【备战2025年高考】 高中物理一轮复习 直线运动专题 第2章 第3讲　力的合成与分解导学案（教师版+学生版）

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1.会应用平行四边形定则及三角形定则求合力.
2.能利用效果分解法和正交分解法计算分力.
科学思维
1.知道“活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”的区别．
考点一 共点力的合成
梳理·必备知识
1．合力与分力
(1)定义：如果一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这个力叫作那几个力的合力，那几个力叫作这个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
2．共点力
作用在物体的同一点,或作用线相交于一点的几个力。如图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的分力的合力，可以用表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示，F1、F2为分力，F为合力。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。如图乙所示，F1、F2为分力，F为合力。
4．两个共点力的合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
(1)两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
(2)当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
1．合力和分力可以同时作用在一个物体上。( × )
2．两个力的合力一定比任一分力大。( × )
3．两分力同时增大1倍，合力也增大1倍。( √ )
4．两分力都增加10 N，合力也增加10 N。( × )
思考
1．互成角度的两个力，其中一个力增大后，合力一定增大吗？请作图说明。
答案 不一定。如图，F2增大后，合力F可能减小，可能不变，可能增大。
2．(1)有三个共点力F1＝8 N，F2＝7 N，F3＝10 N，则这三个力合力的最大值为______ N，最小值为________ N。
(2)有三个共点力F1＝8 N，F2＝7 N，F3＝16 N，则这三个力合力的最大值为______ N，最小值为________ N。
(3)根据(1)(2)计算结果，总结求三个力合力最小值的规律：____________________________。
答案 (1)25 0 (2)31 1
(3)如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围之内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；否则Fmin＝F3－(F1＋F2)(F3为三个力中最大的力)。
提升·关键能力
1．求合力的方法
2．合力范围的确定
(1)两个共点力的合力大小的范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2.
①两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．
②当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2.
(2)三个共点力的合力大小的范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3.
②最小值：如果一个力的大小处于另外两个力的合力大小范围内，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不处于，则合力的最小值等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和，即Fmin＝F1－(F2＋F3)(F1为三个力中最大的力)．
3．合力与分力的关系
(1)两个分力一定时,夹角θ越大,合力越小。
(2)合力一定,两等大分力的夹角越大,两分力越大。
(3)合力可以大于分力、等于分力,也可以小于分力。
4．几种特殊情况的共点力的合成
考向1 合力大小的范围
例1 (多选)两个共点力F1、F2大小不同，夹角为α(0<α<π)，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
B．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2都增大，但F不一定增大
答案 BD
解析 F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则合成之后，合力的大小增加不一定是10 N，故A错误；根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故B正确；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变大或变小，也可能不变，故C错误；若F1、F2都增大，根据平行四边形定则可知F不一定增大，故D正确．
考向2 作图法求合力
例2 一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
答案 B
解析 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B.
考向3 解析法求合力
例3 射箭是奥运会上一个观赏性很强的运动项目，中国队有较强的实力．如图甲所示，射箭时，刚释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图乙中F所示，则弓弦的夹角α应为(cs 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
答案 D
解析 弓弦拉力的合成如图所示，由于F1＝F2，由几何关系得2F1cs eq \f(α,2)＝F，有cs eq \f(α,2)＝eq \f(F,2F1)＝eq \f(120 N,2×100 N)＝0.6，所以eq \f(α,2)＝53°，即α＝106°，故D正确．
考点二 力的分解的两种常用方法
梳理·必备知识
1．力的分解是力的合成的逆运算，遵循的法则：平行四边形定则或三角形定则。
2．分解方法
(1)按力产生的效果分解
①根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。
②再根据两个分力方向画出平行四边形。
③最后由几何知识求出两个分力的大小和方向。
(2)正交分解
如图，将结点O的受力进行分解．
1．合力与它的分力的作用对象为同一个物体．( √ )
2．在进行力的合成与分解时，都能应用平行四边形定则或三角形定则．( √ )
3．2 N的力能够分解成6 N和3 N的两个分力．( × )
提升·关键能力
1．力的效果分解法
(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．
(2)再根据两个分力方向画出平行四边形．
(3)最后由几何知识求出两个分力的大小和方向．
2．力的正交分解法
(1)建立坐标轴的原则：在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系．
(2)多个力求合力的方法：把各力向相互垂直的x轴、y轴分解．
x轴上的合力Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小F＝eq \r(Fx2＋Fy2)
若合力方向与x轴夹角为θ，则tan θ＝eq \f(Fy,Fx).
