高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.1函数的单调性(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.1函数的单调性(精讲)(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了定义法判断单调性，性质法判断函数的单调性，分离常数判断函数的单调性，图像法判断函数的单调性，已知函数单调性求参数，利用单调性比较大小，利用单调性解不等式，单调性的综合运用等内容，欢迎下载使用。

考点一 定义法判断单调性
【例1】（2022·全国·高一）证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增．
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．
2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
考点二 性质法判断函数的单调性
【例2】（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
2．（2021·四川省）下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2B．y＝
C．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)2
3．（2022·湖北）函数的单调减区间为______.
考点三 分离常数判断函数的单调性
【例3】．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是________.
【一隅三反】
1.（2022·鄂尔多斯市）函数（ ）
A．在内单调递增B．在内单调递减
C．在内单调递增D．在内单调递减
2．（2022·江西）函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
3．（2021·河南安阳市）函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在定义域内单调递减
考点四 图像法判断函数的单调性
【例4】（2022·福建）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）；（3）（4）；（5）．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象如图所示，其增区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ）
A．[2，4]B．[2，3]C．[2，＋∞）D．[3，＋∞）
3．（2021·重庆市凤鸣山中学）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
考点五 已知函数单调性求参数
【例5-1】（2022·江苏·高一）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2022·江西宜春·高一期末）（多选）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
3．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
考点六 利用单调性比较大小
【例6】（2022·黑龙江）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2022·湖南）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河北）已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·四川）定义在上的函数，对任意有，则（ ）
A．B．
C．D．
考点七 利用单调性解不等式
【例7-1】（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江衢州）函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
考点八 单调性的综合运用
【例8-1】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)画出的图象：（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹，否则不给分）
(2)请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）
(3)当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程的实根的个数：（不必求出方程的解）
【例8-2】（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【一隅三反】
1．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数是增函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)解不等式
2．（2022·广西）已知函数.
（1）请在平面直角坐标系中，画出函数的草图；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若，请根据函数的草图，写出实数的值.
3．（2022·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有；②当时，；③.
（1）求，的值；
（2）证明在上是减函数；
（3）如果不等式成立，求x的取值范围.
3.2.1 函数的单调性（精讲）
考点一 定义法判断单调性
【例1】（2022·全国·高一）证明函数g（x）＝在（1，＋∞）上单调递增．
【答案】证明见解析
【解析】任取、，且，
则，
由于，∴，，
∴，即，故在上是增函数．
【一隅三反】
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．
【答案】在区间上单调递增，证明见解析；
【解析】在区间上单调递增，
证明：设任意的、且，则
，
因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增；
2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.
【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析
【解析】(1)要使函数有意义，当且仅当.由得，
所以，函数的定义域为.
(2)函数在上单调递减.
证明：任取，，设，则
.
∵，∴，，
又，所以，故，即，
因此，函数在上单调递减.
3．（2022·河南·温县第一高级中学高一阶段练习）已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；
（2）求在区间上的最值．
【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析；（2），.
【解析】（1）在区间上单调递增
证明：任取，且
因为，，，所以，即
所以在区间上单调递增
（2）由（1）可得，在区间上单调递增
所以，
考点二 性质法判断函数的单调性
【例2】（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．故选：D
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的递减区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】作出函数图象的图象，
由图象可知图象的减区间为故选：A
2．（2021·四川省）下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2B．y＝
C．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)2
【答案】C
【解析】A中，因为y＝x2－2在（－∞，0）上为减函数，所以A不对；
B中，因为y＝在（－∞，0）上为减函数，所以B不对；
C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上为增函数，故C正确；
D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在（-∞，－2）上为增函数，在（－2，+∞）上为减函数，故D不对．故选：C
3．（2022·湖北）函数的单调减区间为______.
【答案】、
【解析】由知，
即的定义域为，
作出的图像如图所示：
由图可知： 的单调递减区间为和.故答案为：、.
考点三 分离常数判断函数的单调性
【例3】．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调增区间是________.
【答案】，
【解析】；
的图像是由的图像沿轴向右平移个单位，
然后沿轴向下平移一个单位得到；
而的单调增区间为，；
的单调增区间是，．
故答案为：，
【一隅三反】
1.（2022·鄂尔多斯市）函数（ ）
A．在内单调递增B．在内单调递减
C．在内单调递增D．在内单调递减
【答案】C
【解析】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，故选：C.
2．（2022·江西）函数f(x)=在（ ）
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增 B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增 D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.
3．（2021·河南安阳市）函数
A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增D．在定义域内单调递减
【答案】B
【解析】因为数，所以，
因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.
考点四 图像法判断函数的单调性
【例4】（2022·福建）作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
（1）； （2）；（3）（4）；（5）．
【答案】（1）减区间：和，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
增区间：和，减区间：，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：；
减区间：和，增区间：和，值域：，大致图像见解析
【解析】（1），图象如图所示：
函数在和为减函数.
因为，所以，故值域为：；
（2），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
（3），图象如图所示：
函数在和为增函数，在为减函数，
值域为：.
