2024年广东省初中学业水平考试数学预测卷(2)

这是一份2024年广东省初中学业水平考试数学预测卷(2)，共9页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。


2024 年广东省初中学业水平考试数学预测卷(2)
本试卷共4页, 25 小题, 满分120分. 考试用时120分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如果将“收入70元”记作“+70 元”, 那么“支出30元”记作
A. -30元 B. -20元 C. +30元 D. +20元
2.如题2图所示几何体的俯视图是
3.在空旷寂寥的宇宙中，距离地球最近的天体是月球，月球距离我们多远?答案是平均为384 000 km左右, 其中384 000 用科学记数法可以表示为
A.38.4×10⁴ ×10⁵ ×10⁶ ×10⁶
4.下列计算正确的是
A.a+a=2a² B.a²+a=2a³ C.2a²÷a=4a D.-ab²=ab²
5. 等腰三角形的周长为11cm，一边长为3cm，则另两边长为
A. 3cm, 5cm B. 4 cm, 4 cm
C. 3cm, 5cm或4cm, 4 cm D.以上都不对
6.在一个不透明的口袋中装有2个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同. 通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，则口袋中白球可能有
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
7. 如题7图, 将矩形 ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,旋转角为 α(0°<α<90°),若∠1=120°, 则∠α等于
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 65°
8. 若A(-1, 1)是反比例函数 y=m+1x的图象上一点，则m的值为
A. -1 B. -2 C. 0 D. 1
9.平面镜在光学仪器中有着广泛的应用.平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等. 如题9-1图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n, 则∠1=∠2. 如题9-2图, 一束光线AB先后经平面镜OM, ON反射后, 反射光线CD与AB 平行, 当∠ABM=30°时, ∠DCN 的度数为
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
10. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知纸片OACB, 顶点 A(10, 0), B(0, 6), 点P为BC边上的动点, 将△OBP沿OP折叠得到△ODP, 连接CD, AD. 则下列结论中:
①当∠BOP=45°时, 四边形 OBPD 为正方形;
②当∠BOP=30°时, △OAD 的面积为15;
③当P在运动过程中，CD 的最小值为 234-5;
④当OD⊥AD时, BP=2.
正确选项的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. 已知点P(4, -3)和点Q(-4, n)关于原点对称, 则n= .
12. 因式分解:2x³y-2xy= .
13. 如题13图, 已知A, B是⊙O 上的点, 半径为3, 且∠AOB=60°,则 S可逆OAB=¯.
14. 已知关于x的方程kx²+2x-1=0有实数根，则k的取值范围为 .
15. 如题15图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=60°, AD⊥BC 于点 D, BD=23. 若E, F分别为AB, BC的中点, 则EF 的长为 .
16. 如题16图, 矩形OABC的顶点A, C分别在x轴、y轴上, 顶点B在第一象限, AB=1, 将线段OA绕点 O按逆时针方向旋转60°得到线段OP，连接AP，反比例函数 y=kxk0)的图象经过P，B两点，则k的值为 .
三、解答题(一): 本大题共4小题, 第17、18题各4分, 第19题6分, 第20题7分, 共21分.
17. 计算:
18. 如题18图, 已知∠AOC=∠BOC, 点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为 D, E. 求证: △OPD≌△OPE.
19. 先化简,再求值: 2x-3+1⋅x2-9x2-x, 其中 x=3.
20. 某商店销售1台A型和3台B型电脑的利润为550元，销售2台A型和3台B型电脑的利润为650元.
(1)求每台 A 型电脑和B型电脑的销售利润.
(2)该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电
脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y与x的关系式.
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大?
四、解答题(二):本大题共3 小题, 第21题7分, 第22、23题各10分, 共27分.
21.某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了如题21-1图和题21-2 图所示的不完整统计图.
请根据统计图的信息，解答下列问题：
(1)求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；
(2)求本次随机抽取问卷测试的人数；
(3)请把条形统计图补充完整；
(4)若该校学生人数为2 100，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人.
22. 如题22图, 四边形ABCD 内接于⊙O, AB为⊙O的直径, AD=CD, 过点 D 的直线交BA的延长线于点 M, 交 BC 的延长线于点 N, 且∠ADM=∠DAC.
