专题09 导数与零点、不等式综合常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）（原卷+解析）

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一．利用导数判断零点个数
1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的零点的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】的定义域为R，且，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
故函数的零点的个数为2.故选：C
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，故选：B.
3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则方程的根的个数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】
对求导得：，
所以当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，函数在处取得极小值，
在处取得极大值，
作出曲线，如图，
由得，解得，
令，则，结合图象方程有两解，
，所以或，
因为，所以, 结合图象可知方程有两解，
又因为，结合图象可知也有两解，
所以方程共有4个根.故选：B
4．（23-24高二下·全国·期末）若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足.
(1)求，的解析式；
(2)令，证明函数有且只有个零点.
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】（1）是上的偶函数，是上的奇函数，
，即，
解得：，.
（2）由（1）得：，
（当且仅当，即时取等号），，
在上恒成立，在上单调递增，
，，
，使得，
又在上单调递增，有且只有个零点.
5．（23-24高二下·安徽·月考）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，讨论函数零点的个数．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【解析】（1）由题函数定义域为R，为增函数，
所以当时，恒成立，此时为R上的增函数，无极大值也无极小值；
当时，令，
故当时，，在上的单调递减，
当，，在上的单调递增，
所以存在极小值为，无极大值.
综上，当时，无极大值也无极小值；
当时，存在极小值为，无极大值.
（2）当时，
由（1）知在上的单调递减，在上的单调递增，
有最小值为，
所以当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，，又
，故有2个零点；
综上，当时， 无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.
二．根据零点个数求参数
1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ．
【答案】
【解析】由得，令，
则，令，得或，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，极大值为，且恒成立，
所以函数的大致图像如图所示：
所以函数有三个零点，则.
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知函数的定义域为，
设，明显单调递增，且，，
所以存在唯一的使，即，即，
令，得，
设，可得
当使，单调递减，当使，单调递增，
又，当时，且，又，当时，
所以当时，存在唯一的使，即，
当时，由得，此时不符合题意，舍去，
综上实数的取值范围是.
3．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数，令，
则，显然函数在R上单调递增，而，
由，得，于是，即，令，
依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根，
亦即直线与函数的图象有两个公共点，
由，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
因此，且，当时，恒成立，
而当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是.
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，其中，且函数的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）函数的定义域为，又，
因为，所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以在处取得极大值即最大值，
即，解得.
（2）由（1）知，则，
则的定义域为，
所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为函数有两个零点，
又当时，当时，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
5．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，函数，可得，
所以，且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
可得是的一个零点，
因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根，
即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，可得，令，可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，
且当时，，
所以，当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以且．
所以a的取值范围是．
三．证明不等式成立问题
1．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
（2），
由可得，或，，单调递增；
，，单调递减．
又因为，，
所以恒成立．
2．（23-24高二下·安徽合肥·月考）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）由题知，函数的定义域为，
所以求导得，
若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，
由得或，由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，
由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
3．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，又为上的单调递增函数，
当时，恒成立，即恒成立，
令，，则，
在在上单调递减，，
，即实数的取值范围为；
（2）依题意只需证明：当时，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，为单调递增函数，
所以为单调递增函数，，即，
，即当时，．
4．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知函数
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，没有极值点，当时，有1个极值点；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，
①当时，恒成立，单调递减，不存在极值点；
②当时，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
此时有1个极值点；
综上，当时，没有极值点，当时，有1个极值点.
（2）由（1）可知当时，在单调递减，在单调递增，
所以，
令，
则，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，恒成立，
所以，所以.
5．（23-24高二下·山西长治·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析
【解析】（1）的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，当时，.
要证明成立，只要证明，
即证.
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，.
四．不等式恒成立问题
1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】由，，得
，所以在为减函数，
又函数在也为减函数，在上单调递减，
①当时，
当时，单调递减，
，符合题意；
②当时，
存在，使得，
当时，单调递减，
，不符合题意，舍去；
③当时，，又在上单调递减，
当时，单调递减，
.
令，则
在上单调递减，
，符合题意.
综上所述，的最小值为1.故选：C.
