高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)期末考重难点归纳总结(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)期末考重难点归纳总结(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了集合与逻辑用语，不等式，函数，三角函数等内容，欢迎下载使用。


考点一 集合与逻辑用语
【例1-1】（2022忻州月考）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【例1-2】（2022高一上·千阳开学考）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．或
【一隅三反】
1．（2021高一上·浙江月考）(多选）已知全集，集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022高一上·黑龙江月考）(多选）下列条件可以作为的充分不必要条件的有（ ）
A．B．C．D．
3．（2021高一上·齐齐哈尔期末）(多选）下列命题正确的是（ ）
A．，是的充分不必要条件
B．是的充分条件
C．，
D．，
4．（2021高三上·福州期中）(多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”；
B．函数 ，与函数 是同一个函数；
C．已知命题“ 不等式 为真命题”，则 取值范围为 ；
D．设a， ，则“ 或 ”的充要条件是“ ”.
考点二 不等式
【例2-1】（2022高二下·保定期末）（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A．B．-1C．1D．
【例2-2】（2022罗山期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2022·石家庄模拟）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【一隅三反】
1．（2023安徽月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
2．（2022·惠州）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
3．（2022如皋开学考）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
考点三 函数
【例3-1】（2022鞍山）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【例3-2】（2022安徽）已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2022沧州期末）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】（2022高一上·和平期末）已知且，函数f(x)=(a−1)x+3a−4，x⩽0，ax，x>0.满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-5】（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{-1}B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022高一上·达州期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022高一上·大同期末）已知函数有两个零点、，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022湖北月考）（多选）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．当时，的值域为R
C．对任意的，均无最小值
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
4．（2021高一上·葫芦岛月考）（多选）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022高一上·岳阳期末）若函数f(x)=a+ax，x≥0，3+(a−12)x，x<0，（且）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
6．（2021高一上·定州期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．函数为奇函数
C．D．当时，
7（2022高一上·雅安期末）已知定义在上的奇函数
（1）求的值；
（2）用单调性的定义证明在上是增函数；
（3）若，求的取值范围.
考点四 三角函数
【例4-1】（2022高一上·成都期末）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2022高一上·太原期末）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【例4-3】（2022高一上·泸州期末）已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．-1
【例4-4】（2022高一上·白山期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【例4-5】（2022高一上·泰安期末）已知函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022安徽月考）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022如皋月考）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ）
A．B．-2C．D．
3（2022高一上·湖北期末）（多选）已知，，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022高一上·邢台期末）（多选）已知函数，且，则（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期可能为
C．的图象可能关于直线对称
D．的图象可能关于点对称
5．（2022高一上·和平期末）已知，α是第三象限角，则 .（请用数字作答）
6．（2022高一上·温州期末）已知，则 ．
7．（2022高一上·大同期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，的最小值为1，求函数的最大值及对应的的值.
8．（2022高一上·南充期末）已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
期末考重难点归纳总结
考点一 集合与逻辑用语
【例1-1】（2022忻州月考）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，则.
故答案为：B
【例1-2】（2022高一上·千阳开学考）不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】BC
【解析】解不等式，得或，
结合四个选项，A是其既不充分也不必要条件，D是充要条件，B、C选项是其充分不必要条件.
故答案为：BC.
【一隅三反】
1．（2021高一上·浙江月考）(多选）已知全集，集合，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】因为全集，集合，，
所以，，。故答案为：AB
2．（2022高一上·黑龙江月考）(多选）下列条件可以作为的充分不必要条件的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由，即，解得，因为，所以是的必要不充分条件，故A错误；
所以是的充分不必要条件，故B正确；
，所以是的必要不充分条件，故C错误；
所以是的充分不必要条件，故D正确；
故答案为：BD
3．（2021高一上·齐齐哈尔期末）(多选）下列命题正确的是（ ）
A．，是的充分不必要条件
B．是的充分条件
C．，
D．，
【答案】ACD
【解析】对于A中，由，，可得，所以充分性成立，
反之：例如时，满足，但不成立，所以必要性不成立，
所以，是的充分不必要条件，所以A符合题意；
对于B中，当时，可得，所以充分性不成立，所以B不正确；
对于C中，令，
根据指数函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，
所以，可得，所以，，所以C符合题意；
对于D中，当时，可得，此时，
所以命题“”为真命题.
