山东省烟台第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份山东省烟台第二中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间中四个不同的点A，B，C，D，则( )．
A．B．C．D．
2．圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为( )．
A．x2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋y2＝4
C．(x－2)2＋(y－4)2＝4D．x2＋(y－4)2＝4
3．已知向量a＝(0，0，1)，b＝(1，－1，1)，向量a＋b在向量a上的投影向量为( )．
A．(0，0，2)B．(0，0，1)
C．(0，0，－1)D．(0，0，－2)
4．已知双曲线的虚轴长为4，则实数m的值为( )．
A．4B．C．D．
5．若以第一象限的点C为圆心的圆经过O(0，0)， A(2，0)两点，且△OAC为直角三角形，则圆C的方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－1)2＝4B．(x－)2＋(y－)2＝2
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
6．已知线段AB的端点B的坐标是(2，1)，端点A在抛物线y＝x2上运动，则线段AB的中点M的轨迹为( )．
A．直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
7．过点M(－2，0)的直线与椭圆x2＋2y2＝2相交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P，若直线P1P2的斜率为1(1≠0)，直线OP(O为原点)的斜率为2，则12等于( )．
A．－2B．2C．D．
8．已知直线l1：x－y＋2＝0与直线l2：x＋y－2＝0相交于点P，则当实数变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为( )．
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图，点E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是( )．
A．直线AD与直线C1M始终是异面直线
B．存在点M，使得B1M⊥AE
C．四面体EMAC的体积为定值
D．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC
10．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l，相交于点Q，则线段FQ的垂直平分线( )．
A．不经过点OB．经过点P
C．平行于直线OPD．垂直于直线OP
11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的为( )．
A．若点P总满足PA⊥BD1，则动点P的轨迹是一条直线
B．若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆
C．若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆
D．若点P到直线AD与直线CC1的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上．
12．已知向量a，b，c两两夹角为60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a＋b－c|＝__________．
13．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作直线AB交抛物线于A，B两点，O为原点，则＝__________．
14．如图，A，B是双曲线(a＞0，b＞0)上的两点，F是双曲线的右焦点．△AFB是以F为顶点的等腰直角三角形，延长BF交双曲线于点C．若A，C两点关于原点对称，则双曲线的离心率为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（几何题没有图的要求自己画图）
15．(13分)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠BAD＝∠A1AB＝60°，AB＝AD＝1，AA1＝2，E为A1C1与B1D1的交点．
(1)用向量，，表示；
(2)求与的夹角．
16．(15分)已知直线y＝2x＋m与抛物线y2＝x交于A，B两点，F为抛物线的焦点．
(1)若|AF|＋|BF|＝6，求m的值；
(2)求线段AB中点M的轨迹方程．
17．(15分)已知圆x2＋y2－12x＋20＝0，过点M(4，2)的直线与圆交于A，B两点，线段AB的中点为N．
(1)若点N的坐标为(4，0)，求|AB|；
(2)若线段MN的垂直平分线经过点P(2，0)，求直线AB的方程．
18．(17分)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为3的正方形，点P为棱DD1的中点，PC⊥PB1．
(1)求AA1的长度；
(2)求点D到平面PB1C的距离．
19．(17分)过点M(－1，0)作直线l与抛物线C：y2＝2px相交于A，B两点，且点M在C的准线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若AB的中点为P，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求△PMN面积的取值范围．