四川省成都市洛带中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份四川省成都市洛带中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题5分，共40分）
1. 下列向量中，与向量，平行的是（ ）
A. B. C. D.
2. 一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 空间两点，之间的距离为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
4. 若，，，则事件A与B的关系是（ ）
A. 事件A与B互斥B. 事件A与B对立
C. 事件A与B相互独立D. 事件A与B既互斥又相互独立
5. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则A大学恰好被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6、已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图（1）和图（2）所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
图（1） 图（2）
A. 200，20B. 100，20C. 200，10D. 100，10
7. 已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 1
8. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面BCD，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每题5分，共20分）
9. 在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则（ ）
A. 平面的一个法向量为B. 平面的一个法向量为
C. 点在x轴上的投影点坐标为D. 点关于平面对称点坐标为
10. 洛带中学校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 图中a的值为0.015B. 估计这40名学生考试成绩的众数为75
C. 估计这40名学生考试成绩的中位数为82D. 估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85
11. 2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数（按现行农村贫困标准统计）统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是（ ）
A. 2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少
B. 2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上
C. 2017年末我国农村贫困人口有3046万人
D. 2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平
12. 已知向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 某校高一，高二，高三年级各有学生400人，400人，300人.某眼镜店为了解该校学生的视力情况，用分层抽样的方法从三个年级中共抽取110名学生进行调查，那么从高三年级抽取了______名学生.
14. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为______.
15. 向量在y轴上的投影向量为______.
16. 如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为______.
第16题图
四、解答题（共70分）
17.（本题10分）已知，，，，且，.
（1）求；
（2）求向量与夹角的大小.
18.（本题12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有4道不同的题目，其中选择题2道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道（不重复）.
（1）甲抽到选择题且乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
19.（本题12分）某校高一年级学生打算利用周六休息时间做义工，为了了解高一年级学生做义工时长的情况，随机抽取了高一年级100名学生进行调查，将收集到的做义工时间（单位：小时）数据分成6组：，，，，，，（时间均在内），已知上述时间数据的第70百分位数为3.5.
（1）求m，n的值，并估计这100位学生做义工时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现从第二组，第四组中，采用按比例分层抽样的方法抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求两个人来自于不同组的概率.
20.（本题12分）如图，在长方体中，，，.
（1）求证：平面平面.
（2）线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
21. 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，ABCD与ADEF是两个边长为1的正方形，它们所在的平面互相垂直.
（1）求异面直线AE与BD所成角的大小；
（2）在线段BD上取点M，在线段AE上取点N，求MN长度的最小值，并判断当MN最短时，MN是否是异面直线AE与BD的公垂线段？
22.（本题12分）2023年5月19日是第13个“世界家庭医生日”.某地区自2016年开始全面推行家庭医生签约服务.已知该地区人口为1000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示；
图1 图2
（1）国际上通常衡量人口老龄化的标准有以下四种：①60岁以上人口占比达到7%以上；②少年人口（14岁以下）占比30%以下；③老少比30%以上；④人口年龄中位数在30岁以上.请任选两个角度分析该地区人口分布现状；
（2）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；
（3）据统计，该地区被访者的签约率约为44%，为把该地区年满18岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.
参考答案
1. 答案：C
【详解】对于A，因为，所以两向量不平行；
对于B，因为，所以两向量不平行；
对于C，因为，所以两向量平行；
对于D，因为，所以两向量不平行.
2. 答案：B
解析：由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值.
故选：B
3. 答案：B
解析：.
4. C 【详解】∵，∴，
∴事件A与B相互独立、事件A与B不互斥，故不对立.
5. 答案：C
解析：依题意，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的样本空间
，.
设A大学恰好被选中的事件A，则，，
所以A大学恰好被选中的概率为：.
6. 答案：A
解析：由题图（1）知：总体总量为，
∴样本容量为.
∵分层抽样抽取的比为，∴高中生抽取的人数为40.
∴抽取的高中生近视人数为.故选A.
7. D 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
8. 答案：B
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面ACD，再由线面垂直的判定定理可得平面ABD，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面EFG，平面EFG，所以平面EFG，
同理平面EFG，
又因为AC，平面ACD，，所以平面平面ACD.
因为平面ACD，所以H为线段FG上的点.
由平面BCD，平面BCD，得，
又，则，
由，AB，平面ABD，得平面ABD，
因为，所以平面ABD，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
9. 答案：ACD
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
∵，且，∴不是平面的法向量，故B不正确；
C、D显然正确.
