高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.2函数的奇偶性(精练)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.2.2函数的奇偶性(精练)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了判断下列函数的奇偶性，函数是定义在上的奇函数，且等内容，欢迎下载使用。

1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
2．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·黑龙江）（多选）下列函数中是偶函数的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋.
(5)； (6)；(7)；(8)．
2 利用奇偶性求解析式
1．（2022·内蒙古）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·重庆八中高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·吉林延边·高一期末）已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·吉林油田）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，______．
5．（2022·山东）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则___________.
3 利用奇偶性求值
1．（2022·山西）设函数（其中为常数，），若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022.广西）已知函数，且，则（ ）
A．-26B．-18C．-10D．10
3．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，，则（ ）
A．2B．0C．-5D．-6
4．（2022·广东）（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·湖南衡阳·高一期末）若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则________.
6．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
4 利用奇偶性求参数
1．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.
2.（2022云南）定义；函数在闭区间上的最大值与最小值之差称为函数的极差．若定义在区间上的函数是偶函数，则_________，函数的极差为________．
3．（2023·海南）若是偶函数，且定义域为，则＝_____ ， ＝_____
4．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5 利用奇偶性解不等式
1．（2022·全国·高一课时练习）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．[－1，2]C．[0，4]D．[1，3]
2．（2022·福建厦门·高一期末）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．或
3．（2022·河南·扶沟县第二高中高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
4．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
5．（2022·安徽·高一期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为_______
6．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
7．（2021·浙江）已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.
8．（2021·四川自贡·高一期中）若奇函数在定义域上是减函数，若时，，
(1)求的解析式；
(2)求满足的实数m的取值范围
9．（2022·广东韶关实验中学高一阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解关于的不等式．
6 利用奇偶性比较大小
1（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·北京）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·全国·高一课前预习）已知偶函数在上单调递减，则和的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．和关系不定
5．（2022·银川）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·北京）已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7 抽象函数的性质
1．（2022·新疆）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
2．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
3．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
4．（2021·广东·金山中学高一期中）已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
5（2022·福建）设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
3.2.2 函数的奇偶性（精练）
1 奇偶性的判断
1．（2022·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数
B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称
C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数
D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数
【答案】B
【解析】奇偶函数的定义域一定关于原点对称，B正确；
定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如R上的函数既不是奇函数，也不是偶函数，A，C都错误，如函数的定义域是R，且有，但不是奇函数，D错误．故选：B
2．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）下列函数为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；
对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；
对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误；
故选：B
2．（2022·全国·高一）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；
D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；
C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.故选：C.
3．（2022·黑龙江）（多选）下列函数中是偶函数的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，函数定义域为R，，故A正确
对于B，函数定义域为，故B错误
对于C，函数定义域为R，，故C正确
对于D，函数定义域为R，，故D正确故选：ACD
4．（2022·湖南·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝ ；(2)f(x)＝x2(x2＋2)； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝＋.
(5)； (6)；(7)；(8)．
【答案】(1)奇函数；(2)偶函数；(3)非奇非偶函数；(4)既是偶函数又是奇函数；
(5)奇函数(6)偶函数(7)偶函数(8)非奇非偶函数
【解析】(1)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；
(2)f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R.∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数；
(3)f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，∵定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；
(4)f(x)＝＋的定义域为{－1，1}．∵f(－x)＝f(x)＝－f(x)＝0，∴f(x)既为奇函数，又为偶函数．
(5)函数的定义域为R且故函数为奇函数
(6)函数的定义域为R且故函数为偶函数
(7)函数的定义域为R且故函数为偶函数
(8)由于且故函数为非奇非偶函数
2 利用奇偶性求解析式
1．（2022·内蒙古）函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是上的奇函数，故，
令，故，则，则，故当时，.故选：C.
2．（2022·重庆八中高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，故，
又是定义在上的奇函数，∴.故选：D.
3．（2022·吉林延边·高一期末）已知是奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在上有，∴，又是奇函数，
∴，故.故选：C.
4．（2022·吉林油田）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，______．
【答案】
【解析】因为函数是定义在R上的偶函数，且当时，
设，则，．故答案为：
5．（2022·山东）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则___________.
【答案】
【解析】函数是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0；
当时，；当x＜0时，−x＞0，，
又f（−x）＝−f（x），可得x＜0时，．所以．故答案为：.
3 利用奇偶性求值
1．（2022·山西）设函数（其中为常数，），若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，令，则，即为奇函数，则，又，即，所以，所以；故选：C
2．（2022.广西）已知函数，且，则（ ）
A．-26B．-18C．-10D．10
【答案】A
【解析】方法一：令，知是上的奇函数，从而
又因为，所以，所以，所以
所以.
方法二：由已知条件，得，
两式相加得，又因为，所以.故选：A.
3．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数，，则（ ）
A．2B．0C．-5D．-6
【答案】C
【解析】由，得，所以，
故选：C.
4．（2022·广东）（多选）是奇函数，是偶函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因是奇函数，是偶函数，则，，解得，即A，C都正确；而，即B，D都不正确.故选：AC
5．（2022·湖南衡阳·高一期末）若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则________.
【答案】
【解析】∵是定义在上的奇函数，当时，（为常数），，解得，∴当时，．．故答案为：.
6．（2022·四川凉山·高一期末）已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】
【解析】因为，所以有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以，
因此由，故答案为：
4 利用奇偶性求参数
1．（2021·上海市杨浦高级中学高一期末）已知，函数是定义在上的偶函数，则的值是______________.
