2024 年广东省初中学业水平考试数学预测卷(3)

这是一份2024 年广东省初中学业水平考试数学预测卷(3)，共9页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁， 下列事件中，必然事件是等内容，欢迎下载使用。

2024 年广东省初中学业水平考试数学预测卷(3)
本试卷共4页, 25 小题, 满分120分. 考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在0, -1, -2, -3这四个数中, 比-2.3 小的数有
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.五个大小相同的正方体搭成的几何体如题2图所示，其左视图是
3.若使算式 18O8的运算结果最小，则◯表示的运算符号是
A. + B. - C. × D. ÷
4.下列各式计算结果正确的是
A.a³+a²=a⁵ B.3a²=6a² C.a+1²=a²+1 D.a⋅a=a²
5. 如题5图, AB∥DE, 把一块直角三角尺 BCD的直角顶点 B落在AB上, ∠C=60°, ∠1=40°, 则∠CDE的度数为
A. 10° B. 30° C. 40° D. 50°
6.如题6图，数轴上点Q 所表示的数可能是
A. 1.5 B. 2.6 C. -0.7 D. 0.4
7. 下列事件中，必然事件是
A.通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰 B.射击运动员射击一次，命中靶心
C. 汽车累计行驶5 000 km, 从未出现故障 D.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
8. 如题8图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点 B, OA, OC分别在x轴、y轴的正半轴上, 矩形 OABC的对角线OB和AC交于点E(2,4), 则k的值为
A. 32 B. 16 C. -32 D.
9. 如题9图, 在矩形ABCD中, AB=4, AD=6, 点E是BC的中点, 连接AE. AF平分 ∠DAE交CD于点 F, 连接BF交AE于点G, 则AG的长为
A.225 B.409 C.2529 D.82
10. 如题10图, 二次函数 y=ax²+bx+ca≠0图象的对称轴为直线x=-1，下列结论：①abc<0;②3a<-c;③若m为任意实数，则有 a-bm≤am²+b;④若图象经过点(-3,-2), 方程 ax²+bx+c+2=0的两根为 x₁,x₂(|x₁|<|x₂|),则 2x₁-x₂=5.其中正确结论的个数是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 据统计，全国义务教育学校共有7 743.1万名学生参加了课后服务，将7743.1万用科学记数法表示为 .
12. 分解因式: 4m²-16=.
13. 两个完全相同的三角形纸片，在平面直角坐标系中的摆放位置如题13图所示，点 P 与点P'是一对对应点,若点 P 的坐标为(a,b),则点 P'的坐标为 .
14. 已知一元二次方程 x²-4x+c=0的一个根为 2+3,则其另一个根为 .
15. 如题15图, AB是圆O的直径, 弦CD交AB 于点 E, 且E 是 CD 的中点, ∠CDB=30°,CD=2 \sqrt {3}, 则阴影部分的面积为 .
16. 如题16图, 四边形 ABCD 是正方形, 曲线 DA1B1C1D1A2⋯是由一段段90度的弧组成的.其中 DA的圆心为点 A，半径为AD; A₁B₁的圆心为点 B，半径为 BA₁;B₁C₁的圆心为点 C，半径为 CB1;C1D1的圆心为点 D，半径为 DC1⋯⋯DA1,A1B1,B1C1,C1D1,…的圆心依次按点A, B, C, D循环. 若正方形ABCD 的边长为1, 则A₂₀₂₀B₂₀₂₀的长是 .
三、解答题(一): 本大题共4小题, 第17、18题各4分,第19、20题各6分, 共20分.
17. 解不等式组
18. 如题18图, AD=BC, AC=BD. 求证: △ADB≌△BCA.
19. 先化简 x2+4x+4x2-4-x-2÷x+2x-2,然后从-2≤x≤2 范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
20. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果现场展示会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如题20-1 图和题20-2图所示的两幅不完整的统计图：
请根据所给的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
(2)请通过计算补全条形统计图.
(3)若参加成果展示活动的学生共有2400人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少.
四、解答题(二): 本大题共3小题, 第21题8分, 第22、23题各10分,共28分.
21. “七·一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生. 已知A 奖品比B奖品每件贵25元，预算资金为1700元，其中800 元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是 A奖品的3倍.
(1)求A, B奖品的单价;
(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买 A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共购买100件，则购买 A，B两种奖品的数量有哪几种方案?
