高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.4函数的应用(一)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.4函数的应用(一)(精讲)(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了一次函数模型，二次函数模型，分段函数，基本不等式模型等内容，欢迎下载使用。


考点一 一次函数模型
【例1】（2022山西）若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为_____.
【一隅三反】
1．（2022·广东）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
2．（2022广西）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A．B．C．D．
考点二 二次函数模型
【例2】（2022湖北）（多选）某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【一隅三反】
1．（2022湖南）如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为_________.
2．（2022河北）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
3．（2022·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
考点三 分段函数
【例3】（2021·河南）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【一隅三反】
1．（2022湖南）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
2．（2022山西）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
3．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
考点四 基本不等式模型
【例4】（2020·北京·101中学高一开学考试）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
【一隅三反】
1．（2022陕西）根据交通法规，京沪高速车辆行驶限速不超过千米/小时，现有一辆运货卡车以速度千米/小时，匀速行驶千米．假设汽油每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．
(1)求这次行车的总费用和汽车匀速行驶的速度之间的函数表达式；
(2)当速度为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
2．（2022·全国·高一单元测试）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.(精确到0.1，参考数据：取1.4)
3．（2022云南）某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润(单位：10万元)与营运年数(是正整数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2，且投入运营第六年总利润最大达到110万元
（1）请求出关于的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润)每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81（元）
68（元）
51（元）
3.4 函数的应用（一）（精讲）
考点一 一次函数模型
【例1】（2022山西）若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为_____.
【答案】
【解析】由题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.
∵y>0，∴20－2x>0，∴x<10.
又∵三角形两边之和大于第三边，
∴，即，解得x>5，∴5故所求函数的解析式为.故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·广东）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．
【答案】.
【解析】设每件售价元时，售出件，设，
因为，所以①，
因为，所以②，
解由①②组成的方程组得，，所以.
由.故答案为：.
2．（2022广西）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,
则当时,元,不符合题意;
当时,,令,解得,符合题意；
当时,,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15.故选：C.
考点二 二次函数模型
【例2】（2022湖北）（多选）某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】BC
【解析】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，故选：BC
【一隅三反】
1．（2022湖南）如图，有一长米，宽米的矩形地块，物业计划将其中的矩形建为仓库，要求顶点在地块对角线上，分别在边上，其他地方建停车场和路，设米.
则矩形的面积关于的函数解析式为_________.
【答案】
【解析】在直角中，所以，
∴，∴，
所以矩形的面积关于的函数解析式为.
2．（2022河北）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量（件）与销售单价（元/件）可近似看作一次函数的关系．设商店获得的利润（利润销售总收入总成本）为元．
（1）试用销售单价表示利润；
（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
【解析】（1）.
（2），
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
3．（2022·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.
【答案】（1）生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式分别为， ，（2）9千万元
【解析】（1）因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为，
对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以
，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 ，
（2）设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用
，
所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元
考点三 分段函数
【例3】（2021·河南）某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
【答案】(1)
(2)
(3)元
【解析】(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，则.
(2)当时，；
当时，；
当时，.
(3)设工厂获得的利润为元，则，
即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.
【一隅三反】
1．（2022湖南）A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？
(2)由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【答案】(1)10人、20人与180人；
(2)；
(3)至少要花11233元，最多要花16980元.
【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，
若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：，
解得，则.答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.
(2)由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，
①当时，最经济的购票方案为：
学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.
所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.
综上：
(3)由（2）知，当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，
由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元.所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.
2．（2022山西）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量.
(1)将利润f(x)表示为月产量x的函数；
(2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润)
【答案】(1)；
(2)300，25000元.
【解析】(1)由题意，当时，；
当时，；
故；
(2)当时，；
当时，(元
当时，(元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
3．（2022·全国·高一课时练习）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度(单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)﹒
【答案】(1)；
(2)当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
【解析】(1)当时，；
当时，设，
由已知得解得，
故函数的表达式为；
(2)依题意并由(1)可得，
当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20＝1200；
当时，，
∴当时，在区间(20，200]上取得最大值，
∵3333＞1200，
∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
考点四 基本不等式模型
【例4】（2020·北京·101中学高一开学考试）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120．设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．
（1）求f(50)的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？
【答案】（1）277.5；（2）投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大．
【解析】（1）若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，
所以f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5．
（2）由题知，f(x)＝80＋4＋ (200－x)＋120＝－x＋4＋250，
依题意得解得20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－ (t－8)2＋282，
当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．
【一隅三反】
1．（2022陕西）根据交通法规，京沪高速车辆行驶限速不超过千米/小时，现有一辆运货卡车以速度千米/小时，匀速行驶千米．假设汽油每升元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时元．
(1)求这次行车的总费用和汽车匀速行驶的速度之间的函数表达式；
(2)当速度为何值时，这次行驶的总费用最低，最低值为多少．
【答案】(1)，.
(2)千米/小时，行车费用最低为元
【解析】(1)由题意可得：一辆运货卡车以速度千米/小时，匀速行驶千米，行驶的时间为，
所以，.
(2)因为，
当且仅当即时，等号成立，且，
所以当千米/小时时，行车费用最低为元.
2．（2022·全国·高一单元测试）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.
(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值.(精确到0.1，参考数据：取1.4)
【答案】(1)天
(2)
【解析】（1）解：∵一次喷洒个单位的净化剂，∴浓度，则当时，由，解得，∴此时．当时，由，解得，∴此时．综合得，若一次投放个单位的制剂，则有效净化时间可达天．
（2）解：设从第一次喷洒起，经天，浓度，∵，而，∴，故当且仅当时，有最小值为．令，解得，∴a的最小值为．
3．（2022云南）某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润(单位：10万元)与营运年数(是正整数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2，且投入运营第六年总利润最大达到110万元
（1）请求出关于的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润)
【答案】（1）；（2）20万元
【解析】（1）由题意，投入运营第六年总利润最大达到110万元，
所以二次函数开口向下，且顶点坐标为（6,11）
所以设二次函数为，
又第三年总利润为2，所以函数过点（3,2）
代入可得，
所以
（2）年平均总利润为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，
所以年平均总利润的最大值20万元每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元/
超过但不超过的部分
6元/
超过的部分
9元/
运行区间
公布票价
学生票
上车站
下车站
一等座
二等座
二等座
A
B
81（元）
68（元）
51（元）