江苏省南通中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷

这是一份江苏省南通中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知向量与共线，则实数（ ）
A．0 B．1 C．或2 D．或1
2．已知随机变量，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
4．在四面体ABCD中，点E满足，F为BE的中点，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．若曲线在处的切线与曲线也相切，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．
6．如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，在区间（2，3）内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．[，） B．[，） C．（，） D．[7，）
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知（）展开式的二项式系数和为512，
，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的值域是[0，]
B．若，则
C．若，则方程共有5个实根
D．不等式在（，1）上有且只有3个整数解，则a的取值范围是[，）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设函数在处可导，且，则________．
13．某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为，则该圆锥的全面积为________．
14．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024·内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示：
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的线性回归方程；
（2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，，，其中．
16．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面ABCD．，，点E，G分别是PB，BC的中点，．
（1）求证：平面PAD
（2）求证：平面EFC
（3）求平面PAB与平面EFC所成二面角的正弦值．
17．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．
18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，，，．
（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值；
（3）如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点P到平面BMN距离的最大值．
19．篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和p，且每人、每次进球与否都互不影响．
（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件C表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含p的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
答案
1．【答案】D
【分析】根据向量共线的性质求得结论即可．
【详解】因为向量与共线，
所以，解得或，故选：D．
2．【答案】C
【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出．
【详解】由于X服从正态分布N（μ，），且，故其均值．
而Y服从二项分布B（9，p），故，
再由，就有，得．故选：C．
3．【答案】D
【详解】函数函数的定义域为{x|}，
设，则，
故为偶函数，其图象关于y轴对称，则B中图象错误；
又当时，，，
由，得，由，得，
故在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增，
结合选项A，C，D中图象可知只有D中图象符合题意，故选：D
4．【答案】D
【详解】由F为BE的中点，得，
又，
所以，由，
得，
即，所以．
故选：D
5．【答案】B
【分析】根据题意，求得在（1，a）处的切线为，设直线与曲线相切的切点为（，），求得，又切点（，）在曲线和切线上，代入即可求解．
【详解】对曲线，在切点（1，a）处切线的斜率，
所以切线方程为：，
对于曲线，设切点（，），则在点（，）处切线的斜率，
依题意，即，
又点切点（，）在曲线和切线上，即，所以，
故选：B．
6．【答案】B
【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解．
【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法；
使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法；
（使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色；
②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色）
使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法．
所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为．
故选：B
7．【答案】B
【分析】建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得．
【详解】∵四棱锥的底面为直角梯形，，，
底面ABCD，且，，
∴以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），
则，，
设直线AC与PB所成角为θ，则，
∴直线AC与PB所成角的余弦值为．
故选：B
8．【答案】A
【分析】由可得，令，则在（2，3）上为增函数，即在（2，3）上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可．
【详解】对任意的，，且，，
则，令，则，
由单调性的定义知在（2，3）上为增函数，．
则在（2，3）上恒成立，即，
也即在（2，3）上恒成立，
记，因为的对称轴为，所以在（2，3）上单调递减，
所以，所以，即实数a的取值范围为．故选：A
9．【答案】BD
【分析】根据已知求出n，则，令和即可判断A；先求导，再令即可判断B；根据的通项公式求出即可判断C；由通项公式判断的正负，结合计算即可判断D．
【详解】由展开式的二项式系数和为512，
可得，解得，所以．
A：在中，
令，得，令，得，
所以，故A错误；
B：，
等式两边同时求导，得，
令，得，故B正确；
C：∵，
∴，故C错误；
D：，
两式相加得，两式相减得．
又展开式的通项公式为（，），
则当r为奇数时，，，，，为负，当r为偶数时，，，，，为正，
所以
，故D正确．
故选：BD
10．【答案】CD
【详解】对于A选项，记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，，则第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率，故A错误