故答案为：ACD.
4．（2021高三上·福州期中）(多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题“ ”的否定是“ ”；
B．函数 ，与函数 是同一个函数；
C．已知命题“ 不等式 为真命题”，则 取值范围为 ；
D．设a， ，则“ 或 ”的充要条件是“ ”.
【答案】AC
【解析】B：函数 的定义域为 ，函数 的定义域为 或 ，
所以 与 不是同一个函数，B不符合题意；
C：当 时， 恒成立，则 恒成立，
即 ，又 (当且仅当 时等号成立)，
所以 ，C符合题意；
D：若 ，则 或 ；若 则 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件，D不符合题意.
故答案为：AC
考点二 不等式
【例2-1】（2022高二下·保定期末）（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（ ）
A．B．-1C．1D．
【答案】BCD
【解析】由，得，因为，所以，所以，则，
当且仅当时，等号成立，故，
因为恒成立，所以，解得.A不符合题意.
故答案为：BCD.
【例2-2】（2022罗山期中）已知实数x，y满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由，，知，，A、C符合题意；
，故，B不符合题意；，故，D不符合题意.
故答案为：AC.
【例2-3】（2022·石家庄模拟）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．上的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为4D．的最小值为
【答案】A,B
【解析】∵，
∴，
当且仅当，即时等号成立，A符合题意；
，∴，当且仅当时，等号成立，B符合题意；
，，当且仅当时等号成立，最大值为2，C不符合题意；
，当且仅当时等号成立，D不符合题意．
故答案为：AB
【一隅三反】
1．（2023安徽月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解析】，
当且仅当a−1=4(b−2)，(a−1)(b−2)=4，a>1，b>2，即a=5b=3时取等号.故答案为：B
2．（2022·惠州）函数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值2D．最小值2
【答案】D
【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故答案为：D
3．（2022如皋开学考）（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最小值为D．的最小值为
【答案】AD
【解析】A.因为，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
B. 因为，所以，所以，当时，取得最小值，故错误；
C. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，所以的最大值为，故错误；
D. 因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故正确；
故答案为：AD
考点三 函数
【例3-1】（2022鞍山）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故答案为：A．
【例3-2】（2022安徽）已知函数为上的偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数为偶函数，则，可得恒成立，得，则函数.
又在上单调递增，则可以变为，则，解得．
故答案为：D．
【例3-3】（2022沧州期末）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知，又，因为，所以，即；又，所以.
故答案为：B.
【例3-4】（2022高一上·和平期末）已知且，函数f(x)=(a−1)x+3a−4，x⩽0，ax，x>0.满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】【解答】因为对任意实数，都有成立，
所以在上为增函数，所以a−1>0a>1a0≥3a−4，解得，所以的取值范围为，
故答案为：B
【例3-5】（2022高一上·太原期末）已知若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（ ）
A．{-1}B．
C．D．
【答案】D
【解析】作出函数的图象与直线，
观察图象，或时，直线与曲线有两个交点，故实数的取值范围是．
故答案为：D
【一隅三反】
1．（2022高一上·达州期末）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，所以可得. 故答案为：A
2．（2022高一上·大同期末）已知函数有两个零点、，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的零点即为函数与的交点横坐标，如图.
