专题06 解三角形综合大题归类（原卷+解析）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc167788154" 一、正弦定理基础：函数值 PAGEREF _Tc167788154 \h 1
\l "_Tc167788155" 二、正弦定理基础：求角 PAGEREF _Tc167788155 \h 2
\l "_Tc167788156" 三、边化角型：面积范围 PAGEREF _Tc167788156 \h 2
\l "_Tc167788157" 四、边化角型：周长范围 PAGEREF _Tc167788157 \h 3
\l "_Tc167788158" 五、边化角型：四边形面积范围 PAGEREF _Tc167788158 \h 3
\l "_Tc167788159" 六、边化角型：有角无边 PAGEREF _Tc167788159 \h 4
\l "_Tc167788160" 七、边化角型：角非对边型 PAGEREF _Tc167788160 \h 4
\l "_Tc167788161" 八、边化角型：边非对称型 PAGEREF _Tc167788161 \h 5
\l "_Tc167788162" 九、边化角型：比值分式型范围 PAGEREF _Tc167788162 \h 5
\l "_Tc167788163" 十、“三大线”型：中线型范围 PAGEREF _Tc167788163 \h 6
\l "_Tc167788164" 十一、“三大线”型：角平分线型范围 PAGEREF _Tc167788164 \h 7
\l "_Tc167788165" 十二、“三大线”型：高与范围最值型 PAGEREF _Tc167788165 \h 7
\l "_Tc167788166" 十三、“三大线”型：定比分点型范围 PAGEREF _Tc167788166 \h 7
\l "_Tc167788167" 十四、内切圆型 PAGEREF _Tc167788167 \h 8
\l "_Tc167788168" 十五、外接圆型 PAGEREF _Tc167788168 \h 9
\l "_Tc167788169" 十六、新定义型压轴题 PAGEREF _Tc167788169 \h 9
一、正弦定理基础：函数值
1．（23-24高一·陕西西安·阶段练习）记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)若，求的值．

2．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，边上的中线．
(1)求的长；
(2)求的值．

3．（2024·天津红桥·二模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．

4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知的三个内角满足：.
(1)求的值；
(2)求角的大小.

二、正弦定理基础：求角
1．（2024高一·上海·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求角B.

2．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）（1）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求A；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，求角B的大小．

3．（23-24高一下·天津·期中）在中，分别是角所对的边，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.

4．（22-23高一下·江苏·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的值.

三、边化角型：面积范围
1．（23-24高一下·四川·期中）锐角的内角的对边分别为，已知
(1)求角的值；
(2)若求面积的取值范围．

2．（2024·全国·模拟预测）已知的三个内角所对的边分别为，满足．
(1)求角．
(2)当面积的最大值为时，求的值．

3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知a，b，c是的内角A，B，C所对的边，，且满足．
(1)求B；
(2)求面积的最大值．

4．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.
(1)求；
(2)已知，求的取值范围.

四、边化角型：周长范围
1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周长的取值范围.

2．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若，求的周长的取值范围．

3．（2024·辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．

4．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角所对的边分别是，已知，
(1)求角；
(2)若，求周长的最大值.

五、边化角型：四边形面积范围
1．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．

(1)若，求BD和AB的值；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．

2．（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在平面四边形中，．
(1)当时，求四边形的对角线和的长度；
(2)设，记四边形的面积为，求的表达式，并求出它的最大值．

3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面四边形中，，，.
(1)若，求；
(2)求四边形面积的取值范围；
(3)若，求.

4．（23-24高一下·甘肃武威·阶段练习）在平面四边形中（在的两侧），.
(1)若，求；
(2)若，求四边形的面积的最大值.

六、边化角型：有角无边
1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)求的最大值．

2．（23-24高一下·重庆·阶段练习）在中，.
(1)求的大小；
(2)求的取值范围.

3．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）记锐角的内角为，
(1)若，求角的最大值；
(2)当角时，求的取值范围.

4．（2024·辽宁·一模）在中，内角所对的边分别为，满足.
(1)求证：；
(2)若为锐角三角形，求的最大值．

七、边化角型：角非对边型
1．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)若，角，求的取值范围.

2．（2024·贵州遵义·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若为锐角三角形，，求b的取值范围．

3．（2024·四川德阳·阶段练习）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

4．（23-24高三下·陕西安康·开学考试）在中，角的对边分别是，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.

