2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题01 一次函数综合题（含解析）

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（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
1．（2024•鼓楼区一模）如图，直线与相切，切点为，与轴轴分别交于、两点．与轴负半轴交于点．
（1）求的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由，即可求解；
（2）由图中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：（1）对于直线，令，
则，即，
由一次函数的表达式知，，
则，
则
连接，则，
则；
（2）过点作于点，
，则，
，
则图中阴影部分的面积．
【点评】本题考查了一次函数和圆的综合运用，涉及到圆切线的和一次函数的性质，解直角三角形，面积的计算等，综合性强，难度适中．
2．（2023•宿豫区三模）如图①，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．
（1）当时，求点的坐标；
（2）关于的函数解析式为，其图象如图②所示，结合图①、②的信息，求出与的值；
（3）在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解法一：先根据可得点，因为在直线上，所以设，利用代入可得点的坐标，在中，利用勾股定理列方程可得点的坐标；
解法二：根据可以使用与轴正半轴夹角为45度来解答；
（2）先把代入中计算得的值，计算在范围内图象上一个点的坐标值：当时，根据（1）中的数据可计算此时，可得坐标，代入中可得的值；
（3）存在，设，如图5和图6，分别根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）解法一：如图1，连接，
当时，，
设，
在中，当时，，
，
，
，
，
即，
解得：（舍，，
，；
解法二：如图，过点作轴于，过点作于，
当时，，
当时，，
则，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当时，，
设，
，
，
，；
（2）如图2可知：当时，，
把代入中得：，
解得：，
如图3，过作轴，交于，
由（1）知：当时，，，，
，
设的解析式为：，
则，
解得，
的解析式为：，
，，
，
，
把代入得：，
解得：；
（3）存在，设，
当时，如图5，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
或，
解得：（舍或，
中，，
即，
把代入得：，
解得：或3，
当时，如图5，则，
；
当时，如图6，
此时，，
综上，点的坐标为：或．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（2023•溧阳市一模）如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，点是原点，点坐标为，点坐标为，点是轴正半轴上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形．
（1）当点落在对角线上时， ；
（2）当直线经过点时，求所在的直线函数表达式；
（3）如图2，点是的中点，连接、．
①的最小值为 ；
②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）通过点在上，可以通过的三角函数和的三角函数来导出对应的边的关系，求得结果；
（2）通过直角中，得到的长度，然后通过，可以在中，得到对应的值然后求出结果；
（3）通过，可得出点的运动轨迹，是以点为圆心，4为半径长度的圆弧，从而可知，的连线上的点为最短的长度，
通过分类讨论，，，来求得对应的的坐标．
【解答】解：（1）如图1，
，
，
，
又，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）如图，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
点的坐标为，
将和代入中，
，
解得：，
所在直线的表达式为：；
（3）如图，
①，
点的运动轨迹，是以为圆心，4为半径的圆弧，
的最小值在的连线上，如图，即为所求，
是中点，，
，
，
故答案为：；
②如图，
设，，
，
当时，
，
，
，
，，
当时，如图，若点在上，
则，
，，，
，
，
，
，
，
；
若点在上方时，
由对称性可知，
，
，
；
当时，不符合题意，不成立，
故点坐标为，或或．
【点评】本题考查一次函数的图象及应用，通过一次函数坐标图象的性质，三角函数的性质，全等三角形的性质和勾股定理，来求得对应的解．
4．（2022•启东市模拟）我们知道一次函数与的图象关于轴对称，所以我们定义：函数与互为“”函数．
（1）请直接写出函数的“”函数；
（2）如果一对“”函数与的图象交于点，且与轴交于，两点，如图所示，若，且的面积是8，求这对“”函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点的坐标．
【分析】（1）根据互为“”函数的定义，直接写出函数的“”函数；
