专题08 导数的运算、几何意义及极值最值常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）（原卷+解析）

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一．导数定义中极限的应用
1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（ ）
A．与，都有关B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关D．与，均无关
【答案】B
【解析】易知函数在处可导，故，
显然此极限仅与有关而与无关，故B正确.故选：B
2．（23-24高二下·重庆长寿·月考）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2B．C．10D．5
【答案】C
【解析】由题意可得：.故选：C.
3．（23-24高二下·广东江门·月考）若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A．4B．2C．0D．
【答案】A
【解析】由已知得 .故选：A
4．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若是可导函数，且，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】.故选:A．
5．（22-23高二上·安徽安庆·月考）若是函数的导数，且，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】根据导数值的定义，
.故选：A
二．求某点处的导数值
1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知，则（ ）
A．7B．11C．12D．9
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以.故选：C
2．（23-24高二下·河北保定·月考）已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意得，则.
因为，所以，即.故选：B.
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数，
可得，
令，可得，所以.故选：C.
4．（22-23高二下·陕西商洛·期末）已知函数则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，解得．
由，解得，则．故选：D.
5．（23-24高二下·广东深圳·月考）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，若，则（ ）
A．B．49C．50D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
，，
所以，。故选：D
三．利用导数求曲线的切线
1．（23-24高二下·广东清远·月考）曲线在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，所以，又，
所以曲线在处的切线的方程为：，即.故选：D.
2．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，则，
即曲线在点处的切线的斜率为.故选：B.
3．（23-24高二下·陕西西安·月考）曲线与轴的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【解析】由题意可知的定义域为，
令，
因为均在内单调递增，则在内单调递增，
当时，且，可知的根为1，即，
又因为，则，
可知曲线在点处的切线为，
令，可得，即切线与y轴的交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.故选：B.
4．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．故选：C．
5．（22-23高二下·四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 .
【答案】或
【解析】令该切线方程的切点为，
则，
，，
则有，
又该直线过点，故有，
化简得，即，
故或，
当时，有，即，
当时，有，即.
故答案为：或.
四．根据切线求参数范围
1．（23-24高二下·湖北·期中）若直线与曲线相切，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设切点为，由可得，则，
所以，解得，即..故选：D.
2．（23-24高二下·重庆巴南·期中）曲线过点的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，有，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
由切线过点且与直线垂直， 有，
解得，.故选：A.
3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．9B．12C．14D．16
【答案】D
【解析】由题意可得：的导数为，
设切点为，切线斜率，
则在该点的切线方程为，
即，
由题意可得，整理得，
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为16.故选：D.
4．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又该切线过原点，所以，
整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故，解得.
故选：A
5．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
五．两条曲线的公切线问题
1．（23-24高二下·河南·月考）过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.故选：D
2．（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，故选：A
3．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】函数的图像关于原点对称，则有，
即，解得，所以，
由，所以在点处的切线方程为，
整理得．
设，直线l与的图像相切于点，因为，
所以切线方程为，整理得，则（*），
整理得，
当时，，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．故选：C
4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，由得，
设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
与曲线的切点为，则切线的斜率为
所以.
当曲线与的切点相同时，，
解得，所以切点为，此时公切线的方程为；
当曲线与曲线的切点不同时，，得，
所以，即，得，此时与矛盾，
故不存在两切点不同的情况，
综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为.故选：A.
5．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．故选：B．
六．利用导数研究函数的单调性
1．（23-24高二下·河南·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.故选：B.
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)若为的导函数，讨论的单调性．
【答案】(1)1；(2)答案见解析
【解析】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，结合
所以，
所以；
（2）令，则，
若，则，从而，在上单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）因为，， 所以，
曲线在处的切线与垂直，
所以， 得；
（2）由得，
当时，的定义域为，
令得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，的定义域为，
令得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
4．（23-24高二下·四川内江·月考）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)
【解析】（1）函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，
所以关于的方程异号的两个实数根，
解得或（舍），
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）依题意可得当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则.
令，，
由，知在上单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
5．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），其定义域为，
则．
①当，即时，令，得，令，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
②当，即时，由，得，．
（ⅰ）当，即时，
令，可得或；令，可得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（ⅱ）当，即时，，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
（ⅲ）当，即时，
令，可得或；令，可得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
七．根据函数的单调性求参数
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
显然函数在上单调递增，当时，，则，
所以实数的取值范围为.故选：C
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
由题意得：在上恒成立，即恒成立，
设，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，故，
所以正实数.故选：C.
3．（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
因为在上不单调，等价于在上有极值点，
等价于在内有根，即在内有根，
结合的形式特征可得：原题意等价于，解得，
所以实数的取值范围为.故选：B.
4．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，在区间上能成立，
即在区间上能成立，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得.故选：B.
5．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：且，解得
此时，令解得符合题意，故.故答案为：.
八．利用导数构造函数不等式
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，则，
所以在单调递减，因为，所以，
时，不等式化为，即，即，所以，
所以不等式的解集为.故选：C.
2．（23-24高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.故选：D.
3．（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
所以在上单调递减，因为，所以，
不等式可变形为，即，可得，故选：B.
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，
所以不等式 的解集为.故选：C.
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
，
，
，
在定义域上单调递增，
不等式等价为不等式，
即为，即，则，
为奇函数，
当时，，即，得，
又，
等价于，
，
不等式的解集为.
故答案为：．
九．利用导数求函数的极值最值
1．（23-24高二下·福建龙岩·月考）函数的极大值点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极大值点是.故选：C.
2．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求，；
(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，
极小值为
【解析】（1）定义域为，，
将点代入中，
，∴.
（2），
，
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)，；(2)最小值是，最大值是.
【解析】（1），
∵函数在处取得极值4，
∴，，解得，，
∴，经验证在处取得极大值4，
故，.
（2）由（1）可知，，，
令，解得，令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在在时取得极小值，极小值为；
在时取得极大值，极大值为，且，，
经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)；(2)最大值为36，最小值为
【解析】（1）解：函数，定义域为，
则，
所以，又因为，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）函数，，
则，
令得，或1，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为36，最小值为．
5．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，其中.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，，
则，，
所以，故切线方程为：，即.
（2）函数的定义域是，
又.
当时，令则或（舍去）.
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是.
综上可得.
十．根据极值最值求参数范围
1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】B
【解析】，则，即，
解得或，
当时，，
此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.
当,，令，解得或，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则为极小值点，符合题意.
故点为，故选：B
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，则，
函数既有极大值，也有极小值，
等价于一元二次方程在上有2个不同的实根，
则，解得，
即实数a的取值范围为.故选：B
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知定义在上的函数（），设的最大值和最小值分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，求导得，
令，显然函数的图象开口向下，且，
则函数必有两个异号零点，不妨设，有，，
而恒成立，则当或时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，恒成立，当时，恒成立，且，
于是的最大值，最小值，
则，
由，得，则，
所以的取值范围是.故选：A
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）若，则，其定义域为
从而，
故，
故所求切线方程为.
（2）因为，
则，得
当，即时，可知在恒成立，所以在上单调递增，
所以，即（舍去）；
当，即时，可知当时，，当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
可得此时，解得（舍去）；
当，即时，易知在恒成立，所以在单调递减，
所以，解得，符号条件；综上所述，.
5．（23-24高二下·河南·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.2
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值