湖北省孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

这是一份湖北省孝感方子高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题，共6页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，函数的单调递减区间为，则，函数在区间上的最小值为等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章5.3.2~选择性必修第三册第六章6.2.4。
一、填空题：本题共4小题，每空5分，共50分.
1.完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有______种不同的方法.
2.完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有______种不同的方法.
3.已知，，且，则排列数公式为______，组合数公式为______.
4.（1）______；（2）______；（3）______；
（4）______；（5）______；（6）______.
二、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
5.若，则正整数的值是（ ）
A.2B.3C.4D.2或3
6.将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（ ）
A.种B.种C.种D.种
7.函数的单调递减区间为，则（ ）
A.B.1C.D.
8.函数在区间上的最小值为（ ）
A.B.0C.D.
9.由，，，，，，，组成没有重复数字的四位数中，偶数的个数是（ ）
A.480B.560C.750D.630
10.已知函数，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
11.不等式对于任意的，恒成立，则的最大值为（ ）
A.B.1C.D.
三、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
12.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A.如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B.如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D.如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
13.已知函数有两个极值点，，则下列说法正确的是（ ）
A.的取值范围是B.
C.的取值范围是D.的取值范围是
四、解答题：本题共4小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
14.（本小题满分10分）
已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
15.（本小题满分15分）
（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）讨论的单调性.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若在上恒成立，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
方子高中2023～2024学年度高二下学期4月月考・数学
参考答案、提示及评分细则
1.
2.
3. 或.
4.（1）15 （2）36 （3）20 （4）132 （5）0 （6）6
5.D 由或，可得或3.
6.B 将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法，故选B.
7.B 由题意知，所以，解得.故选B.
8.A 由题意知，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以.故选A.
9.C 最后一位数是0，偶数的个数是；最后一位不是0，偶数的个数是，所以一共有种.故选C.
10.A 由题意知，又在处取得极小值，所以，解得，的取值范围是.故选A.
11.B 对于任意的，恒成立，即，令，，，所以，又，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的最大值为1.故选B.
12.BD 安排甲、乙、丙三位同学到，，，，，六个社区进行暑期社会实践活动，
选项A：如果社区必须有同学选择，
则不同的安排方法有（种）.判断错误；
选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）.判断正确；
选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，
则不同的安排方法共有（种）.判断错误；
选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，
则不同的安排方法共有（种）.判断正确.故选BD.
13.BCD 由题意知，若，当时，至多一个零点，不符合题意；若，则，解得，即的取值范围是为，故A错误；
因为，是的两个不同的根，所以，，故B，C正确；，故D正确.故选BCD.
14.解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，
所以不同的分堆方法的种数为..
15.解：（1）将甲、乙、丙三人看成一个人，排法有（种）；
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法为（种）；
（3）问题可以分成两类：
第一类2名男生和2名女生参加，有种选法，
第二类3名男生和1名女生参加，有种选法，
依据分类计数原理，共有80种选法.
16.解：（1）若，则，
所以，
令，解得，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的极小值为0，无极大值；
（2）由题意知，
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当，即时，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
17.（1）解：，即.
令，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，
所以，即的取值范围为；
（2）证明：由（1）可知当时，，即，所以，所以要证，只需证.
令，，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以当时，.