(1)求证: MN是⊙O 的切线;
(2)求证: AD²=AB⋅CN;
(3)当 AB=6,sin∠DCA=33时, 求 AM 的长.
23. 综合与实践
数学兴趣小组研究了一个问题, 如题23-1图, 在矩形ABCD 中, AB=4, AD=6, E, F分别是AB, AD的中点, 四边形AEGF 是矩形, 连接CG.
(1)CG与DF 的长度比为 ;
(2)如题23-2图，将矩形AEGF 绕点A按顺时针方向旋转至点G落在AB边上，求点 F到AD的距离;
(3)将矩形AEGF绕点A按顺时针方向旋转至如题23-3 图所示的位置时，猜想CG与DF之间的数量关系，并证明你的猜想.
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.
24. 综合与运用
已知抛物线 y=ax²+3ax+ca≠0与y轴交于点 A.
(1)若a>0,
①当a=1, c=-1时, 求该抛物线与x轴的交点坐标;
②若点 P(m, n)在抛物线 y=ax²+3ax+c上, 且n-c>0, 试求m的取值范围.
(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值.
(3)若点A的坐标是(0, 1), 当-2c25. 综合与探究
已知四边形 ABCD 是菱形, AB=4, ∠ABC=60°, ∠MAN的两边分别与射线CB, DC 相交于点 E, F, 且∠MAN=60°.
【初步感知】
(1)当E是线段CB的中点时(如题25-1 图), AE 与EF 的数量关系为 .
【深入探究】
(2)如题25-2图, 将题25-1 图中的∠MAN绕点A顺时针旋转( α(0°<α<30°),(1)中的结论仍成立吗?说明理由.
【拓展应用】
如题25-3图, 将题25-2图中的∠MAN绕点A继续顺时针旋转, 当α=45°时, 求点F 到BC的距离.
参考答案：
一、
二、11. 3 【解析】∵点P(4, -3)和点Q(-4, n)关于原点对称, ∴n=3.
12. 2xy(x+1)(x-1) 【解析) 12x³y-2xy=2xyx²-1=2xy(x+1)(x-1).
13. 3π/2 【解析 ]S可逆OAB=60×π×9360=3π2.
14. k≥-1 【解析】当k=0时,方程化为2x-1=0, 解得 x=12;当k≠0时, Δ=2²-4k×-1≥0,解得k≥-1且k≠0. 综上所述, k的取值范围为k≥-1。
15. 2 【解析】∵∠B=45°, AD⊥BC, ∴△ABD是等腰直角三角形, ∴AD=BD=2 3. ∵∠C=60°, ∴∠DAC= 30∘,∴DC=12AC,∴AD=AC2-DC2=3DC 32AC,即 23=32AC,.:AC=4."E,F 分别为AB, BC的中点, :EF=12AC=12×4=2.
16.433 【解析】如答16图, 过点 P作PQ⊥OA于点 Q. ∵AB =1, ∴OA=k. 由旋转的性质知 OP = OA = k,∠POQ =60°, 则 OQ=12k,PQ= 32k,∴P12k32k 把点 P 的坐标代入 y=kx中，得 34k2=k,解得k=0(舍去)或 k=433.
三、17. 解:原式 =2×22+3-2-2+-1 …2分
=2+3-2-2-1 …3分
=0. ……4分
18. 证明:∵点P在OC上, PD⊥OA, PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°.……2分
又∵∠AOC=∠BOC, PO=PO(公共边), ⋯⋯3分
∴△OPD≌△OPE(AAS). ……4分
19. 解: 原式 =2x-3+x-3x-3⋅x+3x-3xx-1⋯⋯2分
≡x-1x-3,x+3x-3xx-1 …3分
=x+3x ……4分
当 x=3时，原式 =3+33=1+β. …6分
20.解：(1)设每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润分别为x元、y元.
