2025届新高考数学考点全复习讲义2.9函数的图象

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2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.
基础知识
1.利用描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的变换
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（ ）
（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（ ）
（3）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（ ）
2.函数y＝21－x的大致图象为（ ）
3.将函数y＝lg2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ .
4.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是 .
常用结论
1.函数图象自身的轴对称
函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（a＋x）＝f（a－x）⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（－x）＝f（2a＋x）.
2.函数图象自身的中心对称
（1）f（－x）＝－f（x）⇔函数y＝f（x）的图象关于原点对称；
（2）函数y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称⇔f（a＋x）＝－f（a－x）⇔f（x）＝－f（2a－x）⇔f（－x）＝－f（2a＋x）；
（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.
3.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）；
（2）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称；
（3）函数y＝f（x）与y＝2b－f（－x）的图象关于点（0，b）对称.
结论运用
1.下列说法正确的是（ ）
A.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
B.若函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x－1），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同
D.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到
2.若对于函数y＝f（x）定义域内的任意x都有f（2＋x）＋f（2－x）＝6，则y＝f（x）的图象关于点 对称.
3.函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线 对称.
聚焦考点 课堂演练

考点1 作函数图象
【例1】 作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜.
方法技巧
作函数图象的两种常用方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.
提醒 （1）画函数的图象时一定要注意定义域；
（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.
跟踪训练
作出下列函数的图象：
（1）y＝2x－1x－1；
（2）y＝2｜x｜.
考点2 函数图象的识别
【例2】（1）（2022·全国甲卷5题）函数y＝（3x－3－x）cs x在区间－π2，π2的图象大致为（ ）
（2）函数f（x）＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0
C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0
变式
若本例（1）中的函数变为y＝（2x－2－x）·sin x，则其在区间[－π，π]的图象大致为（ ）
方法技巧
函数图象的辨识可从以下方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
跟踪训练
1.已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（ ）
2.（2024·沈阳一模）如图是函数H（x）图象的一部分，设函数f（x）＝cs x，g（x）＝｜x｜＋1，则H（x）可以表示为（ ）
A.f（x）＋g（x）B.f（x）－g（x）
C.f（x）·g（x）D.f（x）g（x）
考点3 二函数图象的应用
考向1 研究函数的性质
【例3】（多选）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝121－x，则下列结论正确的是（ ）
A.2是函数f（x）的周期
B.函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增
C.函数f（x）的最大值是1，最小值是0
D.当x∈（3，4）时，f（x）＝12x－3
方法技巧
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
考向2 探究不等式问题
【例4】 设函数y＝f（x＋1）是定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递减，且图象过点（1，0），则不等式（x－1）f（x）≤0的解集为 .
方法技巧
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.
考向3 求参数的范围
【例5】 若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为 .
方法技巧
利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数的取值范围.
跟踪训练
1.（多选）关于函数f（x）＝xx－1，下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的图象过原点B.f（x）是奇函数
C.f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减D.f（x）是定义域上的增函数
2.若函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .
第九节 函数的图象
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.下列函数中，其图象与函数f（x）＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A.y＝ln（1－x） B.y＝ln（2－x）
C.y＝ln（1＋x） D.y＝ln（2＋x）
2.（2024·广州一模）函数f（x）＝x－sinxx3在[－π，π]上的图象大致为（ ）
3.（2024·沈阳质检）若函数f（x）＝ax＋b，x＜－1，ln（x＋a),x≥－1的图象如图所示，则f（－3）＝（ ）
A.－12 B.－54
C.－1 D.－2
4.把函数f（x）＝ln｜x－a｜的图象向左平移2个单位长度，所得函数在（0，＋∞）上单调递增，则a的最大值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.（2024·信阳一模）函数y＝f（x）的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为（ ）
A.y＝f（｜x｜）B.y＝｜f（x）｜
C.y＝f（－｜x｜）D.y＝－f（｜x｜）
6.（多选）对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（ ）
A.f（x＋2）是偶函数
B.f（x＋2）是奇函数
C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增
D.f（x）没有最小值
7.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）＝lg2f（x）的定义域是 .
8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋f（－a），则实数a的取值范围是 .
9.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝a，a≤b，b，a＞b.设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝lg2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是 .
10.已知f（x）＝x2+2x，x