考向1 按照力的效果分解力
例4 刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图是斧头劈木柴的情景．劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开．设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头自身的重力，则劈的侧面推压木柴的力的大小为( )
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
答案 B
解析 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似有 eq \f(d,F)＝eq \f(l,F1)＝eq \f(l,F2)，得推压木柴的力F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误．
考向2 力的正交分解法
例5 (2022·辽宁卷·4)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态．蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)．用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则( )
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
答案 D
解析 对结点O受力分析可得，水平方向有F1x＝F2x，即F1的水平分力等于F2的水平分力，选项C错误，D正确；F1y＝eq \f(F1x,tan α)，F2y＝eq \f(F2x,tan β)，因为α>β，故F1y力的正交分解的两点注意
(1)力的正交分解是在物体受三个或三个以上共点力作用下求合力的一种方法,分解的目的是更方便地求合力,将矢量运算转化为代数运算。
(2)一般情况下,应用正交分解法建立坐标系时,应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上,这样解方程较简单。
考向3 非共面力的合成与分解
例6 (多选)(2024河北保定质检)如图所示(俯视图),完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上,每个足球的质量都是m,不考虑转动情况,下列说法正确的是( )
A.下面每个足球对地面的压力均为43mg
B.下面的足球不受地面给的摩擦力
C.下面每个足球受地面给的摩擦力均为33mg
D.上面足球对下面每个足球的压力均为66mg
答案 AD
解析 以四个足球整体为研究对象,受力分析可得,3FN=4mg,可知下面每个足球对地面的压力均为FN'=FN=43mg,A正确;单独分析上面足球,由对称性和几何关系可知,上下球心连线与竖直方向的夹角α均满足sin α=2r32r=33,则cs α=63,由平衡条件可得3Fcs α=mg,解得F=66mg,由牛顿第三定律得,上面足球对下面每个足球的压力均为66mg,D正确;单独分析下面一个足球,由水平方向合力为零可知,Ff=Fsin α=26mg,即下面每个足球受地面给的摩擦力均为26mg,B、C错误。
在力的合成与分解的实际问题中,经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况,而在这类平衡问题中,又常有图形结构对称的特点,结构的对称性往往对应着物体受力的对称性,解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性,结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程,求解结果。
考点三 “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”
提升·关键能力
1．活结：当绳绕过光滑的滑轮或挂钩时，绳上的力是相等的，即滑轮只改变力的方向，不改变力的大小，如图甲，滑轮B两侧绳的拉力大小相等．
2．死结：若结点不是滑轮，而是固定点时，称为“死结”结点，则两侧绳上的弹力大小不一定相等，如图乙，结点B两侧绳的拉力大小不相等．
3．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动．如图乙所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
4．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图甲所示．
考向1 细绳上“死结”与“活结”模型
例7 如图，A、B两物体通过两个质量不计的光滑滑轮悬挂起来，处于静止状态．现将绳子一端从P点缓慢移到Q点，系统仍然平衡，以下说法正确的是( )
A．夹角θ将变小
B．夹角θ将变大
C．物体B位置将变高
D．绳子张力将增大
答案 C
解析 因为绳子张力始终与物体B的重力平衡，所以绳子张力不变，因为物体A的重力不变，所以绳子与水平方向的夹角不变，因为绳子一端从P点缓慢移到Q点，所以物体A会下落，物体B位置会升高，故选C.
