上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

这是一份上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高一下学期期末数学试卷，共10页。
1．已知复数（其中i为虚数单位，，则______．
2．若与a的等差中项为18，则实数a的值为______．
3．在平面直角坐标系内，已知点，向量，则______．
4．已知复数，（i是虚数单位），则|______．
5．已知等差数列，，，……，若，则______．
6．已知复数与3i在复平面内用向量和表示（其中i是虚数单位，O为坐标原点），则与的夹角为______．
7．设公比为2的等比数列的前n项和为，若，则______．
8．已知等比数列是严格减数列，其前n项和为，，若，，，成等差数列，则______．
9．在数列中，已知，且，则______．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则______．
11．设和是关于x的方程的两个虚数根，若，，在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数______．
12．如图，已知点P为△ABC所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当△ABC的面积取得最大值12时，______．
二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13、14题每题3分，第15、16题每题4分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设，为负数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么z为实数
C．如果，a是正实数，那么
D．如果，那么
14．用数学归纳法证明等式（n为正整数）的过程中，从到时，等式左边需添加的项是（ ）
A．B．C．D．
15．如图，复数对应的向量为，且（i是虚数单位），则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
16．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列叫做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差。已知向量列是以
为首项，公差的等差向量列。若向量与非零向量垂直，则（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题满分44分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4分）
已知向量，
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
18．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
已知复数，（ ，i是虚数单位）
（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围：
（2）若是实系数--元二次方程的根，且是实数，记，求的值。
19．（本题满分12分，第1小题5分，第2小题7分）
已知某企业今年（2024年）第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%．
（1）求2024年起前20季度营业额的总和；
（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？
20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）
如果有穷数列（m为正整数）满足条件，，，即，我们称其为“对称数列”。例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”
（1）若是项数为7的“对称数列”，其中是等差数列，且，，依次写出的每一项；
（2）若是49项的“对称数列”，其中是首项为1，公比为2的等比数列，求各项的和S；
（3）设的前n项和为，且满足，其中是项数为100的“对称数列”的前50项，求的前n项和。
2023-2024学年上海市上海财经大学附属北郊高级中学
高一年级下学期期末数学试卷
一、填空题
1．【答案】2
【解析】
2．【答案】
【解析】由已知得，
得；
3．【答案】
【解析】
4．【答案】
【解析】
5．【答案】14
【解析】由题意知首项为，公差为
6．【答案】
【解析】由题意知，
则与的夹角的余弦值为
则与的夹角为
7．【答案】4
【解析】
8．【答案】3
【解析】由题意知
或（舍），则
9．【答案】
【解析】：
，
．
10．【答案】
【解析】由题意可知
因为点F在BE上
，
11．【答案】13
【解析】设，a，，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得
由根与系数的关系可得，
整理得，
设，，在复平面对应的点分别为，，
则，
可知A，B关于x轴对称
若复平面上，，对应点构成直角三角形，则CA⊥CB
即，解得
所以
12．【答案】3
【解析】延长AB到M满足，取AC的靠近A的三等分点N，连接MN，如图
，
所以P，M，N三点共线
又存在点，使得对任意，满足恒成立
则的长表示A到直线MN的距离，即△AMN的边MN上的高，设
由得，，公用，因此
所以
△ANM中，设
由正弦定理得，∠MAN记为角A
所以，，
所以
|
若不是钝角
则
又，所以，即
所以
设，则，，它是减函数
所以时，，不满足题意，舍去
若是钝角，则
设，则，
令，则
令，得
所以时，，递减，时，，递增．
所以时，，，满足题意，此时
二、选择题
13．【答案】B
【解析】设，，，，那么z为实数
故选B
14．【答案】B
【解析】当时，左边为
当时，左边为
则从到时，等式左边需添加的项是
故选B
15．【答案】D
【解析】由题图可知
则
解得（舍去）
，
则向量在向量上的投影向量为
其坐标为
故选D
16．【答案】D
【解析】
向量与非零向量垂直
，
故选D
三、解答题
17．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意知
（2），，
18．【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
（2）由题意知的两根为，
19．【答案】（1）31.5；（2）今年起第26个季度
【解析】（1）依题意：营业额是首项为1.1，公差为0.05的等差数列；
前20季度营业额之和为：（亿）
（2）设2021年起第n季度（）满足条件，依题意：
第n季度的营业额为：，
第n季度的利润为：
依题意：，解得：
即今年起第26个季度时满足条件．
20．【答案】（1）2，5，8，11，8，5，2；（2）67108861；
（3）
【解析】（1）设数列的公差为d，则，解得
则数列为2，5，8，11，8，5，2
（2）
（3）
，，
当时，，
当时，
当时
，