高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)4.4对数函数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)4.4对数函数(精讲)(原卷版+解析)，共27页。试卷主要包含了对数函数辨析，对数函数的三要素，对数函数的单调性，对数函数单调性的运用，对数函数的定点，反函数，对数函数的图像，对数函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。


考点一 对数函数辨析
【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2022西藏）若函数为对数函数，则（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022哈尔滨）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1) B．y＝lg2x－1
C． D．y＝lg5x
2．（2021·全国·高一课时练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
3．（2022·全国·高一课时练习）函数是对数函数，则___________.
考点二 对数函数的三要素
【例2-1】（2022·湖北省）函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022·陕西）函数的最小值是（ ）．
A．10B．1C．11D．
【例2-3】（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2021·云南省）已知，则函数的定义域为______.
2．（2022·贵州·）函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)D．[3，＋∞)
3（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A．B．C．D．
考点三 对数函数的单调性
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2022·四川）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东 ）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·云南）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
考点四 对数函数单调性的运用
【例4】（2022·福建福州·高一期中）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
2．（2021·河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
3．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（ ）
A．B．C．D．
考点五 对数函数的定点
【例5】（2022·广西）若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，2）
【一隅三反】
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象过定点，则在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·浙江丽水·高一开学考试）已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（ ）
A．B．C．D．
考点六 反函数
【例6】（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）若函数的反函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【一隅三反】
1．（2021·江苏·高一专题练习）与函数的图象关于直线对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022湖南）函数的反函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022湖南）函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（ ）
A．2B．C．2或D．3
考点七 对数函数的图像
【例7】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数与的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·重庆市）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A．B．C．D．
考点八 对数函数的综合运用
【例8】（2021·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【一隅三反】
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，且的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最大值；
(3)求函数的值域．
2．（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高一开学考试）设（，），且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值.
4.4 对数函数（精讲）
考点一 对数函数辨析
【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数(且)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D.
【例1-2】（2022西藏）若函数为对数函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知：函数为对数函数
所以或，又且所以故选：B
【一隅三反】
1．（2022哈尔滨）下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝lgxa(x>0且x≠1) B．y＝lg2x－1
C． D．y＝lg5x
【答案】D
【解析】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．故选：D.
2．（2021·全国·高一课时练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
3．（2022·全国·高一课时练习）函数是对数函数，则___________.
【答案】3
【解析】由对数函数的概念可知，解得，所以，
则.故答案为:3.
考点二 对数函数的三要素
【例2-1】（2022·湖北省）函数定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得且，
所以函数的定义域为；故选：C
【例2-2】（2022·陕西）函数的最小值是（ ）．
A．10B．1C．11D．
【答案】B
【解析】设，则，因为，
所以，所以的最小值为1，选：B
【例2-3】（2022·全国·高一单元测试）已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意得，因为，所以
所以，由可得，则．故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·云南省）已知，则函数的定义域为______.
【答案】
【解析】由题意可知，要使有意义，则，解得，即.
所以函数的定义域为.故答案为：.
2．（2022·贵州·）函数y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为（ ）
A．(2，＋∞)B．(－∞，2)
C．[4，＋∞)D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】令，又因为在上递增，所以，
所以y＝2＋lg2(x2＋3)(x≥1)的值域为 [4，＋∞)，故选：C
3（2022·全国·高一单元测试）已知函数（，且）在上的值域为，则实数a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若，则在上单调递减，则，不符合题意；
若，则在上单调递增，则，
又因为的值域为，所以，解得．故选：A．
考点三 对数函数的单调性
【例3-1】（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，令，则，
在上递增，在上递减，因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，故选：A
【例3-2】（2022·四川）已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】当，是减函数，所以，即……①；
当，也是减函数，故……②；
在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即……③，∴由①②③取交集，得：；故选：C.
【一隅三反】
1．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得：，即定义域为；
令，则在上单调递增，在上单调递减；
又在上单调递减，
的单调递减区间为.
故选：B.