例8 如图所示，用两根能承受的最大拉力相等、长度不等的细绳AO、BO(AO>BO)悬挂一个中空铁球，当向球内不断注入铁砂时，则( )
A．绳AO先被拉断
B．绳BO先被拉断
C．绳AO、BO同时被拉断
D．条件不足，无法判断
答案 B
解析 依据力的作用效果将铁球对结点O的拉力分解如图所示．据图可知FB>FA，又因为两绳承受的最大拉力相等，故当向球内不断注入铁砂时，BO绳先断，选项B正确．
考向2 “动杆”与“定杆”模型
例9 如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的光滑定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为eq \f(m1g,2)
B．图乙中HG杆受到绳的作用力大小为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG的大小之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG的大小之比为m1∶2m2
答案 D
解析 题图甲中是一根绳跨过光滑定滑轮，绳中的弹力大小相等，两段绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，则合力的大小是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向左下方，故BC对滑轮的作用力大小也是m1g，方向与竖直方向成60°角斜向右上方，A选项错误；题图乙中HG杆受到绳的作用力大小为eq \r(3)m2g，B选项错误；题图乙中FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，则eq \f(FAC,FEG)＝eq \f(m1,2m2)，C选项错误，D选项正确．
练习·固本增分
1、(2023辽宁葫芦岛二模)有一种瓜子破壳器的简化截面如图所示,将瓜子放入两圆柱体所夹的凹槽之间,按压瓜子即可破开瓜子壳。瓜子的剖面可视作顶角为θ的扇形,将其竖直放入两完全相同的水平等高圆柱体A、B之间,并用竖直向下的恒力F按压瓜子且保持静止,若此时瓜子壳未破开,忽略瓜子重力,不考虑瓜子的形状改变,不计摩擦,保持A、B距离不变,则
( )
A.圆柱体A、B对瓜子压力的合力为零
B.顶角θ越大,圆柱体A对瓜子的压力越小
C.顶角θ越大,圆柱体A对瓜子的压力越大
D.圆柱体A对瓜子的压力大小与顶角θ无关
答案 B
解析 圆柱体A、B对瓜子压力的合力不为零,合力的方向竖直向上,A错误;根据平行四边形定则和三角函数得sin θ2=F2FA,解得FA=F2sin θ2,合力F恒定,顶角θ越大,圆柱体A对瓜子的压力FA越小,B正确,C、D错误。
2、 (★一题多解)(多选)如图所示,电灯的重力G=10 N,AO绳与水平顶板间的夹角为45°,BO绳水平,AO绳的拉力为FA,BO绳的拉力为FB,则( )
A.FA=10 NB.FA=10 N
C.FB=10 ND.FB=10 N
答案 AD
解析 方法一 效果分解法
在结点O,电灯的重力产生了两个效果,一是沿AO向下拉紧AO绳的分力F1,二是沿BO向左拉紧BO绳的分力F2,分解示意图如图所示。则
FA=F1=Gsin45°=102 N,FB=F2=Gtan45°=10 N,故选项A、D正确。
方法二 正交分解法
结点O受力如图所示,正交分解OA绳的拉力,F=G=10 N,FAsin 45°=F,
FAcs 45°=FB,代入数值得FA=10N,FB=10 N,故选项A、D正确。
课时精练
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
答案 C
解析 三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，选项A错误；合力可能比三个力都大，也可能比三个力都小，选项B错误；合力能够为零的条件是三个力的矢量箭头能组成首尾相接的三角形，任意两个力的和必须大于第三个力，选项D错误，C正确．
2．用两根等长轻绳将木板挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千．某次维修时将两轻绳各剪去一小段，但仍保持两绳等长且悬点不变．木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木板拉力的大小，则维修后( )
A．F1不变，F2变大 B．F1不变，F2变小
C．F1变大，F2变大 D．F1变小，F2变小
答案 A
解析 由于木板始终处于静止状态，因此维修前、后合力F1都是零，保持不变，两轻绳各剪去一段后，长度变短，悬挂木板时，轻绳与竖直方向的夹角变大，根据力的合成知，合力不变，两分力夹角变大时，两分力变大，故A正确，B、C、D错误．
3．(多选)为使舰载机在几秒内迅速停在航母上，需要利用阻拦索将舰载机拦停(如图甲)，此过程可简化为如图乙所示模型，设航母甲板为一平面，阻拦索两端固定，并始终与航母甲板平行．舰载机从正中央钩住阻拦索，实现减速．阻拦索为弹性装置，刚刚接触阻拦索就处于绷紧状态，下列说法正确的是( )
A．舰载机落在航母上钩住阻拦索时，只受重力、阻拦索的弹力和航母甲板的摩擦力三个力作用
B．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，阻拦索对飞机的弹力在变大
C．当阻拦索被拉至夹角为120°时，设阻拦索的张力为F，则阻拦索对舰载机的弹力大小为F
D．舰载机钩住阻拦索继续向前运动的过程中，舰载机所受摩擦力一直在变大
答案 BC
解析 舰载机受重力、阻拦索的弹力、航母施加的摩擦力与支持力四个力作用，故A错误；阻拦索的长度变长，张力变大，对飞机作用的是阻拦索上两个分力的合力，夹角变小，合力变大，故B正确；如图，阻拦索的张力夹角为120°时，F合＝F，故C正确；由滑动摩擦力F滑＝μFN＝μmg，故舰载机所受摩擦力不变，故D错误．
4．(2023·江苏镇江市高三检测)如图所示一个“Y”形弹弓，两相同的橡皮条一端固定在弹弓上，另一端连接轻质裹片．若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的伸长量为L，橡皮条之间夹角为60°，则发射瞬间裹片对弹丸的作用力大小为( )
A.eq \r(3)kL B．2eq \r(3)kL C．kL D．2kL
答案 A
解析 每根橡皮条产生的弹力大小为F＝kL，夹角为60°，则合力大小为F合＝2Fcs 30°＝eq \r(3)kL，故选A.
