2025届新高考数学考点全复习讲义2.11函数模型的应用

这是一份2025届新高考数学考点全复习讲义2.11函数模型的应用，文件包含第十一节函数模型的应用答案docx、第十一节函数模型的应用docx等2份学案配套教学资源，其中学案共18页， 欢迎下载使用。

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.感悟数学模型中参数的现实意义.
基础知识
1.几种常见的函数模型
2.三种函数性质比较
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大.（ × ）
（2）幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.（ × ）
（3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（ × ）
2.在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示：
则对x，y最适合的拟合函数是（ ）
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝lg2x
解析：D 在直角坐标系中，描点连线画出图象（图略），观察图象知选D.
3.下面对函数f（x）＝lg12x与g（x）＝12x在区间（0，＋∞）上的衰减情况的说法中正确的是（ ）
A.f（x）的衰减速度越来越慢， g（x）的衰减速度越来越快
B.f（x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越慢
C.f（x）的衰减速度越来越慢，g（x）的衰减速度越来越慢
D.f（x）的衰减速度越来越快，g（x）的衰减速度越来越快
解析：C 在同一平面直角坐标系中画出f（x）与g（x）图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f（x）衰减速度越来越慢；g（x）衰减速度越来越慢，故选C.
4.（2024·寿光模拟）某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y（单位：桶）与销售单价x（单位：元）的关系式为y＝－30x＋450，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为 10 元.
解析：由题意得该桶装水经营部每日利润为W（x）＝（－30x＋450）（x－5）－420＝－30x2＋600x－2 670＝－30（x－10）2＋330，则当x＝10时，利润最大.
聚焦考点 课堂演练

考点1 用函数图象刻画变化过程
【例1】 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（ ）
解析：B 水匀速流出，所以鱼缸水深h先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.
方法技巧
用函数图象刻画变化过程的2种方法
（1）构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象；
（2）验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.
跟踪训练
已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象是（ ）
解析：D 依题意知，当0≤x≤4时，f（x）＝2x；当4＜x≤8时，f（x）＝8；当8＜x≤12时，f（x）＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.
考点2 二次函数模型的应用
【例2】 为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元），种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金a1，a2（单位：万元）满足P＝80＋42a1，Q＝14a2＋120.设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为f（x）（单位：万元），则f（x）的最大值为（ ）
A.282 B.228
C.283 D.229
解析：A 当甲大棚的投入资金为x（单位：万元）时，乙大棚的投入资金为200－x（单位：万元），所以f（x）＝80＋42x＋14（200－x）＋120＝－14x＋42x＋250，由x≥40，200－x≥40可得40≤x≤160，令t＝x，则t∈210，410，g（t）＝－14t2＋42t＋250＝－14t－822＋282，因为82∈210，410，所以当t＝82，即x＝128时，f（x）最大，为282.故选A.
方法技巧
构建二次函数模型解决实际问题的注意点
（1）确定二次函数模型的解析式时，一般是借助已知点来确定，常用待定系数法；
（2）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；
（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.
跟踪训练
某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为（30－52R）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（ ）
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，100%]
解析：A 根据题意，要使附加税不少于128万元，则（30－52R）×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8.所以R的取值范围是[4，8]，故选A.
考点3 对勾函数模型的应用
【例3】 在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）.
（1）求总造价y（元）关于长度x（m）的函数；
（2）当x（m）取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.
解：（1）由矩形的长为x m，得矩形的宽为200x m，则中间区域的长为（x－4）m，宽为200x－4m，定义域为x∈（4，50）.
则y＝100（x－4）200x－4＋200×［200－（x－4）（200x－4）］，
整理得y＝18 400＋400x＋200x，x∈（4，50）.
（2）因为x＋200x≥2x·200x＝202，当且仅当x＝200x，即x＝102∈（4，50）时取等号.
所以当x＝102时，总造价最低为（18 400＋8 0002）元.
方法技巧
应用函数模型f（x）＝ax＋bx（ab＞0）的关键点
（1）明确对勾函数是由正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝bx叠加而成的；
（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋bx（ab＞0）的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋bx（ab＞0）的形式；
（3）利用模型f（x）＝ax＋bx（ab＞0）求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.
跟踪训练
某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为48x－5万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费，一年的利润＝一年的销售量×售价－（一年销售桃酥的成本＋一年的管理费）（单位：万元）.
（1）求该专营店一年的利润L（单位：万元）与每袋桃酥食品的售价x的函数解析式；
（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出L的最大值.
解：（1）由题意知，该专营店一年的利润L（单位：万元）与售价x的函数解析式为L＝48x－5·x－（6×48x－5＋3x）＝48（x－6）x－5－3x，x∈[9，11].