2．（2022·山东 ）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题可知函数在区间R上为增函数，则，解可得.故选：D.
3．（2021·云南）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由可得，解得，
函数是由和复合而成，
又对称轴为，开口向下，
所以 在上单调递增，在上单调递减，
因为为减函数，
所以的单调增区间为，
因为在区间内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，故答案为：．
考点四 对数函数单调性的运用
【例4】（2022·福建福州·高一期中）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对数函数都是上的增函数，，于是得，，而，而，于是得：，所以有.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·江苏高一开学考试）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，，，，故选A.
2．（2021·河北沧州市一中高一开学考试）已知，，，则的大小关系为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，故，所以．故选A．
3．（2022·河南濮阳·高一期末（文））已知，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
， ，
是单调递增，，，
，，
是单调递增，，，
综上所述，.
故选：D
考点五 对数函数的定点
【例5】（2022·广西）若且，则函数的图像恒过定点（ ）
A．（2，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，2）
【答案】D
【解析】根据对数函数的性质，当时，则，则函数过定点.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象过定点，则在上的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的图象过定点，所以，
，
由于，所以，
所以.
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象恒过定点，则M为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数，令，解得，此时，所以函数恒过定点；故选：A
3．（2022·浙江丽水·高一开学考试）已知函数（且）的图象过定点，正数、满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为（且），令，解得，所以，即函数过定点，所以，故A错误；
因为、，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号.故选：D
考点六 反函数
【例6】（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）若函数的反函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】依题意，函数的反函数是，即函数的图象过点，
则，，于是得，
所以.故选：B
【一隅三反】
1．（2021·江苏·高一专题练习）与函数的图象关于直线对称的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数与（且）互为反函数，且这两个函数的图象关于直线对称，因此，与函数的图象关于直线对称的函数是.故选：C.
2．（2022湖南）函数的反函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，令得，
所以函数的反函数的表达式为，故选：B
3．（2022湖南）函数（，且）的反函数的图象过点，则a的值为（ ）
A．2B．C．2或D．3
【答案】B
【解析】法一：函数（，且）的反函数为（，且），
故的图象过点，则．
法二：∵函数（，且）的反函数的图象过点，
∴函数（，且）的图象过点，
∴，即．
故选：B
考点七 对数函数的图像
【例7】（2022·全国·高一课时练习）函数的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是，
故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；
当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，
又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
2．（2021·浙江·玉环中学高一阶段练习）函数与的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为在定义域上单调递减，
又，所以在定义域上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
3．（2022·重庆市）若函数在上既是奇函数，又是减函数，则的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于是上的奇函数，所以，
所以为减函数，所以，
所以，为上的减函数，，
所以BCD选项错误，A选项正确.故选：A
考点八 对数函数的综合运用
【例8】（2021·全国·高一课时练习）已知函数．
(1)若，求函数的定义域．
(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．
(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）由题设，，则或，所以函数定义域为.
（2）由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.
（3）由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，
所以在上递增，在上递减，
又在上是增函数，故，可得.
【一隅三反】
1．（2022·贵州毕节·高一期末）已知函数的定义域为，且的图象经过点．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的最大值；
(3)求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)3；
(3).
【解析】(1)∵的图象经过点，∴，∴，∴，∴．
(2)∵，定义域为，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在上单调递减，∴函数的最大值为．
(3)，
∵函数的定义域为，∴，解得，
∴函数的定义域为，
∵对勾函数在上单调递增，而函数是增函数，
∴函数在上单调递增，
∴，，
∴函数的值域为．
2．（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高一开学考试）设（，），且.
(1)求实数的值及函数的定义域；
(2)求函数在区间上的最大值.
【答案】(1)a=2；的定义域为.
(2)在上的最大值为2.
【解析】(1)
（，），且
所以，解得：a=2.
所以的定义域需满足：，解得：，
即函数的定义域为.
(2)
.
任取，令，则，
所以，所以在上单增；
任取，令，则，
所以，所以在上单减.
所以在上单增，在上单减.
所以在上的最大值为.