（2）现根据已知条件判断为等腰直角三角形，再根据互为“”函数的图象关于轴对称，得出，再根据函数解析式求出点、、的坐标，再根据的面积是8求出、的值，从而求出函数解析式；
（3）为等腰三角形，分以为顶点，以为顶点，以为顶点三种情况讨论即可．
【解答】（1）解：根据互为“”函数的定义，
函数的“”函数为；
（2）解：根据题意，和为一对“函数”．
，
又，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
又且，
，
、、是一次函数与的图象于坐标轴的交点，
，，，，，
，
，
，
和；
（3）解：根据等腰三角形的性质，分情况，
，
，
由（2）知，，，，，，，
①以为顶点，则，
当点在点上方时，，
当点在点下方时，，
，，，，
②以为顶点，则，
此时点在轴负半轴，
，
③以为顶点，则，
此时为坐标原点，
．
点坐标为，，，，，．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，以及新定义、等腰三角形的性质等知识，关键是理解新定义，用新定义解题．
5．（2024•新北区校级模拟）如图①，动点从矩形的顶点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时，一动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点为的中点，连接，，记的面积为，点运动的时间为，其函数图象为折线和曲线（图②，已知，，，点的坐标为．
（1）点与点的速度之比的值为 ；的值为 ；
（2）如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②求所在曲线的函数表达式；
③是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由函数图象可知时，与重合，时，与重合，时，与重合，则的速度，的速度，从而得出答案；
（2）①当时，与重合，与重合，此时，可得，，从而得出点与的速度，即可得出点的坐标，利用待定系数法可得答案；
②设所在的曲线的数解析式为 ，把，代入解析式求得，值即可求解答；
③利用待定系数法求出直线的函数解析式，当时，可得的值，根据图象可得答案．
【解答】解：（1），，，
，，
由图象可知：时，与重合，时，与重合，时，与重合，
的速度，的速度，
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
，
从到用了5秒，从到用了3秒，
，，
，
的值为，
故答案为：，；
（2）①，
，
由题知，时，与重合，与重合，
，
，，
，
，
（舍去负值），
，
，
当时，，
，此时与重合，
，
，
设直线的解析式为，
将与代入得：，
，
线段所在直线的函数表达式为；
②设所在的曲线的数解析式为，
所在的曲线的函数解析式为；
③存在，分情况讨论如下：
当在上，在上时，
直线经过点，，
可求得直线的解析式为，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，，
当在上，在上时，
直线的解析式为；
由知：当时，，
当时，，
或5，
由图象知：当，
的取值范围为或．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．
6．（2024•梁溪区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴正半轴交于点，直线交于第一象限内的点，且的面积为10．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点为轴上一点，过点作轴的平行线交线段于点，交抛物线于点，当时，求点的坐标；
（3）已知点是轴上的点，若点关于直线的对称点恰好落在二次函数的图象上，求的值．
【分析】（1）在中，令得，，根据的面积为10，即得，，用待定系数法即得二次函数的表达式为；
（2）设，则，，由，可得，即可解得；
（3）连接交直线于，过作轴于，设，可得，，即得，①，又，②，可解得，，故，，代入得，解得或．
【解答】解：（1）如图：
在中，令得，
解得或，
，，
，
的面积为10，
，即，
，
，
把代入得：
，
，
二次函数的表达式为；
（2）如图：
设，则，，
，，
，
，
解得或（舍去），
；
（3）连接交直线于，过作轴于，如图：
关于直线对称点为，
，是中点，
设，
，，
在直线上，
，
整理得：①，
，
，
变形得：②，
把①代入②得：，
，
③，
由①③可得，，
，，
在抛物线上，
，
解得或，
答：的值为5或．
【点评】本题考查一次函数、二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，对称变换等知识，解题的关键是用含的代数式表示的坐标．
7．（2023•邗江区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点点和点，过点作于点，以为边构造等边点在轴的正半轴上）．
（1）求、点的坐标，以及的长；
（2）将等边，从图1的位置沿轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为，同时点从出发，以每秒2个单位的速度沿着折线运动（如图2所示），当点到点停止，也随之停止．
① 3或6 时，直线恰好经过等边其中一条边的中点；
②当点在线段上运动，若，求的值；
③当点在线段上运动时，若的面积为，求出的值．
