云南省曲靖市会泽县东陆高级中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份云南省曲靖市会泽县东陆高级中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.1~7.3.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.现南京有4个家庭准备在2023年五一小长假期间选择吉林､白山､四平三个城市中的一个城市旅游，则这4个家庭共有多少种不同的安排方法（ ）
A.24种 B.6种 C.64种 D.81种
3.智力竞赛决赛由两队进行比赛，队有甲､乙两名队员，某一道题由甲､乙两名队员共同解答，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则此题队答对的概率是（ ）（至少一人答对即可）
A. B. C. D.
4.双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（ ）
A.2 B.1 C. D.
5.对任意实数，有，则的值为（ ）
A.-20 B.-16 C.22 D.30
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”､“乐”､“射”､“御”､“书”､“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A.某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B.课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C.课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D.课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
10.设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A.数列是递增数列 B.
C. D.中最大的是
11.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的解析式
B.直线是函数图象的一条对称轴
C.在区间上单调递增
D.不等式的解集为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数满足（为虚数单位），则__________.
13.某游泳队共有20名队员，其中一级队员有10名，二级队员有5名，三级队员有5名，若一､二､三级队员通过选拔进入比赛的概率分别是，则任选一名队员能通过选拔进入比赛的概率为__________.
14.已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且直线斜率之积为-4，则点到直线的最大距离为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知有9本不同的书.
（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
16.（本小题满分15分）
已知等比数列的前项和为，且成等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，证明：数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
为迎接美国数学竞赛（AMC），选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：
现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为.
（1）求此选手两次成绩的等级不相同的概率；
（2）求的分布列和数学期望.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求的最小值；
（2）若函数的图象与有且只有一个交点，求的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，且过点.圆的圆心为是椭圆上的动点，过原点作圆两条斜率存在的切线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记直线的斜率分别为，求的值.
会泽东陆高级中学2024年春季学期高二年级期中考试·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 由，解得，所以，所以，故选B.
2.D 利用乘法原理，第一个家庭有三种选择方式､第二个家庭有三种选择方式､第三个家庭有三种选择方式､第四个家庭有三种选择方式，共计有种.故选D.
3.A 该题甲､乙答不出的概率分别为，故A队答出的概率为.故选A.
4.D 双曲线的渐近线为，
根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径，
可得圆心到渐近线的距离为，
则弦长为.故选D.
5.B 因为，所以，故选B.
6.A 因为，
所以，故选A.
7.A .
8.A 令，则，所以在上单调递增，由，即，又在上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为.故选A.
9.ABC A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.故选.
10.BCD 对于：因为，
且，
所以，又因为，
所以解得，
所以等差数列是递减数列，即选项A错误，选项C正确；
对于B：因为，所以，即选项B正确；
对于选项D：因为等差数列是递减数列，
且，则，
所以，
即选项D正确.故选BCD.
11.ABD 由图知函数的最小正周期，所以，所以.将点代入，得，所以，解得，又，所以，所以，故A正确；
当时，，故B正确；
当时，，故C错误；
由，得，所以，解得，故D正确.故选ABD.
12. 因为，所以，所以.
13.0.7 设表示选到级队员的事件，表示任选一名队员通过选拔进入比赛的事件，.
14.1 设直线，则，
.
则直线，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1.
15.解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；
（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.
16.（1）解：设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
即，
所以，有，即或-1，
①当时，，不合题意；
②当时，，得，
所以等比数列的通项公式；
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以数列的前项和，
由，可得.
17.解：（1）此选手连续两次成绩的等级相同的概率为，
此选手两次成绩的等级不相同的概率为；
（2）由题意可知，的所有可能取值为，
；
.
的分布列为
则数学期望.
18.（1）解：由已知可得，则，
因函数在上单调递增，
所以对任意的恒成立，
又因为函数在上为增函数，
则，解得，故实数的最小值为-3；
（2）解：，令，可得，
因为函数的图象与有且只有一个交点，
令，则函数的图象与直线只有一个公共点，
则，令，解得或，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，…14分
则的极大值为，极小值为，
的图象如下所示：
由图可知，当或时，函数的图象与直线只有一个公共点，
因此，实数的取值范围是.
19.解：（1）依题意得
解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设过原点的圆的切线方程为，即，
则，两边平方并化简得，
其两根满足，
是椭圆上的点，所以.
.1
2
3
0.3
0.5
0.2
1
2
3
0.09
0.55
0.36