对于B选项，记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，依题意，，两两互斥，其和为Ω，并且，
，，
，，
，，
应用全概率公式，有，故B错误
对于C选项，依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同，则
故在第二次取到1号球的条件下，它取自编号为1的口袋的概率最大．故C正确
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确
故选：CD
11．【答案】BD
【详解】对于A，函数，，
当和（3，）时，，为减函数；
当时，，为增函数：
当时，且，而，
如下图所示：
所以值域为[0，]，选项A错；
对于B，由已知得，，
显然在（0，）上为增函数，且，，
所以使，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；，
结合对勾函数的性质，，选项B正确；
对于C，方程，
所以两根为或，
因为，所以，
明显为增函数，且，
所以在（，）单调递减，在（，）单调递增，
所以，且时，且，
而，，，，
所以函数的图象如下：
所以有1个根，有5个根，
所以方程有6个根，选项C项错误：
对于D，不等式，
当时，不等式可化为，
令，则，
当时，，在（，1）上为增函数，
则在（，1）上的3个整数解为，，0，
∴，即，解得，故选项D正确．
故选：BD．
12．答案：
【详解】．
13．答案：12π
【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
由圆锥侧面展开图为半圆可得，即，
又圆锥的体积为，即，
又，所以，所以，解得，
则，所以圆锥的全面积为．
14．【答案】
【分析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，以点D为原点建立空间直角坐标系，设球心O（a，a，a）（），利用向量法求出球心O到平面的距离进而可得出答案．
【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，
则B（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），
设球心O（a，a，a）（），
故，，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则球心O到平面的距离为，
因为球O与三个正方形面和等边三角形面相切，
所以，解得，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．
故答案为：．
15．【详解】（1）由表格可知，，
，，所以，，
则；
（2）根据数据补全表格如下：
所以，
故没有90%的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关．
16．【详解】（1）连接AC，在菱形ABCD中，由，得，
由点G为BC的中点，得，而，则，
又平面ABCD，平面ABCD，于是，又，PA，平面PAD，
所以平面PAD．
（2）法一、连接，连接FH，
在三角形PBC中，PG、CE为中线，则H为重心，即有，
而，于是，平面CEF，平面CEF，
所以平面EFC
法二、取BE的中点M，连接MG、MA，在三角形BEC中，G为BC的中点，则，
平面CEF，平面CEF，因此平面EFC，
在三角形PMA中，由，，得，
平面CEF，平面CEF，因此平面EFC，
又平面MAG，平面MAG，，
于是平面平面EFC，而平面MAG，
所以平面EFC．
（3）由（1）知，直线AG，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线AG，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（，，0），C（，1，0），P（0，0，3），E（，，），F（0，0，1），
，，设平面EFC的法向量为，
则，令，得，
，，设平面PAB法向量，
则，令，得，设平面PAB与平面EFC所成的角为θ，
则，因此，
所以平面PAB与平面EFC所成的角的正弦值为．
17．【详解】（1）当时，则，
可知的定义域为（0，），且，
令，解得；令，解得，
可知的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，），
所以函数的最小值为．
（2）由题意可知的定义域为（0，），且（），
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是（0，），无单调递增区间．
当时，令解得，
令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是（0，），单调递增区间是；
综上所述：当时，的单调递减区间是（0，），无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是（0，），单调递增区间是．
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，
令（），
则，
令，，则，
所以在区间（1，）上单调递增，
因为，，
所以在区间（1，）内存在唯一零点，
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间（1，）上单调递减，在区间（，）上单调递增；
所以，
因为，则，即，
且a为整数，则，所以整数a的最大值是4．
18．【详解】（1）
因为平面ABCD，且AB，平面ABCD，所以，，
又因为，所以，
因为PB与底面所成的角为，所以，故，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
因为，，可得B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），C（1，1，0），
所以，，，
设平面PCD的一个法向量为，可得，
取，则，，可得，
设PB与平面PCD所成的角为θ，
则，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为．
（2）根据题意，平面PBA的一个法向量，
由（1）知，平面PCD的一个法向量为，
则，
所以平面PBA与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．
（3）因为N为AD中点，所以N（0，1，0），
设，，则M（λ，λ，），
∴，，
设平面BMN的法向量为，则，
令，则，，即，
∵，
∴点P到平面BMN距离为，
当时，则，
∴，当时取等号，
则，
综上，点P到平面BMN距离的取值范围的最大值为．
19．【详解】（1）设事件表示甲在一轮比赛中投进i个球，
表示乙在一轮比赛中投进i个球，（，1，2，3），
D表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球
所以
（2）①
；
②设随机变量X表示n轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
则有，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
即在上单调递增，故的最大值为，
即的最大值为，于是，的最小值为，
因，故理论上至少要进行15轮比赛．场次编号x
1
2
3
4
5
观众人数y
0.7
0.8
1
1.2
1.3
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
50
女性观众
60
总计
100
200
P（）
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
购买A等票
购买非A等票
总计
男性观众
40
50
90
女性观众
60
50
110
总计
100
100
200