【分析】（1）把，分别代入，即可求出点、的坐标，求出，根据直角三角形的性质，即可得出；
（2）①当直线分别过、、的中点，分三种情况进行讨论，得出的值，并注意点运动的最长时间；
②分点在直线的下方和直线上方两种情况进行讨论，求出的值即可；
③分点在之间和点在之间两种情况进行讨论，求出的值即可．
【解答】解：（1）令，则，
点的坐标为，
令，则，
解得，
点的坐标为，
，
，
，
，
为直角三角形，
；
（2）①当直线过的中点时，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当过的中点时，
，，
直线为的垂直平分线，
为等边三角形，
此时点与点重合，
；
当直线过的中点时，运动时间为；
点从运动到停止用的时间为：，
此时不符合题意；
综上所述，当或时，直线恰好经过等边其中一条边的中点，
故答案为：3或6；
②，，，
，
，
，
，
当在直线的下方时，
，
，
解得：；
当在直线的上方时，
，
，
解得；
综上所述：的值为或；
③当时，
，，，
，
，，
，
，
，
边的高，
的面积为，
，
整理得：，
解得（舍或
当点在之间时，
，，，
，
，，
，
，
，
，
边的高，
的面积为，
，
解得（舍或（舍，
综上所述，的值为．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．
8．（2023•武进区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“非常距离”，给出如下定义：
若，则点与点的“非常距离”为；
若，则点与点的“非常距离”为．
例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线交点）．
（1）已知点，，为轴上的一个动点，
①若点与点的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点的坐标；
②直接写出点与点的“非常距离”的最小值；
（2）已知是直线上的一个动点，
①如图2，点的坐标是，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标；
②如图3，是以原点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点与点的坐标．
【分析】（1）①根据点位于轴上，可以设点的坐标为．由“非常距离”的定义可以确定，据此可以求得的值；
②设点的坐标为．因为，所以点与点的“非常距离”最小值为；
（2）①设点的坐标为，．根据材料“若，则点与点的“非常距离”为”知，、两点的“非常距离”的最小值为，据此可以求得点的坐标；
②根据“非常距离”的定义，点在过原点且与直线垂直的直线上，且与的横纵坐标差相等时，点与点的“非常距离”取最小值，据此求出与的坐标及“非常距离”的最小值．
【解答】解：（1）①为轴上的一个动点，
设点的坐标为．
，
，
解得，或；
点的坐标是或；
②点与点的“非常距离”的最小值为．
（2）①如图2，当点与点的“非常距离”取最小值时，需要根据运算定义“若，则点与点的“非常距离”为”解答，此时．即，
是直线上的一个动点，点的坐标是，
设点的坐标为，，
，
此时，，
点与点的“非常距离”的最小值为：，
此时，；
②如图3，当点在过原点且与直线垂直的直线上，且时，点与点的“非常距离”最小，
设（点位于第二象限）．则
，
解得，
故，．
设点的坐标为，，
，
解得，
则点的坐标为，，点与点的“非常距离”的最小值为1．
【点评】本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．
9．（2023•海安市一模）对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：为图形上任意一点，将，两点间距离的最小值记为，最大值记为，称与的差为点到图形的“差距离”，记作，即，已知点，
（1）求；
（2）点为直线上的一个动点，当时，点的横坐标是 或， ；
（3）点为函数图象上的任意一点，当时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）画出图形，根据点到图形的“差距离”的定义即可解决问题．
（2）如图2中，设．由此构建方程即可解决问题．
（3）如图3中，取特殊位置当时，当时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
，，
轴，
点到线段的最小距离为1，最大距离为，
．
（2）如图2中，设．
当点在轴的左侧时，由题意，
，
，
或（舍弃），
，，
当点在轴的右侧时，同法可得，，
综上所述，满足条件的点的坐标为，或，．
故答案为：，或，．
（3）如图3中，
当时，线段上任意一点，满足，
当时，线段上任意一点，满足，
观察图象可知：当或时，函数图象上的任意一点，满足．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，点到图形的“差距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考创新题型．
