2025届新高考数学考点全复习讲义2.4二次函数

这是一份2025届新高考数学考点全复习讲义2.4二次函数，文件包含第四节二次函数答案docx、第四节二次函数docx等2份学案配套教学资源，其中学案共15页， 欢迎下载使用。

2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题.
基础知识
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0）；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
2.二次函数的图象和性质
提醒 注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论
课前自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（ ）
（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈[m，n]）的最值一定是4ac－b24a.（ ）
（3）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0.（ ）
（4）二次函数y＝a（x－1）2＋2的单调递增区间是[1，＋∞）.（ ）
2.函数f（x）＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]上的值域为（ ）
A.[－6，2] B.[—6，1]
C.[0，2] D.[0，1]
3.若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞）上单调递增，则t的取值范围是 .
常用结论
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]：
（1）当－b2a≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）；
（2）当m＜－b2a≤m＋n2时，最小值为f－b2a，最大值为f（n）；
（3）当m＋n2＜－b2a≤n时，最小值为f－b2a，最大值为f（m）；
（4）当－b2a＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）.
结论运用
已知函数f（x）＝－2x2＋mx＋3（0≤m≤4，0≤x≤1）的最大值为4，则m＝ .
聚焦考点 课堂演练
考点1 二次函数的解析式
【例1】 已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.
方法技巧
求二次函数解析式的方法
跟踪训练
已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式.
条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5；
条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}；
条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且x12＋x22＝10.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
考点2 二次函数的图象和性质
考向1 二次函数图象的识别
【例2】 （多选）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（ ）
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
方法技巧
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2 二次函数的单调性与最值
【例3】 已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3.
（1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值.
方法技巧
二次函数最值问题的类型及求解策略
（1）类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴变动、区间固定；③对称轴固定、区间变动.
（2）求解策略：抓住“三点一轴”进行数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴是指对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
跟踪训练
1.设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（ ）
2.已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（ ）
A.[0，＋∞） B.（－∞，0]
C.[0，4] D.（－∞，0]∪[4，＋∞）
3.已知函数f（x）＝x2－tx－1，求当x∈[－1，2]时，f（x）的最大值G（t）.
第四节 二次函数
课后分层跟踪巩固
基础达标 A
1.若f（x）＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2] B.（－2，2）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞） D.（1，3）
2.已知函数f（x）＝（m－1）x2－2mx＋3是偶函数，则在（－∞，0）上此函数（ ）
A.单调递增 B.不是单调函数
C.单调递减 D.不能确定
3.函数y＝1－｜x－x2｜的图象大致是（ ）
4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0，则（ ）
A.∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0
B.∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0
C.∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0
D.∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0
5.已知函数f（x）＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是（ ）
A.[2，＋∞） B.[2，4]
C.（－∞，2] D.[0，2]
6.（多选）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的最大值为14
B.f（x）在（－1，0）上单调递增
C.f（x）＞0的解集为（－1，1）
D.f（x）＋2x≥0的解集为[0，3]
7.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：b 0，ac 0，a－b＋c 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
8.已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋1（a，b∈R，a≠0），x∈R，若函数f（x）的最小值为f（－1）＝0，则f（x）＝ .
9.设二次函数f（x）＝ax2－2ax＋c在区间[0，1]上单调递减，且f（m）≤f（0），则实数m的取值范围是 .
10.已知二次函数f（x）的最小值为1，函数y＝f（x＋1）是偶函数，且f（0）＝3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围.
综合应用 B
巩固
11.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，0] B.[0，3]
C.（－∞，0]∪[3，＋∞） D.[3，＋∞）
12.已知函数f（x）＝2x2－mx－3m，则“m＞2”是“f（x）＜0对x∈[1，3]恒成立”的（ ）
A.充分不必要条件 B.充要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
13.现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解.
已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且满足 .（填所选条件的序号）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）＝f（x）－mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值.
注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分.
14.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是 .
15.定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋kx＋12x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值.解析式
f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）
f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
定义域
R
R
值域

－∞，4ac－b24a
单调性
在x∈（－∞，－b2a］上单调递减；
在x∈ 上单调递增
在x∈（－∞，－b2a］上单调递增；
在x∈ 上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝ 对称