22. 作图与探究
如题22图, 在平行四边形 ABCD 中, 点 H 是边 AB 上一点, 连接CH.
(1)尺规作图:请作出∠ADC的平分线, 分别交 CH, CB于点 G,E，交AB的延长线于点 F；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若点 G恰好是线段CH的中点, 求证: BF=AH.
23. 实践应用
如题23图, A, B 两块试验田相距200m, C 为水源地, AC=160m,BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田 A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C 修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B 修筑水渠.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由.
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明.
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24. 综合运用
如题24图，抛物线 y=ax²+bx+3a≠0与x轴交于点A(-1, 0), B(3, 0), 与y轴交于点 C，对称轴与x轴交于点 D，点 P 是直线 BC 上方抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)过点 P作PG⊥BC, 垂足为点 G, 求线段PG的最大值.
(3)连接CD, 当∠PCB=∠DCB时, 求点 P的坐标.
(4)若点 M为直线 BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点 M 和点 N使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
25. 综合探究
(1)如题25-1图, 在正方形ABCD 中, E为正方形CB边上一点, 过AE的中点F 作MN⊥AE交DC于点 M, 交AB于点 N, 则AE与MN的数量关系为 .
【问题探究】
(2)如题25-2图, 在矩形ABCD中, AB=6, BC=8, E为CD边上的点, 且CE=2,连接BE, 过BE的中点F作MN⊥BE交AD于点M, 交CB于点N, 求BN的长度;
【问题解决】
(3)如题25-3图, 在四边形 ABCD 中, AD∥BC, ∠D=90°, ∠ABC=60°, AB=AD =8,E为CD边上一点, 连接BE, 过BE的中点F作MN⊥BE交CB于点N, 交AD于点M,设CE的长为x，四边形AMNB的面积为y，求y关于x的函数解析式，并说明当AE为何值时，四边形AMNB的面积最小，最小值是多少?
参考答案：
一、
二、11. 7.7431×10⁷ 【解析】将7 743.1万用科学记数法表示为77 431 000=7.743 1×10⁷.
12. 4(m+2)(m-2) 【解析 14m²-16=4m²-4=4(m+2)(m-2).
13. (3-a, -b) 【解析】∵ 点P 的坐标为(a, b),∴观察题图可知点 P'的横坐标为-(a-3)=3-a,点P'的纵坐标为-b, ∴点P'的坐标为(3-a, -b).
14.2-3 【解析】设方程的另一个根为t，根据题意得 2+3+t=4,解得 t=2-3.
15.43π 【解析】∵∠CDB=30°, ∴∠COB =2∠CDB=60°, ∴∠AOC=120°. ∵E 是 CD的中点, OB过O,CD=2 3, ∴CE = DE= 3, ∠OEC =90°, ∴OC= CEsin60∘=2,∴阴影部分的面积为120π×22360=43π
16. 4 039π 【解析】由题图可知, 曲线 DA₁B₁C₁D₁A₂…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧的半径大1， AD=AA1=1,BA1=BB1=2,⋯2, 故A₂₀₀B₂₀₀₀的半径为 B4₂△O-BB₁₀₃-4×(20201)+2 =8 078, 故的长 90×8078π4 039π.
三、17. 解: x-2,2≤7x4Φ,2-2x13<-x1+x-24≥
由①得x≤4, 由②得x>2. ……3分
故原不等式组的解集为218. 证明: 在△ADB与△BCA中, AD-BC,BD=AC,AB=BA,
∴△ADB≌△BCA(SSS). ……4分
19. 解: 原式 x+22x+2x-2-x+2×x-2x+2
=-x2+x+6x-2×x-2x+2=-x+2x-3x-2×x-2x+2
=--(x-3) = -x+3. ……4分
∵x≠ ±2,∴可取x=1, ……5分
则原式= -1+3=2. ……6分
20. 解: (1)调查学生总数为36÷30% =120(名).
答：在这次调查中，一共抽取了120名学生.
……2分
(2)选择“E: 数学园地设计”的人数为120 -30-30-36-6=18, 补全条形统计图如答20图所示:
……4分
32400×30120=600.
答：若参加成果展示活动的学生共有2 400人，则最喜爱“测量”项目的学生人数大约是600.……6分
四、21.解：(1)设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为(x-25)元. ……1分
由题意得
解得x=40. ……3分
经检验, x=40是原方程的解, 则x-25=15.