5．如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为( )
A．50 N B．30 N
C．20 N D．10 N
答案 B
解析 利用三角形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30 N，故选B.
6．(2023·山西吕梁市模拟)如图所示，四根等长的细绳一端分别系于水桶上关于桶面圆心对称的两点，另一端被两人用同样大小的力F1、F2提起，使桶在空中处于静止状态，其中F1、F2与细绳之间的夹角均为θ，相邻两细绳之间的夹角均为α，不计绳的质量，下列说法正确的是( )
A．保持θ角不变，逐渐缓慢增大α角，则桶所受合力逐渐增大
B．保持θ角不变，逐渐缓慢增大α角，则细绳上的拉力逐渐增大
C．若仅使细绳变长，则细绳上的拉力变大
D．若仅使细绳变长，则F1变大
答案 B
解析 保持θ角不变，逐渐增大α角，由于桶的重力不变，则F1、F2会变大，由F1＝2FTcs θ可知，绳上的拉力逐渐增大，但桶处于平衡状态，所受合力为零，选项A错误，B正确；保持α角不变，则F1、F2大小不变，若仅使绳变长，则θ角变小，由F1＝2FTcs θ可知，绳上的拉力变小，选项C、D错误．
7．(2023·浙江嘉兴市模拟)如图所示，某物体同时受到共面的三个共点力作用，坐标纸小方格边长的长度对应1 N大小的力．甲、乙、丙、丁四种情况中，关于三共点力的合力大小，下列说法正确的是( )
A．甲图最小 B．乙图为8 N
C．丙图为5 N D．丁图为1 N
答案 D
解析 由题图可知，F甲＝2 N，方向竖直向上；F乙＝eq \r(80) N，方向斜向右下；F丙＝eq \r(20) N，方向斜向左上；F丁＝1 N，方向竖直向上；则丁图的合力最小，为1 N，故选D.
8．有一种多功能“人”字形折叠梯，其顶部用活页连在一起，在两梯中间某相对的位置用一轻绳系住，如图所示，可以通过调节绳子的长度来改变两梯的夹角θ.一质量为m的人站在梯子顶部，若梯子的质量及梯子与水平地面间的摩擦不计，整个装置处于静止状态，则( )
A．θ角越大，梯子对水平地面的作用力越大
B．θ角越大，梯子对水平地面的作用力越小
C．θ角越大，绳子的拉力越大
D．θ角越大，人对梯子的压力越大
答案 C
解析 对人和梯子整体进行分析，有mg＝FN，根据牛顿第三定律可知，梯子对水平地面的作用力与水平地面对梯子的支持力等大，与θ角无关，故A、B错误；对一侧的梯子受力分析，受到人的沿梯子向下的作用力，地面的竖直向上的支持力(不变)，绳子的水平方向的拉力，如图，FT＝FNtan eq \f(θ,2)，F人＝eq \f(FN,cs \f(θ,2))，可知θ角越大，绳子的拉力越大，故C正确；对人受力分析，梯子对人的支持力大小等于人的重力，梯子对人的支持力与人对梯子的压力是相互作用力，大小与θ角无关，故D错误．
9．(2023·福建省福州第一中学高三月考)如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机．物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动．当物体P静止时( )
A．滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B．滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C．当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D．当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
答案 C
解析 滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°<θ<180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向右移动时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误．
10．(多选)(2023·广东省模拟)如图，家用小型起重机拉起重物的绳子一端固定在起重机斜臂顶端，另一端跨过动滑轮A和定滑轮B之后与电动机相连．起重机正将重为G的重物匀速竖直上拉，忽略绳子与滑轮的摩擦以及绳子和动滑轮A的重力，∠ABC＝60°，则( )
A．绳子对定滑轮B的作用力方向竖直向下
B．绳子对定滑轮B的作用力方向与BA成30°角斜向下
C．绳子对定滑轮B的作用力大小等于G
D．绳子对定滑轮B的作用力大小等于eq \f(\r(3),2)G
答案 BD
解析 绳子对定滑轮B的作用力为BA和BC两段绳子弹力的合力，方向不可能竖直向下，故A错误；重物匀速运动，则任意段绳子的弹力等于重力的一半，即eq \f(G,2).由平行四边形定则可知，合力方向沿∠ABC的角平分线，与BA夹角为30°斜向下，大小为eq \f(\r(3)G,2)，故B、D正确，C错误．
11．如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B与左侧竖直墙壁接触，接触面光滑，铰链和杆受到的重力不计，求：
(1)扩张机AB杆的弹力大小(用含α的三角函数表示)；
(2)D受到向上顶的力的大小．
答案 (1)eq \f(200,cs α) N (2)2 000 N
解析 (1)将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，且F1＝F2，则有2F1cs α＝F，则扩张机AB杆的弹力大小为F1＝eq \f(F,2cs α)＝eq \f(200,cs α) N
(2)再将F1按作用效果分解为FN和FN′，如图乙所示，则有FN＝F1sin α，联立得FN＝eq \f(Ftan α,2)，根据几何知识可知tan α＝eq \f(l,b)＝10，则FN＝5F＝2 000 N.