八、边化角型：边非对称型
1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为.
(1)求；
(2)若，求的最大值.

2．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角所对的边分别为，且满足
(1)求角的值；
(2)若且，求的取值范围．

3．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求的取值范围．

4．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且．
(1)求B；
(2)若，，求的取值范围．

九、边化角型：比值分式型范围
1．（23-24高一下·吉林长春·期中）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量，．
(1)设单位向量，若与共线，且，求A；
(2)当且为斜三角形时：
（i）若，求B；
（ii）求的最小值．

2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求面积的最大值；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围.

3．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）从下面两个条件中任选一个补全题干，并回答相关问题．已知在三角形中，
条件①：
条件②：
(1)求；
(2)若该三角形是锐角三角形，求的取值范围．

4．（2024·江西鹰潭·二模）的内角的对边分别为，，，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.

十、“三大线”型：中线型范围
1．（2021·河南·三模）在中，角的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的中线，求三角形面积的最大值．

2．（23-24高二下·辽宁本溪·开学考试）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为的面积）.
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______.
(1)求角B的大小；
(2)AC边上的中线，求的面积的最大值.

3．（23-24高一下·云南·阶段练习）在中，角的对边分别是，且．
(1)求角；
(2)若的中线，求面积的最大值．

4．（2024·全国·模拟预测）在中，内角的对边分别为．已知．
(1)求．
(2)若点为边的中点，且，求面积的最大值．

十一、“三大线”型：角平分线型范围
1．（23-24高一下·山东·阶段练习）的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.

2．（23-24高二下·广东汕头·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．

3．（2024·山西吕梁·一模）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)设的角平分线交于点，求的最小值．

4．（2023·湖南郴州·三模）在中，内角所对的边分别为，已知
(1)求角.
(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.

十二、“三大线”型：高与范围最值型
1．（2023·全国·模拟预测）已知中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若边上的高为，求面积的最小值．

2．（2023·全国·模拟预测）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B；
(2)若AC边上的高为，求b取得最小值时的面积．

3．（22-23高二下·河北·期末）记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
(1)求角的大小；
(2)设边上的高，求面积的最小值．

4．（2022·福建福州·三模）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
(1)求角；
(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.

十三、“三大线”型：定比分点型范围
1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，内角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若点为边上靠近的三等分点，且，求面积的最大值．

2．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且______．
(1)求角B的大小：
(2)若点D在的延长线上，且，，求面积的最大值．

3．（23-24高一下·广西百色·阶段练习）的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若点在上，满足，求面积的最大值．

4．（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求角；
(2)若点在线段上，且满足，求面积的最大值．

十四、内切圆型
1．（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，求内切圆半径取值范围．

2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，求内切圆周长的最大值.

3．（22-23高一下·山东淄博·期末）如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足.

(1)判断四边形是否有外接圆?若有，求其半径；若无，说明理由，
(2)求内切圆半径的取值范围.

4．（22-23高一下·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知的三个内角的对边分别为，且，．
(1)求的最大值；
(2)若的内切圆半径为，求的最大值．

十五、外接圆型
1．（2024·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值．

2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角的三内角的对边分别是，且，
(1)求角的大小；
(2)如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．

3．（2024·江西宜春·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求的值；
(2)若外接圆的半径为，且为锐角，求面积的最大值．

十六、新定义型压轴题
1．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别为，已知
(1)求角；
(2)已知，点是边上的两个动点（不重合），记.
①当时，设的面积为，求的最小值:
②三角和差化积公式是一组应用广泛的三角恒等变换式，其形式如图:
它在工程学、绘图测量学等方面，有着广泛的应用．现记，请利用该公式，探究是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由．

2．（23-24高一下·江苏常州·期中）三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．

3．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习），满足，且有，.
(1)求，的解析式.
(2)令的图象位于上方的的取值的集合为，有，使中，且满足的的取值只有一对.设所对边分别为，其中，是线段上一动点.证明：为定值
(3)在（2）的条件下为内部一点，求最小值.
注：.

4．（22-23高一下·福建厦门·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角A；
(2)已知，，点P，Q是边上的两个动点（P，Q不重合），记.
①当时，设的面积为S，求S的最小值：
②记，.问：是否存在实常数和k，对于所有满足题意的，，都有成立?若存在，求出和k的值；若不存在，说明理由.

5．（2024·河北·二模）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
(1)若，且满足，求的大小．
(2)若为锐角三角形．