由题意，得 x+3y=550,2x+3y=650,解得 x=100,y=150, ……2分∴每台 A 型电脑和 B型电脑的销售利润分别为100元、150 元. ……3分
(2)①由题意, 得y=100x+150(100-x) = -50x+15 000.∵100-x≤2x, ∴x≥10⁰,∴x≥34(x是整数),
∴y与x的关系式为y=-50x+15 000(x≥34, 且x是整数). ……5分
②∵y= -50x+15 000, k=-50<0,
∴y随x的增大而减小， ……6分
∴当x=34时, y取最大值,y最大值 =13 300, 此时100-x=66,
∴该商店购进A 型电脑34台，B型电脑66台时，销售利润最大. ……7分
四、21. 解: 172∘360×100米=20%.
答：成绩是“优”的人数占抽取人数的20%.
……2分
(2)30÷20% =150(人).
答：本次随机抽取问卷测试的人数为150.⋯⋯3分
成绩是“中”的人数: 150-30-70-30=20(人),……4分补全条形统计图如答21图所示
⋯⋯5分
42100×30+70150=1400(人).
答：估计成绩是“优”和“良”的学生共有1 400 人.
……7分
22. (1)证明: 如答22图, 连接OD, OC.
∵AD=CD, ∴∠AOD=∠DOC.
∵四边形ABCD 内接于⊙O, AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°, ∴OC=OA=OB=OD,
∴△AOC 是等腰三角形. ……1分
又∵∠AOD=∠DOC,∴OD 垂直平分AC.
∵∠ADM=∠DAC, ∴AC∥MN, ……2分
∴OD⊥MN, 即MN是⊙O 的切线. ……3分
(2)证明: 连接BD.
∵AD=AD,∴∠ABD=∠ACD.
∵AC∥MN,∴∠ACB=∠MNB=90°, ∠CDN=∠ACD,
∴∠CDN=∠ABD. ……4分
又∵∠ADB=∠CND =90°,
∴△CDN∽△ABD, ∴CNAD=CDAB, …5分
即AD·CD=AB·CN.
∵AD=CD,∴AD²=AB⋅CN. …6分
(3)解:令OD与AC 交于点 H.
∵∠DCA=∠DBA,
∴sin∠DCA=sin∠DBA=ADAB=33. …7分
∵AB=6, ∴AD=2 3,
∴CD=AD=23. …8分
∵∠DAC=∠DCA, ∴sin∠DCA=sin∠DAC=DHB= 3,
∴DH=2. 在 Rt△AHD 中,
∴AH=AD2-DH2=232-22=22
∴AC=2AH=4 2. 在Rt△ABC中,
BC=AB2-AC2=62-422=2. …9分
∵OD⊥MN, BN⊥MN, AC⊥BC,
∴四边形 HCND 为矩形,
∴CN=DH=2, ∴ BN=BC+CN=4.
∵AC∥MN, ∴△BAC∽△BMN，
∴BABM=BCBN,即 6BM=24,
∴ BM=12, ∴AM=BM-AB=12-6=6. ……10分
23. 解:(1)如答23-1图, 延长EG交CD于点 H, 则四边形FGHD 是矩形.
在Rt△CGH中, GH=DF=12AD=3,CH=DH=AE= 12AB=2,
∴CG=CH2+GH2=22+32=13,
∴CGDF=133. …2分
故答案为 133,
(2)如答23-2图, 过点 F 作 FP⊥AD 于点 P.
在矩形AEGF中, ∵AE=2, EG=3,
∴AG=AE2+EG2=22+32=13. …3分
∵∠EAG+∠GAF=∠GAF+∠PAF=90°,
∴∠EAG=∠PAF.
∵∠E=∠APF=90°, ∴△APF∽△AEG, ⋯⋯5分
∴PFEG=AFAG, 即 PF3=313,∴PF=91313,
即点 F到AD的距离为 91313. ⋯6分
3CGDF=133. 证明如下：
如答23-3图, 连接AC, AG.
∵AB=CD=4, AD=6,
∴AC=AD2+CD2=62+42=213. ⋯7分
∵∠DAC=∠GAF,
∴∠DAC+∠FAC=∠GAF+∠FAC,
∴∠DAF=∠CAG. ……8分
又∵ AGAC=AFAD=12,∴△CAG∽△DAF,
∴CGDF=ACAD=2136=133. ⋯10分
五、24. 解: (1)①当a=1,c=-1时, y=x²+3x-1.