12．如图所示,细绳一端固定在A点,另一端跨过与A等高的B处的光滑定滑轮后悬挂一个砂桶Q(含砂子)。现有另一个砂桶P(含砂子)通过光滑挂钩挂在A、B之间的细绳上,稳定后挂钩下降至C点,∠ACB=120°,下列说法正确的是( )
A.若只增加Q桶中的砂子,再次平衡后P桶位置不变
B.若只增加P桶中的砂子,再次平衡后P桶位置不变
C.若在两桶内增加相同质量的砂子,再次平衡后P桶位置不变
D.若在两桶内增加相同质量的砂子,再次平衡后Q桶位置上升
答案 C
解析 砂桶Q受到细绳的拉力大小FT=GQ,设AC、BC之间的夹角为θ,对C点分析可知C点受三个力而平衡,由题意知,C点两侧细绳拉力相等,故有2FTcs θ2=GP,联立可得2GQcs θ2=GP,故只增加Q桶中的砂子,即只增加GQ,夹角θ变大,P桶上升,只增加P桶中的砂子,即只增加GP,夹角θ变小,P桶下降,选项A、B错误;由2GQcs θ2=GP可知,当θ=120°时GQ=GP,此时若在两砂桶内增加相同质量的砂子,上式依然成立,则P桶的位置不变,选项C正确,D错误。
13．如图为细绳拉某重物M的简化装置图,轻杆OA可绕垂直于纸面的轴O转动,AB为轻绳,重物M平衡时角度关系如图所示,轻杆OA在图甲、乙、丙中受的力分别为F1、F2、F3,则它们的大小关系正确的是( )
A.F1>F2=F3B.F1=F2>F3
C.F1>F2>F3D.F1=F2
答案 BC
解析 轻杆OA可绕垂直于纸面的轴O转动,所以杆的弹力沿杆,对图甲有F1=2mgcs 30°=3mg,对图乙有F2=mgtan30°=3mg,对图丙有F3=mgcs 30°=32mg,故选项B正确,A、C、D错误。

14．一重力为G的圆柱体工件放在V形槽中，槽顶角α＝60°，槽的两侧面与水平方向的夹角相等，槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同，大小为μ＝0.25，则：
(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图甲所示)水平地把工件从槽中拉出来，人至少要施加多大的拉力？
(2)现把整个装置倾斜，使圆柱体的轴线与水平方向成37°角，如图乙所示，且保证工件对V形槽两侧面的压力大小相等，发现工件能自动沿槽下滑，求此时工件所受槽的摩擦力大小．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
答案 (1)0.5G (2)0.4G
解析 (1)分析圆柱体工件的受力可知，沿轴线方向受到拉力F和两个侧面对圆柱体工件的滑动摩擦力，由题给条件知F＝Ff，将工件的重力进行分解，如图所示，由平衡条件可得G＝F1＝F2，由Ff＝μF1＋μF2得F＝0.5G.
(2)把整个装置倾斜，则重力沿压紧两侧的斜面的分力F1′＝F2′＝Gcs 37°＝0.8G，此时工件所受槽的摩擦力大小Ff′＝2μF1′＝0.4G.
作图法
作出力的图示，结合平行四边形定则，用刻度尺量出表示合力的线段的长度，再结合标度算出合力大小.
计算法
根据平行四边形定则作出力的示意图，然后利用勾股定理、三角函数、正弦定理等求出合力.
类型
作图
合力的计算
两力互相垂直
F=F12+F22
tan θ=F1F2
两力等大,夹角为θ
F=2F1cs θ2
F与F1夹角为θ2
两力等大且夹角为120°
F'=F