（2）L＝48（x－6）x－5－3x＝48－48x－5－3（x－5）－15＝33－48x－5－3（x－5），
因为9≤x≤11，所以48x－5＋3（x－5）≥248x－5·3（x－5）＝24，当且仅当48x－5＝3（x－5），
即x＝9时，取等号，此时L最大，为9万元.
故当每袋桃酥的售价为9元时，该专营店一年的利润最大，且最大利润为9万元.
考点4 指数、对数函数与幂函数模型的应用
【例4】 （1）（多选）（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lgpp0，其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ACD ）
A.p1≥p2 B.p2＞10p3
C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
（2）一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析：（1）由Lp＝20×lgpp0，得p＝p0×10Lp20.由题表中的数据可知p0×103≤p1≤p0×1092，p0×1052≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0，故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为p0×1092≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D.
（2）当t＝8时，y＝ae－8b＝12a，所以e－8b＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一，即y＝ae－bt＝18a，e－bt＝18＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24.所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一.
方法技巧
利用指数函数、对数函数与幂函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行幂、指、对运算，灵活进行指数与对数的互化.
跟踪训练
1.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lgII0（其中I0是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的（ ）
A.76倍 B.1076倍 C.10倍 D.ln76倍
解析：C 由η＝10lgII0得I＝I010η10，所以I1＝I0107，I2＝I0106，所以I1I2＝10，所以70 dB的声音的声波强度I1是60 dB的声音的声波强度I2的10倍.
2.某地锰矿石原有储量为a万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的m（0＜m＜1，且m为常数）倍，那么第n（n∈N*）年开采完成后剩余储量为a（1－m）n万吨，按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采到剩余储量为原有储量的70%，则需开采约（参考数据：2≈1.4）（ ）
A.4年 B.5年
C.6年 D.8年
解析：B 设第n（n∈N*）年开采完成后剩余储量为y万吨，则y＝a（1－m）n，当n＝10时，y＝12a，所以12a＝a（1－m）10，又a＞0，所以12＝（1－m）10，1－m＝12110，进而y＝a12n10.当y＝70%a时，7a10＝a12n10，710＝12n10，即n10＝lg12710＝lg2107≈lg21.4≈lg22＝12，故n≈5，故选B.
3.众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比且系数为m，包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n，利润率为20%，则该种饼干900克装的合理售价为 9.6 元.
解析：设饼干的质量为x克，则其售价y（单位：元）与x之间的函数解析式为y＝（mx＋nx）（1＋0.2）.由题意得1.6＝（100m＋100n）（1＋0.2），即23＝50m＋5n ①，4.8＝（400m＋400n）（1＋0.2），即100m＋5n＝1 ②.由①②解得m＝1150，n＝115.∴y＝x125＋x12.5.当x＝900时，y＝9.6.故这种饼干900克装的合理售价为9.6元.
第十一节 函数模型的应用
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x（小时），货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
解析：A 分析图象可知选项A正确.故选A.
2.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y（单位：毫克）与时间x（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是（ ）
A.y＝ax＋b
B.y＝a·14x＋b（a＞0）
C.y＝xa＋b（a＞0）
D.y＝ax＋bx（a＞0，b＞0）
解析：B 由题图可知，函数在（0，＋∞）上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y＝a·14x＋b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.
3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝12x2＋2x＋20（万元）.1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为（ ）
A.36万件 B.18万件
C.22万件 D.9万件
解析：B 利润L（x）＝20x－C（x）＝－12（x－18）2＋142，当x＝18时，L（x）有最大值.故选B.
4.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗（VN称为接种率），那么1个感染者传染人数为R0N（N－V）.已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A.45% B.55%
C.65%D.75%
解析：D 为了使1个感染者传染人数不超过1，只需R0N（N－V）≤1，即R0·（1－VN）≤1.因为R0＝4，所以1－VN≤14，可得VN≥34＝75%.故选D.
5.北京时间2023年5月30日9时30分，神舟十六号载人飞船发射成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是v＝2 000ln（1＋Mm）.按照这个规律，当1 000M＝6m时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：ln 1.006≈0.006）（ ）
A.7.9 km/s B.11.2 km/s
C.12 km/s D.16.7 km/s
解析：C 因为v＝2 000ln（1＋Mm），当1 000M＝6m时，则Mm＝61 000＝0.006，所以v＝2 000ln（1＋0.006）＝2 000ln 1.006≈2 000×0.006＝12 km/s.故选C.
6.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为f1（x）＝2x－1，f2（x）＝x2，f3（x）＝x，f4（x）＝lg2（x＋1），则下列结论正确的是（ ）
A.当x＞1时，甲走在最前面
B.当x＞1时，乙走在最前面
C.当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面
D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
解析：CD 由题意知，甲、乙、丙、丁对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x＝2时，f1（2）＝3，f2（2）＝4，所以A不正确；当x＝5时，f1（5）＝31，f2（5）＝25，所以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，所以C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确.
7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA（a为常数），广告效应为D＝aA－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为 14a2 （用常数a表示）.