2．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，设函数 若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，故定点，对称轴为，
当，，解得，所以，
当时，在上单调递减，且，所以，
所以在恒成立，可得，
当时，恒成立，即恒成立，
令，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
综上可得：故选：B
3．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值集合.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题意得：的定义域为，，
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，令，解得：，
所以当时，，
当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间，
时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）当时，，不合题意，
当时，由（1）知，则，
令，则，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
实数的取值集合为.
4．（23-24高二下·江西·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，时，，
则不一定成立，故不满足题意.
当时，.
令，则，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而
所以时，，且.
所以的解集为，所以，
即，故的取值范围为.
5．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）∵，∴，
∵函数在点处取得极值，∴，
∴，经检验，符合题意，∴；
（2）∵，∴恒成立，
即对任意恒成立．
令，则．
设，易得是增函数，
而，∴时，，即，
时，，即，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，∴．
五．不等式能成立问题
1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，由，得，即，
设，则，
所以函数在单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
即实数a取值范围为.
2．（23-24高二下·四川成都·期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式，得，即，
设函数，，故在上单调递增，
而，即，
则，，
即存在，使，即，
设，，得
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即
3．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)
【解析】（1）的定义域为，
，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）在上有解在上有解在上有解，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
所以，所以，
故实数的取值范围是.
4．（23-24高二下·河南·月考）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为；(2)
【解析】（1）当时，其定义域为
当时，当时，
所以的单调递减区间为单调递增区间为
（2）不等式在上有解等价于在上有解，
令则
令易知在上单调递减，且
所以当时，即当时，即
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以所以即实数的取值范围为
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为是奇函数，所以，
即，所以，所以．
由，得．
因为在上取得极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在处取得极大值，
故．
（2）由（1）可知，，
当时，， 当和时，，
即在上单调递增，在，上单调递减，
所以在取得极小值，在处取得极大值，
又因为，，，，
所以在上的最大值为，最小值为，
要使得有解，则，解得，
所以的取值范围为．
六．双变量不等式问题
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对任意的，，且，，易知，
则，所以，即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．故选：C．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1），
当时，，，的减区间是．
当时，，的减区间是．
当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，
因为存在实数，使得不等式成立，，
，，,，，单减，
，，单增．
．
，，，．
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题知，，，
①当时，，
则时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以的增区间是，减区间是；
②当时，，
当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的增区间是和，减区间是；
③当时，，故的单调递增区间是；
④当时，，在和上，单调递增；
在上，单调递减；
故的增区间是和，减区间是，
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是和，减区间是；
当时，的增区间是，
当时，的增区间是和，减区间是．
（2）因为，对于，，使得，
所以，
由（1）知，，
当时，在上单调递增，
，
所以，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由得，，所以，即，
所以，
综上所述，的取值范围是．
4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；；(2).
【解析】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
5．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
七．利用导数解决一类整数问题
1．（23-24高二下·山西晋城·月考）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)2
【解析】（1）函数，定义域为，则，
因为，设，，
则令得，，，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
综上所述：的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解，
当时，无非零解，
设，则，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以最小值为，
当时，，当时，，
故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0，
所以，所以，则，
，得，，，
所以，得，
设，则，
令，则，
因为时，，所以，则在单调递增，
又，
所以使得，所以，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以最小值，且，得，
又因为，所以，
因为，所以，故整数的最大值为2.
2．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)在处取得极大值，无极小值；(2)当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减；(3)整数的最大值为5
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，
使得，即，所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
3．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
4．（2023·四川德阳·一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）由题得，切点为，
因为，所以．
故所求切线为
又
当时，，所以；
当时，，所以
综上，．
（2）因为
所以
令，得或
因为在上单增，
故在有根，可知在上增，上减，在上增
所以，的极大值点为且且．
故
所以，故．
5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上恰有一个零点，且，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)
【解析】（1）当时，，函数定义域为R，
，
当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数，
当时，，函数在上单调递增；
时，函数，有在上恒成立，
即时，函数，在上单调递增；
所以时在上单调递增.
由，则时，在上恒成立，不合题意.
当时，，，
在上有零点，不合题意，
当时，，，
，在上有一个零点.
时，，，恒成立，
则在上只有一个零点，且.
所以满足条件的最大整数的值为1.