10. [答案]ABD
[分析]对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可.
[详解]根据频率和等于1得：，
∴，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是82，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，
上四分位数在内，设第75百分位数约为x，
则：，得，故D正确.故选：ABD.
11. 答案：ABC
解析：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A正确；
2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为（万人），
又，故选项B正确；
2017年末我国农村贫困人口为（万人），故选项C正确；
由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误.故选ABC.
12. CD
【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A，∵，，∴，
∴，故A错误；
对于B，∵，，
则，故B错误；
对于C，∵，
则，
则，故C正确；
对于D，∵，，∴，∴，故D正确.
故选：CD.
13. 答案：30
解析：根据分层抽样原理知，从高三年级抽取学生数为：.
14. 答案：0.75
【详解】由题意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，故三只豚鼠都没被感染的概率为，则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为.
15. 答案：
解析：向量在y轴上的投影向量为.
16. 答案：
【分析】由已知得，，，长度为2，且两两夹角已知，可用三个向量表示出，表示出模长即可得到最小值.
【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形，
则，且，，
所以即为二面角的平面角，即.
因为，，设，，
则，且，，
则
，
则，
，
则，当时，有最小值为.
所以，.
所以，线段MN长的最小值为.
17. 答案：（1）
（2）向量与夹角的大小为
解析：（1）∵，∴，∴，∴.
∵，∴，∴，∴，
∴，∴.
（2）∵，
∴，
∴向量与垂直，即向量与夹角的大小为.
18. 答案：（1） （2）
【详解】（1）解：记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，
记两道选择题分别为、，两道判断题分别为、，
所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、，共12种，其中事件A包含的基本事件有：、、、，共4种，
由古典概型的概率公式可得.
（2）解：记事件B：甲、乙二人中至少有一人抽到选择题，
则事件B包含的基本事件有：、、、、、、、、、，共10种，由古典概型的概率公式可得.
19. 答案：（1）平均值为2.89.
（2）所求概率为.
解析：（1）因为，所以；
又因为时间数据的第70百分位数为3.5，
所以，则，
于是，
所以平均值为.
（2）由于第二组和第四组的频率之比为：，
那么分层抽样抽取的6个人中，来自第二组共有2个人，设为，，第四组共有4个人，
设为，，，，，
则从6个人中任选2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，
其中2人来自不同组的事件有，，，，，，，共8个，
故所求概率为.
20. 答案：（1）证明见解析
（2）当P为线段的中点时，平面
解析：（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，所以平面平面.
（2）设线段上存在点P使得平面，.
由（1）得，，平面的一个法向量为，
所以.
所以，解得.
所以当P为线段的中点时，平面.
21. 答案：【分析】（1）利用，可知为所求角，进而得解；
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出M、N的坐标，利用向量的模长公式，即可表示线段MN的长度；
（3）求出的最小值，利用向量验证MN是否与AE，BD垂直.
（1）补全正方体，连接，，由正方体的性质知，
则异面直线AE与BD所成角，即为直线与BD所成角，
又为等边三角形，故，
所以异面直线AE与BD所成角的大小为.
（2）如图，以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由，，知，，其中，
∴，，
则，.
（3）当，要求的最小值，
即求的最小值.
由
，
当且仅当时，等号成立，，
∴，，
又，，，，
则，，，
∴，，
所以MN是异面直线AE与BD的公垂线段.
22. 答案：（1）答案见解析；（2）21万人；（3）应着重提高年龄段31-50岁的签约率，答案见解析.
解析：（1）①60岁以上人口比例是：；
②少年（14岁以下）人口比例：小于；
③老少比：；
④由于1-41岁人口比例0.53，所以年龄中位数在31-40岁范围内.
所以由以上四条中任意两条均可分析出该地区人口已经老龄化
（2）万人
（3）由图1、2可知该地区年龄段18-30岁的人口为180-230万之间，签约率为30.3%；
年龄段31-50岁的人口数为万，签约率为37.1%；
年龄段51-60岁的人口数为万，签约率为55.7%；
年龄段61-70岁的人口数为，签约率为61.7%；
年龄段71-80岁的人口数为万，签约率为70%；
年龄段80岁以上的人口数为，签约率为75.8%.
由以上数据可知，这个地区在31-50岁这个年龄段人数为360万，基数较其他地区是最大的，且签约率仅为37.1，比较低，所以应着重提高此年龄段的签约率.