广东省深圳市松泉实验学校2024年中考模拟数学试题

这是一份广东省深圳市松泉实验学校2024年中考模拟数学试题，共23页。
A．+50元B．﹣50元C．+100元D．﹣100元
2．（3分）如图四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里（ ）
A．0.38×106B．3.8×105C．3.8×106D．38×104
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a8÷a2＝a6C．a3﹣a2＝aD．（a3）2＝a5
5．（3分）某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：
这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ）
A．众数是11，中位数是8.5
B．众数是9，中位数是8.5
C．众数是9，中位数是9
D．众数是10，中位数是9
6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠ACB＝60°，则＝（ ）
A．B．3C．D．
7．（3分）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），此时看塔顶A，仰角为30°（ ）
A．80米B．米C．160米D．米
10．（3分）如图1，Rt△ABC中，点P从点A出发，过点P作PD⊥AB，垂足为D，△APD的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示（ ）
A．2B．4C．D．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，则摸出红球的概率为 ．
12．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝ ．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接OD．若AE＝2，CD＝12 ．
14．（3分）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上的图象上，若S△ABC＝4，则k＝ ．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，且BG＝BF．若AB＝3，BC＝4 ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
18．（8分）幸福社区开展“共建节约型社区活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理
信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表
信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图．
信息Ⅲ：C组包含的数据：10，10，11，11，12，13，13，14．
请结合以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度；
（3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ；
（4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数．
19．（6分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每天可以销售500盒；每涨价1元
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，最大利润是多少？
20．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
21．（8分）综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
22．（12分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，当∠BEF＝25°，则∠FEA′＝ °．
如图2，连接DF，当点A′恰好落在DF上时
如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）当前，手机移动支付已成为当下流行的消费支付方式．如果在微信零钱记录中，收入100元，那么支出50元应记作为（ ）
A．+50元B．﹣50元C．+100元D．﹣100元
【解答】解：如果在微信零钱记录中，收入100元，那么支出50元应记作为﹣50元．
故选：B．
2．（3分）如图四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、该图形既是轴对称图形，符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，将嫦娥六号探测器直接送入近地点高度约200公里（ ）
A．0.38×106B．3.8×105C．3.8×106D．38×104
【解答】解：380000＝3.8×103．
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a8÷a2＝a6C．a3﹣a2＝aD．（a3）2＝a5
【解答】解：A．a5+a5＝7a5，故本选项不合题意；
B．a8÷a5＝a6，正确，本选项符合题意；
C．a3•与﹣a7，不是同类项，所以不能合并；
D．（a3）2＝a8，计算错误，故本选项不合题意．
故选：B．
5．（3分）某校为了解学生的睡眠情况，随机调查部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表：
这些学生睡眠时间的众数、中位数是（ ）
A．众数是11，中位数是8.5
B．众数是9，中位数是8.5
C．众数是9，中位数是9
D．众数是10，中位数是9
【解答】解：抽查学生的人数为：6+9+11+5＝30（人），
这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，
将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是8.6，
故选：B．
6．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠ACB＝60°，则＝（ ）
A．B．3C．D．
【解答】解：∵四边形是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，
∵∠ABC＝60°，
∴ABO＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴＝＝，
故选：C．