八．隐零点问题综合应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由题意，函数，
不等式可化为恒成立，且，即恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使，
当时单调递增，
当时单调递减．
故的最大值为，
又，故，
两边取对数得，
又在定义域内单调递增，所以，故，
所以，所以．
2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)当，时，求证恒成立；
(2)当时，，求整数的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【解析】（1）当，时，记，则，
因为在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以恒成立.
（2）当时，，即，
因为，所以只需，
令，，
令，，在上是增函数，
，，
根据零点存在定理，，使得，
即，即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，故；
又在上单调递增，，所以，
又，所以．所以整数的最大值是.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，则.
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
（2）要证在上有解，即证在上有解，
即证在上有解.
令，则.
设，则.
当时，；当时，.
所以即在上单调递增，在上单调递减.
又因为，，
，
所以由零点存在性定理知，，使，即，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，即，
且时，，
所以当时，直线与函数的图像在上有交点，
在上有解.
4．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）当时，，则，，，
曲线 在点处的切线方程为，即；
（2）由得，在上恒成立，
令，则，
令，易知在单调递增，，，
，使得，即，
当时，，当时，，
在单调递减，在上单调递增，，
由得，
，，，
的取值范围是.
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1），；
当时，，故在上单调递增；
当时，令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，即
令，，
则，，
令，，则
则在上单调递增，
由于，.所以存在，使得
故在上单调递减，在上单调递增
最小值为，
由于满足，则，
两边取对数，
又在上单调递增，
则有，则
故，
故．则
九．极值点偏移常规类型
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取最小值．
因为当时，，当时，，
且函数恰有两个零点，
所以,所以的取值范围为．
（2）由（1）知，为的极小值点，
所以可设，则，
构建函数，，
所以当时，，
函数单调递增，所以当时，，
所以，
因为，所以，所以，
又函数在上单调递增，所以，所以．
2．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，即在上递减，
故，所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；(2)见解析
【解析】（1）由题意可得，所以，
的定义域为，
又，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
（2）由，得，设，
，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又，，且当趋近于正无穷，趋近于，
的图象如下图，
所以当时，方程有两个根，
证明：不妨设，则，，
设，
，所以在上单调递增，
又，所以，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，所以，故.
4．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
【答案】(1)结论见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，
因此，，
又，则有，则，
所以.
5．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
十．极值点偏移非常规类型
1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.
【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)证明见解析
【解析】（1），
令，解得，令，解得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）证明：将两边同时除以得，即，
所以，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，
设，则，
令，
则，
由得，所以，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
当时，，即，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，
所以，即.
2．（22-23高二下·四川成都·月考）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；
（ⅱ）当时，令得，，
故时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减.
综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为存在两个不同的零点且，
由（1）知，且，即，解得，且，
又，所以，
由，得，即，
所以.
下面证明：
因为是函数的两个零点，则，
即，令，得，
要证，只需证，
等式两边取对数，得，
即证，
即证，
即证，
设，
，且，
.
当时，，则函数在上单调递减，且，
所以，即.
所以不等式得证.
3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
则，，
所以的图象在处的切线方程为：，即.
（2），
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，
因为，设，则，
所以只需或，解得或，
故实数a的取值范围为.
（3）由题意可知，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，则且，
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
【答案】(1)0；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为是函数的极值点，所以，解得，
所以，所以令，所以，
所以当时，，函数单调递减．
又，所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以确实是函数的极大值点．
综上所述，实数的值为0．
（2）因为，函数的两个极值点为，且，
所以
设，，则．
构建函数，则函数的图象与直线交于，两点．
因为，所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以．
构建函数，所以函数的图象与直线交于点．
构建函数，所以，
所以当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，
所以，所以，
所以，
所以，所以．
5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，讨论函数的单调性
(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
，
当时，在区间上恒大于0，此时函数的单调递增区间是；
当时，设，其中，
当，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
当时，，
当时，，此时恒成立，函数的单调递增区间是，
当时，，
当且，
所以在区间上恒大于0，即函数的单调递增区间是，
综上可知，时，函数的单调递增区间是，
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是；
（2）不妨设，因为，
则，
即，得，
由，
则，
所以，
，
设，构造函数，，
所以在上为增函数，
所以，即，
又，，，所以.