解析：令t＝A（t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－12a2＋14a2，∴当t＝12a，即A＝14a2时，D取得最大值.
8.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间t（单位：年）近似满足关系式y＝λ（1－3－λt），λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝89λ，则λ＝ 14 .
解析：因为89λ＝λ（1－3－8λ），所以3－8λ＝19＝3－2，解得λ＝14.
9.（2024·永州模拟）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量f（x）（毫克/毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满足表达式f（x）＝5x－2，0≤x≤1，35·13x，x>1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升，此驾驶员至少要过 4 小时后才能开车.（精确到1小时）
解析：当0≤x≤1时，由f（x）≤0.02，得5x－2≤0.02，解得x≤2＋lg50.02＝lg50.5＜0，不符合题意；当x＞1时，由f（x）≤0.02，得35·13x≤0.02，即31－x≤0.1，解得x≥1－lg30.1＝1＋lg310.因为3＜1＋lg310＜4，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
10.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是该企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b（k≠0）；②y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1）；③y＝lga（x＋b）（a＞0，且a≠1）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
（2）试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.
解：（1）将（3，1），（5，2）代入y＝kx＋b（k≠0），
得1=3k＋b，2=5k＋b，解得k＝12，b＝－12，∴y＝12x－12.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将（3，1），（5，2）代入y＝abx（a≠0，b＞0，且b≠1），
得1=ab3，2=ab5，解得a＝24，b＝2，∴y＝24·2x＝2x－32.
当x＝9时，y＝29－32＝8，不符合题意；
将（3，1），（5，2）代入y＝lga（x＋b）（a＞0，且a≠1），
得1=lga（3+b),2=lga（5+b),解得a=2，b＝－1，
∴y＝lg2（x－1）.
当x＝9时，y＝lg28＝3；
当x＝17时，y＝lg216＝4.
故可用③来描述x，y之间的关系.
（2）令lg2（x－1）≥6，则x≥65.
∵665＜10%，
∴该企业要考虑转型.
综合应用 B
巩固
11.农业农村部发布2024年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有N0只，则能达到最初的1 200倍大约经过（参考数据：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1）（ ）
A.122天 B.124天
C.130天 D.136天
解析：A 由题意可知，蝗虫最初有N0只且日增长率为6%.设经过n天后蝗虫数量达到原来的1 200倍，则N0（1+6%）nN0＝1 200，∴1.06n＝1 200，∴n＝lg1.061 200＝ln1 200ln1.06≈121.614，∵n∈N*，∴大约经过122天能达到最初的1 200倍.
12.（多选）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A.a＝3
B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C.注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D.注射一次治疗该病的有效时间长度为53132时
解析：AD 由函数图象可知y＝4t（0≤t<1),（12）t－a（t≥1),当t＝1时，y＝4，即（12）1－a＝4，解得a＝3，∴y＝4t（0≤t<1),（12）t－3（t≥1),故A正确；药物刚好起效的时间，当4t＝0.125，即t＝132，药物刚好失效的时间，（12）t－3＝0.125，解得t＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时，药物的有效时间不到6个小时，故B错误，D正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C错误，故选A、D.
13.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度f（x）（单位：米）与生长年限x（单位：年）满足关系f（x）＝411+3kx＋b（x∈N）.树木栽种时的高度为12米，1年后树木的高度达到4128米.
（1）求f（x）的解析式；
（2）问从种植之日起，第几年树木生长最快？
解：（1）由已知得f（0）＝12，f（1）＝4128，即411+3b＝12，411+3k＋b＝4128，
所以3b=81，3k＋b=27，解得k＝－1，b=4，
所以f（x）＝411+3－x+4（x∈N）.
（2）令g（x）＝f（x＋1）－f（x）＝411+3－x+3－411+3－x+4＝82×3－x+3（1+3－x+3)(1+3－x+4），
则g（x）＝82×3－x+33－2x+7+4·3－x+3+1＝82127（3x＋37－x）+4≤82227 3x·37－x+4＝412－3，
当且仅当3x＝37－x，即x＝72时取等号，又x∈N，g（3）＝414＝g（4），
故从种植之日起，第3年与第4年树木生长的最
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
反比例函数模型
f（x）＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
函数模型
函数解析式
指数函数模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
对数函数模型
f（x）＝blgax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）
幂函数模型
f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0）
对勾函数模型
y＝ax＋bx（a，b为常数，ab＞0）
类别
y＝ax（a＞1）
y＝lgax（a＞1）
y＝xn（n＞0）
在（0，＋∞）上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与 y轴 接近平行
随x值增大，图象与 x轴 接近平行
随n值变化而各有不同
x
0.50
1.09
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60～90
混合动力汽车
10
50～60
电动汽车
10
40
年份
2020
2021
2022
2023
…
年投资成本x
3
5
9
17
…
年利润y
1
2
3
4
…