7．（3分）如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，下列图象能正确反应注水高度随时间变化关系（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：开始往大水杯中均匀注水时，水面上升高度升高得快，小水杯满后注入水的升高速度变慢，
故选：C．
8．（3分）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，
根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×，
根据题意得出：
＝×，
故选：A．
9．（3分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，仰角为60°，然后向后走160米（BC＝160米），此时看塔顶A，仰角为30°（ ）
A．80米B．米C．160米D．米
【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D，
∵∠ABD是△ABC的一个外角，∠ABD＝60°，
∴∠BAC＝∠ABD﹣∠ACD＝30°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，
∴AB＝BC＝160米，
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin60°＝160×（米），
∴该主塔的高度是80米，
故选：B．
10．（3分）如图1，Rt△ABC中，点P从点A出发，过点P作PD⊥AB，垂足为D，△APD的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：如图，当点P运动到点C处时，
由图2得，AD＝4AD•CD＝4，
∴CD＝5，
由△CDA∽△BCD得，
BD：CD＝CD：AD，
∴BD＝1，
∴BC＝＝．
故选：C．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，1个白球，则摸出红球的概率为 ．
【解答】解：∵在一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中有3个红球，
∴从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率为．
故答案为：．
12．（3分）分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【解答】解：3a3﹣12a
＝7a（a2﹣4），
＝8a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：7a（a+2）（a﹣2）．
13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，连接OD．若AE＝2，CD＝12 10 ．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝CD＝8，
设OD＝OA＝r，则有r2＝62+（r﹣2）2，
解得r＝10．
故答案为：10．
14．（3分）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中三个顶点在正坐标轴上的图象上，若S△ABC＝4，则k＝ 24 ．
【解答】解：∵S△ABC＝4，
∴，
∴BC2＝2，
∴小正方形边长为2，
∴AB＝4，BC＝AF＝4，AC＝2，
如图，作DE⊥x轴，
∵∠BAF＝90，
∴∠OAF＝∠BCA，
∴△ABC∽△FOA，
∴，即，
∴AO＝，OF＝，
同理△AOF∽△FED，
，即，
∴EF＝，DE＝，
∴OE＝OF+EF＝+＝5．
D（2，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝7×＝24．
故答案为：24．
15．（3分）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A′重合，且BG＝BF．若AB＝3，BC＝4 5﹣ ．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，AD∥BC，
∵EH⊥BC，
∴四边形ABHE、EHCD均为矩形，
∴AE＝BH，AB＝EH＝3，
∵BG＝BF，
∴∠BGF＝∠BFG，
∵AD∥BC，
∴∠DEG＝∠BFG，
∵∠BGF＝∠DGE，
∴∠DEG＝∠DGE，
∴DE＝DG，
在Rt△ABD中，AB＝3，
∴BD＝＝＝3，
设BG＝BF＝x，则DG＝DE＝5﹣x，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣1，
∴BH＝AE＝x﹣1，
∴FH＝BF﹣BH＝x﹣（x﹣3）＝1，
在Rt△EFH中，
EF＝＝＝，
根据折叠的性质可得，AB＝A′B＝3，∠A＝∠BA′E＝90°，
∴A′F＝EF﹣A′E＝﹣（x﹣3）＝，∠BA′F＝90°，
在Rt△A′BF中，
由勾股定理，得A′B2+A′F2＝BF3，
∴32+（+4﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴DE＝4﹣x＝5﹣．
故答案为：5﹣．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．（6分）计算：．
【解答】解：
＝1﹣2×+5+2
＝5﹣+3+5
＝4+．
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
【解答】解：原式＝÷+
＝
＝
＝
当x＝时，原式＝﹣．
18．（8分）幸福社区开展“共建节约型社区活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理
信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表
信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图．
信息Ⅲ：C组包含的数据：10，10，11，11，12，13，13，14．
请结合以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，10 ，n＝ 10 ；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 36 度；
（3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 13.5 ；
（4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数．
【解答】解：（1）m＝50×20%＝10，
n＝50﹣5﹣10﹣11﹣14＝10，
故答案为：10，10；
（2）360°×＝36°．
故答案为：36；
（3）C组包含的数据：10，10，11，12，13，13，
∴第25和第26个数据为13和14，
∴中位数为＝13.5．
故答案为：13.5；
