专题07 数列通项与数列求和常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）（原卷+解析）

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一．由Sn与an关系求通项
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A．8094B．8095C．8096D．8097
【答案】A
【解析】易知，，
故，当时符合题意，故成立,
显然.故选：A
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①中，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，，即，
故为首项为6，公比为3的等比数列，
故.故选：B
3．（21-22高二下·辽宁·期中）设数列满足，则的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，．
当时，，
可得，故当时，．
当时，不满足上式,故，
设的前项和为，当，；
当，，当，满足.
故的前项和为.故选：C.
4．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（ ）
A．B．2024C．D．0
【答案】D
【解析】由，
且，
显然，所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.故选：D
5．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由及得，
即，
即，
所以，即为常数列，
又，所以，即，
所以，
所以.故选：B
二．累加、累乘法求通项
1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（ ）
A．19B．21C．23D．25
【答案】B
【解析】在数列中，，，
所以.故选：B
2．（23-24高二下·江西九江·月考）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意：，所以，
当时，，则，
所以
，故选：A.
3．（23-24高二上·山东青岛·月考）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.故选：B
4．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
因为，所以
，
所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的性质可知，
当时，取得最小值.故选：C
5．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列各项均不为零，且（且），若，则（ ）
A．19B．20C．22D．23
【答案】A
【解析】由，令，
则数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，所以.
所以，
当时也符合上式，所以；
所以,解得，所以，
所以.故选：A
三．待定系数法求通项
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．100
【答案】C
【解析】因为，，所以，
即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
所以.故选：C
2．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，
即，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以.故选：D.
3．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，
所以，两边取倒数得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
.故选：A
4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
【答案】19
【解析】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，∴.故答案为：19．
5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【解析】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
四．取倒数法求通项
1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，又，令，可得，解得，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故．故选：C．
2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（ ）．
A．4B．3C．D．2
【答案】B
【解析】由可得，
所以，则是公比为的等比数列，
所以，所以.故选：B.
3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
【答案】/0.5
【解析】由，得，
则，
又，则，则，
，，
，故答案为：.
4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由，即，
则，又，
故数列是以为公比、为首项的等比数列，
即，则.故答案为：.
5．（23-24高三下·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，设，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，，解得.
故答案为：.
五．逆序相加法求和
1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．2020B．4046C．2023D．4038
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以；
由等比数列性质可得；
又因为函数，所以，
即，所以；
令，则；
所以，
即.故选：C
2．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（ ）
A．8096B．8094C．4048D．4047
【答案】D
【解析】由，
得,
,
,
又，
所以，
所以.故选：D.
3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023B．2024C．D．1012
【答案】A
【解析】因为为正项等比数列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以设，
则，
所以两式相加可得：，故，故选：A.
4．（22-23高二下·辽宁·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
【答案】
【解析】
，，
因为①，
所以②，
两式相加得
，
所以.故答案为：
5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由数列满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由数列满足，
则 .
（3）由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
六．并项法求和
1．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590B．602C．630D．650
【答案】A
【解析】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.故选：A
2．（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 .
【答案】
【解析】由则.
故答案为：
3．（23-24高二下·北京·期中）对于数列，令.若，则 ；若，则 .
【答案】
【解析】由题意可知时，则，
时，则，
，
作差得.故答案为：；
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ．
【答案】
【解析】由，得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
5．（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则数列的前20项和 ．
【答案】
【解析】因为，
又，
所以，
故答案为：.
七．分组转化法求和
1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和为．
【答案】(1)）；(2)
【解析】（1）设的公比为，则，
因为，所以，依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），所以．
（2）由（1）可知，
故
2．（23-24高二下·湖南娄底·月考）设的整数部分为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，；
当时，；
当时，，所以.
故.
（2）当时，；
当时，；
当时，
.
因为，所以.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．
(1)证明：是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，所以，
故
.
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为成等差数列，所以，即，
又，所以，所以通项公式为，；
（2）由（1）可知， 则，
所以
．
5．（23-24高二下·江西·月考）设数列的前n项和为，，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，．
（i）写出数列的前4项；
（ii）求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)（i）0，0，3，0；（ii）
【解析】（1）由得，时，，
两式相减得
，，
数列为等差数列，公差，
，，．
（2）（i）因为，所以，则，
因为，所以，则，
因为3不能表示成的形式，所以，则，
因为，所以，则，
所以的前4项为：0，0，3，0；
（ii）设的前项和记为
因为，
，
所以．
八．含绝对值数列求和
1．（23-24高二下·内蒙古·月考）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
2．（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知当时，，所以.
又，所以 ，
所以；
（2）因为，，
所以，
，
，，
令，可得，
所以当时，，
当时，
，
所以.
3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由，得（），
两式相减得，即（），
所以当时，，
经检验也符合上式，故；
（2）由题意，
记，则数列的前项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，
4．（23-24高二下·江西·月考）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）因为，
即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，
即，
综上，
5．（23-24高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】(1)当时，，
由，得，即，
当时，，当时，，
所以；
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以当时,，
当时，
，
即
九．错位相减法求和
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）数列中，，，当时，，
两式相减得，整理得，
而，因此，又，即，解得，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，令数列的前项和为，
，
于是，
两式相减得，
所以.
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式：
(2)设的前项和为，证明：；
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则，所以，
则，即，
所以
（2）因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
从而，即.
（3）由（1），记的前n项和为，
所以①
则②，
①-②，得：，
所以.
3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意知①，
当时，.
当时，②.
①-②得适合上式，
③，则④.
得，
两边同时取以2为底的对数，得，
则，又，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由题意及（1）知，则，
所以，
两式相减得，
.
4．（23-24高二下·四川成都·期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，都有成立，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)；(3)
【解析】（1）设，所以，，
即，
因为，所以，
所以.
又因为，所以，
作差得，化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2），，
因为，所以，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（3）因为，
所以，
所以
作差得，
所以.
5．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)7
【解析】（1）设，则．
因为是公差为2的等差数列，所以．
设，则，
所以时，
．
所以，即，
又，满足上式，所以
（2）（方法一）因为，
所以
两式相减得．
设，
则，
两式相减得
，
则．
所以，即．
（方法二）因为，
所以．
所以
则，
即．
（3）当时，，且，所以的定值为9．
所以当时，．
令，则，
，
所以单调递减．
因为，所以，即正整数的最小值为
十．裂项相消法求和
1．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，求的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为，
所以，
两边同时除以得，
即，
所以数列是公差为4的等差数列．
（2）由（1）得是公差为4的等差数列，首项，
所以，所以，
，
所以
．
2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
3．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，
当时，所以；
当时，
所以，所以，
经检验当时也成立，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
当时，，
且，
所以单调递增，所以．
4．（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为．
因为，所以，
化简得，所以
所以数列的通项公式为；
（2），
整理得，
所以
，
整理得
5．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以，当时上式成立，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.