a，lg74＝b，则lg742＝1＋1a＋b2
D.若4a＝6b＝9c，则1a＋1c＝2b
解析：AB 对于A，2lg214－27823＝14－（32）323＝14－94＝－2，正确；对于B，因为a＋1a＝14，所以a＋1a＝（a＋1a）2＝a＋1a+2＝4，正确；对于C，因为lg73＝a，lg74＝b，所以lg742＝lg77＋lg73＋lg72＝1＋lg73＋12lg74＝1＋a＋b2，不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但1a＋1c＝2b无意义，不正确.故选A、B.
13.（2024·南通一模）已知2x＝72y＝A，且1x＋1y＝2，则A＝ 72 .
解析：由2x＝72y＝A得x＝lg2A，y＝12lg7A，则1x＋1y＝1lg2A＋2lg7A＝lgA2＋2lgA7＝lgA98＝2，A2＝98.又A＞0，故A＝98＝72.
14.若a＝lg23，3b＝2，则2a＋2－a＝ 103 ，ab＝ 1 .
解析：2a＋2－a＝2lg23＋2－lg23＝3＋13＝103.∵3b＝2，∴b＝lg32，∴ab＝lg23×lg32＝
概
念
正分数指数幂：amn＝ nam
a＞0，m，n∈N*，n＞1
负分数指数幂：a－mn＝1amn＝ 1nam
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运
算
性
质
aras＝ar＋s
a＞0，b＞0，r，s∈Q
（ar）s＝ars
（ab）r＝arbr
概念
如果 ax＝N （a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ lgaN ，其中a叫做对数的 底数 ，N叫做 真数
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝lgaN
负数和0没有对数
1的对数是 0 ：lga1＝ 0
底数的对数是 1 ：lgaa＝ 1
对数恒等式：algaN＝ N
运算性质
lga（MN）＝ lgaM＋lgaN
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
lgaMN＝ lgaM－lgaN
lgaMn＝ nlgaM （n∈R）
换底公式
lgab＝lgcblgca（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1）