（4）3000×＝1440（人），
答：估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数为1440人．
19．（6分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A、B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每天可以销售500盒；每涨价1元
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求每盒产品的售价为多少元时，最大利润是多少？
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得，
解得m＝3，
经检验m＝5是方程的解，
∴1.5m＝8.5，
∴每盒产品的成本是：4.3×2+4×5+9＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元
（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x5+1400x﹣33000；
∴w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∵﹣10＜3，
∴抛物线开口向下，
∴当每盒产品的售价为70元时，每天最大利润为16000元．
20．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图所示，
①以A为圆心，以任意长度为半径画弧、AB相交，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，与BC交于点D；
②分别以点A、点D为圆心AD长度为半径画圆，则EF为AD的垂直平分线；
③如图，⊙O与AB交于点M；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵AC⊥BC，
∴OD⊥BC，
故BC是⊙O的切线．
（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，
∴OM＝2BM，BO＝7BM，
∴＝＝，
由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝，即＝，解得DO＝6，
故⊙O的半径为6．
21．（8分）综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
【解答】解：问题1：∵每条车道的宽为x m（其中3.3≤x≤3.75），AM＝A1N＝7m，MN＝2x m1＝AM+A7N+MN，AA1＝2x+2，
∵3.5m≤x≤2.75m，
∴9m≤AA1≤6.5m．
问题2：取AA3中点O，以AA1为x轴，建立坐标系1交抛物线于点P，
设抛物线表达式为y＝ax5+c，
∵AA1＝9m，OA2＝AA5＝3＝4.5m，A3B1＝AB＝2.95m，
∴B2（4.5，4.95），
由题意得NP＝4+0.55＝5.55m，
∴P（3.5，2.55），
将B1（4.8，2.95），4.55）代入y＝ax2+c，
得，
解得：，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2．
22．（12分）某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：
如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，当∠BEF＝25°，则∠FEA′＝ 25 °．
如图2，连接DF，当点A′恰好落在DF上时
如图3，若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A′F之间的数量关系式．
【解答】解：如图1，∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEA+∠BEF＝90°，∠DEA′+∠FEA′＝90°，
由翻折的性质可知，∠DEA＝∠DEA′，
∴∠FEA′＝∠BEF＝25°；
故答案为：25；
如图2，证明：由①可知，
又∵∠B＝∠A＝∠EA′D＝90°，
∴∠EFB＝∠EFA′，
又∵EF＝EF，
∴△BEF≌△A′EF（ASA），
∴BE＝A′E，
由翻折的性质可知，AE＝A′E，
∴AE＝BE，
∴AB＝6AE＝2A′E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB，
∴AD＝2A′E，
∵∠EFA′+∠EFD＝90°，∠EFD+∠FDE＝90°，
∴∠EFA′＝∠FDE＝∠ADE，
∴△DAE∽△EA′F，
∴AD：A′E＝AE：A′F，
∴AE＝3A′F；
如图3，解：AE＝2mA′F；
理由：由②可知，AB＝4AE＝2A′E，
∵AD＝mAB，
∴AE＝2mA′F．睡眠时间/小时
7
8
9
10
人数
6
9
11
4
组别
使用塑料袋数量（个）
频数
A
0≤x＜5
5
B
5≤x＜10
m
C
10≤x＜15
11
D
15≤x＜20
14
E
x≥20
n
合计
50
情境素材
素材1
高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶．

素材2
据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全
素材3
某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m．

问题解决
问题1
确定单向双车道隧道的宽度
估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围．
问题2
设计隧道的抛物线部分
已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式．
睡眠时间/小时
7
8
9
10
人数
6
9
11
4
组别
使用塑料袋数量（个）
频数
A
0≤x＜5
5
B
5≤x＜10
m
C
10≤x＜15
11
D
15≤x＜20
14
E
x≥20
n
合计
50
情境素材
素材1
高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶．

素材2
据调查，一般的大型货车宽2.4m，车货总高度从地面算起不超过4m．为了保证行驶的安全
素材3
某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）（其中3.5≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离均为1m．

问题解决
问题1
确定单向双车道隧道的宽度
估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范围．
问题2
设计隧道的抛物线部分
已知要修建的隧道矩形部分AA1＝9m，AB＝2.95m．求抛物线的解析式．