记，则，，所以
由图知所以故答案为：A
3．（2022湖北月考）（多选）已知函数，给出下述论述，其中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．当时，的值域为R
C．对任意的，均无最小值
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
【答案】ABC
【解析】A.当时，，则，解得或，所以的定义域为，故正确；
B.当时，，能取遍所有的正数，所以的值域为R，故正确；
C. 令，则复合函数是由复合而成的，而无最小值，所以对任意的，均无最小值，故正确；
D.若在区间上单调递增，由复合函数的单调性知：在区间上单调递增，则解得，又在区间上恒成立，则，解得，所以实数a的取值范围是，故错误；故答案为：ABC
4．（2021高一上·葫芦岛月考）（多选）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】【解答】因为在上的图象是连续不断的，且，，，，所以一定包含零点的区间是，。
故答案为：AD.
5．（2022高一上·岳阳期末）若函数f(x)=a+ax，x≥0，3+(a−12)x，x<0，（且）在R上为单调递增函数，则a的值可以是（ ）
A．B．2C．3D．4
【答案】BCD
【解析】因为函数f(x)=a+ax，x≥0，3+(a−12)x，x<0，且在R上为单调递增函数，
则函数需满足：a>1a−12>0a+1≥3，即：.故答案为：BCD
6．（2021高一上·定州期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．函数为奇函数
C．D．当时，
【答案】ACD
【解析】对于A，是定义在R上的奇函数，故，A符合题意．
对于B，由，得为偶函数，B不符合题意．
对于C，，C符合题意，
对于D，当时，，，D符合题意．
故答案为：ACD.
7（2022高一上·雅安期末）已知定义在上的奇函数
（1）求的值；
（2）用单调性的定义证明在上是增函数；
（3）若，求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（1）解：由是定义在上的奇函数知，
，
经检验知当时，是奇函数，符合题意.
故.
（2）解：设，且，则
，故在上是增函数.
（3）解：由（2）知奇函数在上是增函数，故
或，
所以满足的实数的取值范围是.
考点四 三角函数
【例4-1】（2022高一上·成都期末）若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故答案为：D.
【例4-2】（2022高一上·太原期末）函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
又，∴，
∴，
∴，
∴函数的值域为.
故答案为：A
【例4-3】（2022高一上·泸州期末）已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．-1
【答案】D
【解析】由题意得，，解得，
又为第三象限角，所以，故，
所以，故答案为：D.
【例4-4】（2022高一上·白山期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题得.
故答案为：B
【例4-5】（2022高一上·泰安期末）已知函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离是，所以，解得．
又，所以，解得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递减的是
当时，，
所以函数在区间上单调递减.
故答案为：D.
【一隅三反】
1．（2022安徽月考）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
则；因为，故.
故答案为：A.
2．（2022如皋月考）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即.记，则（ ）
A．B．-2C．D．
【答案】A
【解析】【解答】，
。
故答案为：A.
3（2022高一上·湖北期末）（多选）已知，，那么的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】【解答】因为①，又sin2α+cs2α=1②，
联立①②，解得或，
因为，所以或．
故答案为：BD
4．（2022高一上·邢台期末）（多选）已知函数，且，则（ ）
A．的值域为
B．的最小正周期可能为
C．的图象可能关于直线对称
D．的图象可能关于点对称
【答案】ACD
【解析】，A符合题意；
由，得或，即或，因为，所以或，当时，，则的图象关于直线对称，C符合题意；当时，，则，B不符合题意，D符合题意.
故答案为：ACD.
5．（2022高一上·和平期末）已知，α是第三象限角，则 .（请用数字作答）
【答案】
【解析】由诱导公式可得，
，
故答案为：
6．（2022高一上·温州期末）已知，则 ．
【答案】
【解析】
。
故答案为：。
7．（2022高一上·大同期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，的最小值为1，求函数的最大值及对应的的值.
【答案】见解析
【解析】（1）解：，
∴的最小正周期，
令，可得，
∴的单调递增区间，.
（2）解：由的最小值为1，即，可得，
∴，故其最大值为3，此时，即，.
8．（2022高一上·南充期末）已知函数的部分图象，如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】见解析
【解析】（1）解：根据函数的部分图象
可得，，所以.
再根据五点法作图可得，
所以，.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
由，可得
又函数在上单调递增，在单调递减
，，
函数在的值域.