江西省南昌市东湖区红谷中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份江西省南昌市东湖区红谷中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图所示的三个矩形中，其中相似形是（ ）
A．甲与乙B．乙与丙C．甲与丙D．以上都不对
2．若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端30米的处，测得树顶的仰角为，则树的高度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
5．用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，点在同一条直线上，的延长线交于点，且，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
8．如图，是一块锐角三角形材料，高线长，底边长，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则四边形的最大面积为（ ）
A．B．C．D．
9．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数
的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
10．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形与扇形是相似扇形，且半径（为不等于0的常数．那么下面四个结论：
①；②；③；④扇形与扇形的面积之比为．成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．小明在操场上练习双杠，他发现双杠两横杠在地面上的影子的关系是______．
12．如图，在中，，，，则______，______．
13．在平面直角坐标系中，顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画的位似图形，使与的相似比等于，则点的坐标为______．
14．在Rt中，，点在边上，连接，若，则的长为______．
15．如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为______．
16．如图，在中，，点为边的中点，于点，连接，则的值为______．
17．如图，双曲线与在第一象限内交于两点，分别过两点向轴和轴作垂线．已知点坐标为，则图中阴影部分的面积为______．
18．在直角坐标系中，有如图所示的Rt轴于点，斜边，，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，则点的坐标为______．
三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题6分）
计算：．
20．（本小题8分）
如图，在中，于．求证：．
21．（本小题12分）
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴的负半轴交于点，且，
（1）求函数和的解析式．
（2）已知直线与轴相交于点，在第一象限内，求反比例函数的图象上一点，使得．
22．（本小题12分）
某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：
（1）观察表中数据，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
23．（本小题14分）
如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与点相距的处测得的仰角分别为，从与点相距的处测得的仰角为．求隧道的长度．（参考数据：）
24．（本小题14分）
已知：如图，在中，是角平分线，平分交于点，经过两点的交于点，交于点恰为的直径．
（1）求证：与相切；
（2）当时，求的半径．
答案和解析
1．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角相等．
根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．
【解答】
解：因为，故甲与乙不相似；
因为，故乙与丙相似；
因为，故甲与丙不相似．
故选：B．
2．【答案】A
【解析】解：函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，
，
解得：，
故选：A．
根据反比例函数的性质可得，再解不等式公式即可．
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
3．【答案】A
【解析】解：关于轴对称的点的坐标是，
故选：A．
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．【答案】C
【解析】解：在Rt中，
米，为，
（米）．
故选：C．
根据题意，在Rt中，米，为，利用三角函数求解．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．
5．【答案】C
【解析】解：所给图形的左视图为C选项所给的图形．
故选：Ｃ．
左视图是从左边看得到的视图，结合选项即可得出答案．
本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题需要明白左视图是从左边看得到的视图．
6．【答案】Ｃ
【解析】解：，A正确，Ｃ错误；
，B正确；
，
，，
，
，．正确，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质进行分析即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理，找准对应关系是解题的关键．
7．【答案】C
【解析】解：由图可知，在点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；
在点左侧，轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时．
故选：C．
根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．
8．【答案】B
【解析】解：如图，
设矩形的宽，则，
矩形的对边，
，，即，
解得，
所以，当，即时，四边形最大面积为．
故选：B．
设矩形的宽，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形的宽表示出长是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】解：抛物线开口向下，
．
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
．
抛物线的对称轴在轴正半轴，
，
，
一次函数的图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限．故选C．
先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限．
本题考查的是反比例函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键．
10．【答案】．
【解析】解：由扇形相似的定义可得：，所以故①正确；
因为，所以，故②正确；
因为，故，故③正确；
由扇形面积公式可得到④正确．
故选：D．
根据扇形相似的定义，由弧长公式可以得到①②③正确；由扇形面积公式可得到④正确．
本题主要考查了新定义题型，相似的判定与性质，弧长和扇形面积公式，题型新颖，有一定难度．
11．【答案】平行
【解析】解：根据平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
双杠平行，地上双杠的两横杠的影子也平行．
故答案为：平行．
利用在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行分析．
本题考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
12．【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先利用勾股定理计算出，然后根据正弦的定义即可得到的正弦．
本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
13．【答案】或
【解析】解：在中，它的对应点的坐标是或，且，
的坐标为或．
故答案为：或．
位似是特殊的相似，若两个图形和以原点为位似中心，相似比是上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或．
此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
14．【答案】6
【解析】解：如图，
在Rt中，，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：6．
根据等腰直角三角形的性质可求的长，在中，根据锐角三角函数的定义可求的长，，代入数据计算即可求解．
综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大．
15．【答案】
【解析】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
所以这个几何体的侧面展开图的面积．
故答案为：．
根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
16．【答案】
【解析】解：，
．
，
．
．
．
设的长为，
则．
点为边的中点，
．
在Rt中，
，
．
．
在Rt中，
故答案为：．
利用等腰三角形的性质先求出的度数，设的长为，用含的代数式先表示出，再利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系求出，最后利用直角三角形的边角间关系求出的正切值．
本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、等腰三角形的性质与判定、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
17．【答案】4
【解析】解：在第一象限关于对称，
也关于对称，
点坐标是，
点的坐标是，
．
故答案是4．
由于和都关于对称，于是易求点坐标是，那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去2个边长是1的正方形的面积．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道反比例函数在时关于对称．
18．【答案】
【解析】解：斜边，
，
，
，
点坐标为，
而点为的中点，
点坐标为，
又反比例函数的图象经过点，
，即反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，
当，
所以点坐标为．
故答案为．
由斜边，根据三角函数的定义可得到，再由勾股定理得到，即得到点坐标为，从而得到的中点的坐标，代入反比例函数解析式确定，然后令，即可得到点的纵坐标．
本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．
19．【答案】解：原式
．
【解析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
20．【答案】证明：在中，，
，
，
，
又，
．
【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出，再根据两组角对应相等的两个三角形相似即可证明．
本题考查相似三角形的判定，以及等腰三角形的性质．
21．【答案】解：（1）把点代入反比例函数，可得，
反比例函数解析式为，
，
，
把点代入一次函数，可得
解得
一次函数解析式为；
（2）在中，令，则，
即，
，
设，则
由，可得，
解得，
．
【解析】（1）把点代入反比例函数，可得反比例函数解析式，把点代入一次函数，可得一次函数解析式；
（2）根据，可得，设，根据，可得，解得，即可得到点的坐标．
本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数交点坐标同时满足两个函数解析式．
22．【答案】解：（1）由表中数据得：，
，
是的反比例函数，
故所求函数关系式为；
（2）由题意得：，
把代入得：，
整理的：
即：，
解得：；
经检验，是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．
【解析】（1）由表中数据得出，即可得出结果；
（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
本题考查了反比例函数的应用，列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．
23．【答案】解：延长交于，
则，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，
，
由题意得，，
解得，，
，，
，
，
，
，
答：隧道的长度为．
【解析】延长交于，利用正切的定义用表示出，根据题意列式求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．【答案】（1）证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
在中，是角平分线，
，
，
，
，点在圆上，
与相切；
（2）解：在中，是角平分线，
，
，
在中，，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
解得，
的半径为．
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，属于中档题．
（1）连接，证明，即可得证；
（2）结合已知求出，再证明，利用相似三角形的性质计算．第1天
第2天
第3天
第4天
售价（元/双）
150
200
250
300
销售量（双）
40
30
24
20