（4），图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数.
值域为：；
（5）
，
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象如图所示，其增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】结合图象分析可知，函数的图象在区间是上升的，所以对应其增区间是．故选：C．
2．（2022·全国·高一）函数f（x）＝|x－2|·（x－4）的单调递减区间是（ ）
A．[2，4]B．[2，3]C．[2，＋∞）D．[3，＋∞）
【答案】B
【解析】函数，
画出函数的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是，，故选：B
3．（2021·重庆市凤鸣山中学）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【解析】，作出其图象如图所示：
由图象可知，函数的增区间为和.故选:B
考点五 已知函数单调性求参数
【例5-1】（2022·江苏·高一）已知函数在上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的单调递增区间是，依题意，，
所以，即实数的取值范围是.故选：D
【例5-2】（2022·江西宜春·高一期末）（多选）函数，对于任意，当时，都有成立的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【解析】根据题意，当，都有成立时，函数 在定义域内为单调减函数.
所以解得 ，反之也成立
即是时，都有成立的充要条件
所以其必要不充分条件对应的a的取值范围包含区间，故选项CD正确.故选：CD.
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：
2．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】时，满足题意；时，，解得，综上，
故答案为：．
3．（2022·全国·高一）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】不妨设，所以由可得：，
所以函数在上递减，故，解得：．故答案为：
考点六 利用单调性比较大小
【例6】（2022·黑龙江）定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，
可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．
【一隅三反】
1．（2022·湖南）已知函数在区间上是增函数，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为在区间上是增函数，并且，所以，
所以D选项的正确的．故选：D
2．（2022·河北）已知函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数在上单调递增且关于直线对称，所以，所以，即．故选：A．
3．（2021·四川）定义在上的函数，对任意有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，对任意有，故任取，有即在上单调递减由于故选：A
考点七 利用单调性解不等式
【例7-1】（2022·甘肃庆阳·高一期末）若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在上单调递增，，，解得：，
实数的取值范围为.故选：C.
【例7-2】（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）函数在上单调递减，若，,则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数为上单调递减，则可变形为，
则，解得，所以的取值范围为，,故选：C
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高一）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的增函数，且，
所以，即，解得，所以x的取值范围为，故选：B
2．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵是定义在上的减函数，且，则，解得.
故选：A.
3．（2022·浙江衢州）函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，是图象上的两点，所以，
所以，转化为，
因为函数是R上的增函数，所以，所以不等的解集为，故选：B
考点八 单调性的综合运用
【例8-1】（2021·江苏·高一单元测试）已知函数.
(1)画出的图象：（要求先用铅笔画出草图，再用中性笔描摹，否则不给分）
(2)请根据图象指出函数的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）
(3)当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程的实根的个数：（不必求出方程的解）
【答案】(1)图象见解析
(2)函数的单调递增区间是，；单调递减区间是，．
(3)答案见解析
【解析】(1)因为，所以函数的图象如图所示：
(2)由图象可知，函数的单调递增区间是，；
单调递减区间是，．
(3)因为方程的实根的个数即是函数的图象与直线的交点个数，
所以由图可知，当或时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程有个根；
当时，函数的图象与直线的交点个数是，此时方程没有根．
【例8-2】（2022·全国·高一课时练习）定义在上的函数，满足，且当时，.
（1）求的值.
（2）求证：.
（3）求证：在上是增函数.
（4）若，解不等式.
（5）比较与的大小.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）.
【解析】（1）令，由条件得.
（2），
即.
（3）任取，，且，则.
由（2）得.，即.
∴在上是增函数.
（4）∵，∴，
.
又在上为增函数，∴
解得.
故不等式的解集为.
（5）∵，
，
∵，
∴（当且仅当时取等号）.
又在上是增函数，
∴.
∴.
【一隅三反】
1．（2021·湖北孝感·高一期中）已知函数是增函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)解不等式
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为在上是增函数，所以在都单调递增．
当即时，在单调递增；
当时，在单调递增；
在处，，解得．
综上所述，的取值范围为．
(2)因为在上是增函数，所以等价于，
化简为，解得或．
所以不等式的解集为．
2．（2022·广西）已知函数.
（1）请在平面直角坐标系中，画出函数的草图；
（2）写出函数的单调区间；
（3）若，请根据函数的草图，写出实数的值.
【答案】（1）见解析；（2）函数的增区间为，减区间为；（3）1或3或
【解析】（1）由题意，，可得函数的草图为：
（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为.
（3）根据图象可知，满足的有3个，
若，则，解得或；
若，则，解得或（舍去）.
综上，实数t的值为1或3或.
3．（2022·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有；②当时，；③.
（1）求，的值；
（2）证明在上是减函数；
（3）如果不等式成立，求x的取值范围.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【解析】（1）因为对任意正数x，y，都有，，
令，得，，
令，则，
令，，则有，．
（2）令，且，所以，，
，
∴在上是减函数；
（3）由已知不等式化为，
又在上是减函数，∴，解得.
不等式解集为.