当y=0时, x²+3x-1=0,
解得 x1=-3+132,x2=-3-132, ⋯⋯1分∴该抛物线与x轴的交点坐标为 -3+1320, -3-1320. ⋯⋯3分
②:n-c>0,a>0,∴am²+3am+c-c>0,
∴am(m+3)>0,
解得m>0或m<-3, ……4分
故m的取值范围为m>0或m<-3。
(2)∵ 抛物线恒在x轴下方，
∴a<0,-9a2-4ac<0,解得 4c9∵符合条件的整数a只有三个，
:1-4<4c9<-3,解得 9 ∴实数c的最小值为-9. ⋯⋯6分
(3)∵点A的坐标是(0, 1),
∴c=1,2xy=ax²+3ax+1.
又∵ 当-2当x=-2时, y=4a-6a+1= -2a+1,
当x=1时, y=a+3a+1=4a+1, ⋯⋯7分
①当a>0时, =a>0,-2a+1≤0,4a+1>0,解得 a≥12,
或者 a>0,-2a+1>0,4a+1≤0, 无解. ⋯8分
②当a<0时, ∴a<0,-2a+1≤0,4a+1>0,无解，
或者 a<0,-2a+1>0,4a+1≤0, 解得 a≤-14. ⋯9分
③当 Δ=9a²-4a=0时，解得 a=49,
此时， y=49x2+43x+1=23x+12.
令y=0, 则 23x+12=0,解得 x1=x2=-32.
∵-2<-32<1,∴此情况符合题意. ……11分综上所述，a的取值范围为 a=49或 a≥12或 a≤-14. ……12分
25. 解: (1)∵四边形ABCD 是菱形,∴AD∥BC, AD = AB = BC =4,∠B=∠D=60°. ⋯⋯1分如答25-1图, 连接AC.
∵∠B=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵E 是线段CB的中点,
∴AE⊥BC, ∴∠BAE=30°.
∵AD∥BC, ∠B=60°,
∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°,
∴∠DAF = 120°-∠BAE --∠EAF = 120°-30°- 60°=30°,
∴∠BAE=∠DAF.
在△ABE 和△ADF中, ∠B=∠D,AB=AD,∠BAE=∠DAF,
∴△ABE≌△ADF(ASA),
∴AE=AF. ……3分
∵∠EAF=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF.
故答案为AE =EF. ……4分
(2)仍成立.理由如下：如答25-2图, 连接AC.
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AB=BC=CD=AD.
∵∠ABC=60°,
∴△ABC, △ACD 都是等边三角形，
∴ ∠ACD = ∠ABC = ∠BAC =∠ACF=60°, AB=AC.
∵∠MAN=60°,
∴∠BAE=60°-∠CAE, ∠CAF=60°-∠CAE,
∴∠BAE=∠CAF. ……6分
在△ABE和△ACF 中, ∠ABE=∠ACF,AB=AC,∠BAE=∠CAF.
∴△ABE≌△ACF(ASA), ……7分
∴AE=AF.
∵∠MAN=60°,
∴△AEF 是等边三角形, ∴AE=EF. ·····8分
(3)如答25-3图, 过点A作AG⊥BC于点 G, 过点 F 作 FH⊥EC 于点 H,连接AC. 当α=45°时,∠EAG=45°, ∴∠AEB= M.45°. 在 Rt△AGB中,
∵∠ABC =60°, AB =4,
∴BG=2, AG=2 3. ……9分
在 Rt△AEG中, ∵∠AEG=∠EAG=45°,
∴GE=AG=23,
∴EB=GE-BG=23-2.
由(2)可得AB=AC, ∠EAB =60°-∠BAF =∠FAC, ∠ABE=180°-∠ABC=120°=180°-∠ACD=∠ACF,
∴△AEB≌△AFC(ASA), ……10分
∴EB=FC=23-2.
∵∠FCE=60°,
∴∠CFH=30∘,∴CH=12FC=3-1,
∴FH=3CH=3-3,
即点 F到BC的距离为 3-3. …12分
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
C
D
B
B
C
C