答：A奖品的单价为40元，B奖品的单价为15元.
……4分
(2)设购买 A 奖品的数量为m件，则购买 B 奖品的数量为(100-m)件,
由题意得解得22.5≤m≤25. ……5分
∵m为正整数, ∴m的值为23, 24, 25.
∴有三种方案：
①购买 A 奖品23件, B奖品77件;
②购买 A奖品24件, B奖品76件;
③购买 A 奖品25件, B奖品75件. ……8分
22. (1)解: 如答 22 图所示, DE 就是所求作的角平分线. ……4分
(2)证明: ∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AB=CD, AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF. ⋯⋯6分
∵G为CH的中点, ∴CG=HG.
∵∠CGD=∠HGF, ∴△CDG≌△HFG(AAS),
……8分
∴DC=FH, ∴FH=AB,
∴ FH-BH=AB-BH, 即BF=AH. ……10分
23. 解: (1)△ABC是直角三角形. ……1分
理由如下： ∵AC²+BC²=160²+120²=40000, AB²=200²=40000.
∴AC²+BC²=AB², ……3分
∴△ABC是直角三角形, 且∠ACB =90°. ……4分
(2)甲方案所修的水渠较短. ……5分
∵△ABC是直角三角形,
∴△ABC的面积 =12AB⋅CH=12AC⋅BC,
∴CH=AC⋅BCAB=160×120200=96m. …8分
∵AC + BC = 160 +120 =280(m), CH +AH +BH =CH+AB=96+200=296(m),
∴AC+BC ∴甲方案所修的水渠较短. ……10分
五、24. 解:(1)将点A(-1,0), B(3,0)的坐标代入y= ax²+bx+3, 得 a-b+3=0,9a+3b+3=0,解得 a=-1,b=2,
∴抛物线的解析式为 y=-x²+2x+3 …3分
(2)如答24-1图, 过点P作PH∥y轴交BC于点H,连接PB. 令x=0, 则y=3, ∴C(0, 3).
设直线 BC 的解析式为y=kx+b,
则 3k+b=0,b=3,解得(k=3,1,∴y=-x+3.
设 Pt-t²+2t+3,则H(t, -t+3),
∴PH=-t²+3t.
∵C(0, 3), B(3, 0), ∴BC=3 2,
∴SPBC=12×BC×PG=12×BO×PH,
∴PG×32=3-t2+3t,
:PG=-22t-322+928,
∵点 P 是直线BC 上方抛物线上一点, ∴0 ∴当 t=32时，PG有最大值 …6分
3∵y=-x²+2x+3=-x-1²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1, ∴D(1, 0).
如答24-2图，作点D关于直线BC的对称点 F，交BC于点 E, 连接CF, 过点 F作x轴的垂线, 垂足为点 H,
∴∠DCB=∠FCB.
∵∠PCB=∠DCB, ∴∠FCB=∠PCB,
∴点 F在直线CP 上.
∵OB=OC, ∴∠CBO=45°, ∴DE=BE.
∵BD-2,∴DE=2,∴DF=22
∵∠EDB=45°, ∴FH=DH=2,
∴H点与B点重合, ∴F(3, 2).
设直线CF的解析式为 y=k'x+b',
∴b'=3,3k'+b'=2,解得 k'=-13,b'=3.
∴y=-13x+3. 联立方程组 y=-13x+3,y=-x2+2x+3,
解得 x=73,y=209 或 x=0,y=3(舍去), ∴P73209.
……9分
(4)存在点 M 和点 N, 使得以C, D, M, N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设M(m, -m+3), D(1, 0), C(0, 3),
①当CD为菱形对角线时, CM=DM,
∴m²+m²=m-1²+m-3²,
解得 m=54,∴M5474;
②当DM 为菱形对角线时, CD=CM,
∴10=m²+m²,解得 m=±5,
∴M53-5或 M-53+5;
③当CM 为菱形对角线时, DM=CD,
∴10=m-1²+m-3²,
解得m=4或m=0(舍去), ∴M(4, -1).
综上所述，点 M 的坐标为 5474或( 5, 3 - 5)或 -53+5或(4, -1). ……12分
25. 解:(1)如答25-1图, 过点 M作MG⊥AB 于点 G,交AE于点H,
∴∠MGN=90°, MG=AD=AB.