【答案】
【解析】由已知是定义在上的偶函数，
故，即，或，且函数图象关于轴对称，
又，故，
因为关于直线对称，
故，，
故答案为：.
2.（2022云南）定义；函数在闭区间上的最大值与最小值之差称为函数的极差．若定义在区间上的函数是偶函数，则_________，函数的极差为________．
【答案】1 4
【解析】因为定义在区间上的函数是偶函数，
所以，解得：，
又为偶函数，，
所以，，
下面求在闭区间上的最大值与最小值，开口向下，对称轴为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，，
所以极差为,
故答案为：；
3．（2023·海南）若是偶函数，且定义域为，则＝_____ ， ＝_____
【答案】 0
【解析】因为是偶函数，且定义域为，
所以，解得，且，所以.
故.
4．（2022·安徽·界首中学高一期末）已知函数为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题得.因为在上单调递减，并且，
所以，所以或.故选：D
5 利用奇偶性解不等式
1．（2022·全国·高一课时练习）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A．[－2，2]B．[－1，2]C．[0，4]D．[1，3]
【答案】D
【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，
又在单调递减，∴得，即﹒故选：D．
2．（2022·福建厦门·高一期末）已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【解析】因为，则，所以，
因为为偶函数，所以，因为在上单调递增，
所以，解得或，所以不等式的解集为或，故选：B
3．（2022·河南·扶沟县第二高中高一期末）若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____________.
【答案】
【解析】因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增，
又，所以，所以当时，
则不等式等价于，解得，
所以原不等式的解集为.故答案为：
4．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.因为，可得，
即，所以，解得，所以的取值范围是
故答案为：
5．（2022·安徽·高一期中）已知偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为_______
【答案】
【解析】解：因为是偶函数，且，，所以，
又在上单调递增，所以，即，解得，故答案为：
6．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，所以函数在R上单调递增，又，所以，
又不等式等价于，所以，解得，
所以不等式的解集为，故答案为：
7．（2021·浙江）已知奇函数是定义在[－1，1]上的增函数，且，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为奇函数在[－1，1]上是增函数，所以有，可化为，要使该不等式成立，有，解得
，所以的取值范围为.故答案为：.
8．（2021·四川自贡·高一期中）若奇函数在定义域上是减函数，若时，，
(1)求的解析式；
(2)求满足的实数m的取值范围
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为是定义域上的奇函数，所以对于任意，则，且.
设，则，由已知得，
而满足上式，所以.
(2)由于在定义域上是减函数，且为奇函数，
所以，即，
所以有，所以m的取值范围为.
9．（2022·广东韶关实验中学高一阶段练习）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】(1)根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解得，
又由，则有，解得，则，所以，满足条件，所以；
(2)由（1）知，证明：设，
则，
又由，所以、、
则，，，，则，则函数在上为增函数；
(3)解：根据题意，即 ，即 ，即，解得：，
即不等式的解集为．
6 利用奇偶性比较大小
1（2022·四川·遂宁中学高一阶段练习）若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为函数是偶函数，所以，因为在上是增函数，且，
所以，即故选：D
2．（2022·北京）已知是定义在上的偶函数，当时，图象如图所示，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，可得，
又由当时，函数为单调递减函数，所以，
所以.故选：A.
3．（2021·全国·高一课前预习）已知偶函数在上单调递减，则和的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．和关系不定
【答案】A
【解析】依题意，偶函数在上单调递减，，所以.
故选：A
5．（2022·银川）设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】是偶函数，，，
当时，是增函数，且，，.
故选：B.
6．（2022·北京）已知偶函数在上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为是偶函数，，，
又在上单调递减，，，即.故选：C.
7 抽象函数的性质
1．（2022·新疆）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.
(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；
(2)证明函数f(x)在R上的单调性；
(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析；
(2)函数为R上的减函数，证明见解析；
(3)．
【解析】(1)因为函数的定义域为R，令，所以，即，
令，所以，即，所以函数为奇函数．
(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．
(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．
2．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析；(2).
【解析】(1)令，可得，
令，则，所以，
所以，所以为奇函数；
(2)，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
3．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知y=f(x)满足对一切x，yR都有f(x+2y)=f(x)+2f(y).
(1)判断y=f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(1)=2，求f(-13)+f(-3)+f(22)+f(53)的值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)118
【解析】(1)为奇函数，证明：令，则有，
所以，故为奇函数；
(2)令，则；
又，令，则，
即，
所以，则，
，
，
，
所以所求式子的值为.
4．（2021·广东·金山中学高一期中）已知函数对一切实数都有成立， 且.
(1)分别求和的值；
(2)判断并证明函数的奇偶性．
【答案】(1)，；(2)是奇函数，证明见解析.
【解析】(1)因为函数对一切实数都有成立，，
所以当时，即，
令可得，所以，即
(2)令可得，所以，
所以，即，，
所以函数是奇函数.
5（2022·福建）设函数对任意，都有，且当时，.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：为减函数，
(3)若，试求关于的不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【解析】(1)证明：因为函数对任意，都有，
所以令，则，得，
令，则有，
所以，即，
所以为奇函数
(2)证明：设，则，而时，有，则
，
所以，
所以为减函数
(3)因为为奇函数，，所以，
所以，
所以，
所以不等式可转化为
，因为为减函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.