∵ MN⊥AE, ∴∠MFH=90°.
∵∠HMF +∠MHF = 90°, ∠HAG + ∠AHG = 90°,∠AHG=∠MHF,
∴∠HAG=∠HMF。
3∵y=-x²+2x+3=-x-1²+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=1, ∴D(1, 0).
如答24-2图，作点D关于直线BC的对称点 F，交BC于点 E, 连接CF, 过点 F作x轴的垂线, 垂足为点 H,
∴∠DCB=∠FCB.
∵∠PCB=∠DCB, ∴∠FCB=∠PCB,
∴点 F在直线CP 上.
∵OB=OC, ∴∠CBO=45°, ∴DE=BE.
∵BD-2,∴DE=2,∴DF=22
∵∠EDB=45°, ∴FH=DH=2,
∴H点与B点重合, ∴F(3, 2).
设直线CF的解析式为 y=k'x+b',
∴b'=3,3k'+b'=2,解得 k'=-13,b'=3.
∴y=-13x+3. 联立方程组 y=-13x+3,y=-x2+2x+3,
解得 x=73,y=209 或 x=0,y=3(舍去), ∴P73209.
……9分
(4)存在点 M 和点 N, 使得以C, D, M, N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设M(m, -m+3), D(1, 0), C(0, 3),
①当CD为菱形对角线时, CM=DM,
∴m²+m²=m-1²+m-3²,
解得 m=54,∴M5474;
②当DM 为菱形对角线时, CD=CM,
∴10=m²+m²,解得 m=±5,
∴M53-5或 M-53+5;
③当CM 为菱形对角线时, DM=CD,
∴10=m-1²+m-3²,
解得m=4或m=0(舍去), ∴M(4, -1).
综上所述，点 M 的坐标为 5474或( 5, 3 - 5)或 -53+5或(4, -1). ……12分
25. 解:(1)如答25-1图, 过点 M作MG⊥AB 于点 G,交AE于点H,
∴∠MGN=90°, MG=AD=AB.
∵ MN⊥AE, ∴∠MFH=90°.
∵∠HMF +∠MHF = 90°, ∠HAG + ∠AHG = 90°,∠AHG=∠MHF,
∴∠HAG=∠HMF a²=8-a²+2²,
解得 a=174,∴BN=174, ⋯7分
(3)如答25-3图, 连接AE, 过点A作AR⊥BC于点R, 过点 F作PQ⊥AD于点P, 交BC于点Q,
∴PQ∥CD, ∴四边形CDPQ 是矩形.
∵∠ABC=60°, ∴ BR=AB·cs∠ABC=8× 12=4, AR=AB⋅sin∠ABC=8×32=43,
∴BC=BR+CR=BR+AD=4+8=12.
∵PQ∥CD, 且点 F 是BE的中点,
∴点Q是BC的中点,
∴BQ=CQ=PD=6,FQ=12CE=12x.
∵∠BFN=∠BCE=90°,
∴∠FBN+∠BNF=90°, ∠FBN+∠BEC=90°,
∴∠BNF=∠BEC.
∵∠FQN=∠BCE=90°, ∴△BCE∽△FQN,
∴BCCE=FQQN,即 12x=12xQN,∴QN=x224.
∵ BN=BQ+QN,∴BN=6+x².4.
∵PF=PQ-FQ,∴PF=43-x2.
∵AD∥BC, ∴∠PMF=∠BNF.
∵∠BNF=∠BEC, ∴∠FMP=∠BEC.
∵∠MPF=∠BCE=90°, ∴△FPM∽△BCE,
∴FPPM=BCCE,∴43-x2PM=12x,
∴PM=33x-x224.
∵AP=AD-PD=8-6=2,
∴AM=AP-PM=2-33x-x224=x224-33x+2,
=36x2-2x+163=36x-232+143,
∴当x=2 3时, y有最小值14 3.
∵DE =CD-CE, ∴DE=4 3-x=4 3-2 3=2 3,此时 AE=AD2+DE2=82+232=219.
∴y关于x的函数解析式为 y=36x2-2x+163,且当AE 为 219时，四边形 AMNB的面积最小，最小值是14 3. ……12分
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
D
A
C
A
A
B
C