10．（2022•姑苏区校级模拟）平面直角坐标系中，对于任意的三个点、、，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且，，三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点，，的“三点矩形”．在点，，的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点，，的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形，矩形都是点，，的“三点矩形”，矩形是点，，的“最佳三点矩形”．
如图2，已知，，点．
（1）①若，，则点，，的“最佳三点矩形”的周长为 18 ，面积为 ；
②若，点，，的“最佳三点矩形”的面积为24，求的值；
（2）若点在直线上．
①求点，，的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时的取值范围；
②当点，，的“最佳三点矩形”为正方形时，求点的坐标；
（3）若点在抛物线上，当且仅当点，，的“最佳三点矩形”面积为12时，或，直接写出抛物线的解析式．
【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，
②利用“最佳三点矩形”的定义求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，
②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将，代入，可得分别为，5，点的坐标为或；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
【解答】解：（1）①如图，画出点，，的“最佳三点矩形”，可知矩形的周长为，
面积为；
故答案为：18，18．
②，，
，．
又，点，，的“最佳三点矩形”的面积为24．
此矩形的邻边长分别为6，4．
或5．
（2）如图，
①由图象可得，点，，的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
分别将，代入，可得分别为1，2；
结合图象可知：；
②当点，，的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将，代入，可得分别为，4；
点的坐标为或；
（3）设抛物线的解析式为，经过点，，，
，
，
，
同理抛物线经过点，，，可求得抛物线的解析式为，
抛物线的解析式或．
【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．
11．（2022•太仓市模拟）如图①，动点从矩形的顶点出发，以的速度沿折线向终点运动；同时，一动点从点出发，以的速度沿向终点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．点为的中点，连接，，记的面积为，点运动的时间为，其函数图象为折线和曲线（图②，已知，，，点的坐标为．
（1）点与点的速度之比的值为 ；的值为 ；
（2）如果．
①求线段所在直线的函数表达式；
②是否存在某个时刻，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由函数图象可知时，与重合，时，与重合，时，与重合，则的速度，的速度，从而得出答案；
（2）①当时，与重合，与重合，此时，可得，，从而得出点与的速度，即可得出点的坐标，利用待定系数法可得答案；
②利用待定系数法求出直线的函数解析式，当时，可得的值，根据图象可得答案．
【解答】解：（1），，，
，，
由图象可知：时，与重合，时，与重合，时，与重合，
的速度，的速度，
四边形是矩形，
，，
为的中点，
，
，
从到用了4秒，从到用了2秒，
，，
，
的值为2，
故答案为：；
（2）①，
，
由题知，时，与重合，与重合，
，
，
，
，
，，
，
当时，，
，此时与重合，
，
，
设直线的解析式为，
将与代入得：
，
，
线段所在直线的函数表达式为；
②存在，分情况讨论如下：
当在上，在上时，
直线经过点，，
同理求得直线的解析式为，
当时，，
，
随的增大而减小，
当时，，
当在上，在上时，
直线的解析式为，
由知：当时，，
当在上，在上时，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
或5，
由图象知：当时，，
综上，时，的取值范围为或．
【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，矩形的性质等知识，理解函数图象中每一个拐点的意义是解题的关键．
12．（2022•邗江区校级一模）在平面直角坐标系中，对于点和线段，我们定义点关于线段的线段比．
（1）已知点，．
①点关于线段的线段比 ；
②点关于线段的线段比，求的值．
（2）已知点，点，直线与坐标轴分别交于，两点，若线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①求出、、，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，分和讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①，，，
，，，
根据线段比定义点关于线段的线段比；
故答案为：；
②，，，
，，，
，，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：
，解得或（舍去），
，
当时，，即，
由关于线段的线段比可得：
，
解得（舍去）或，
，
综上所述，点关于线段的线段比，或；
（2）直线与坐标轴分别交于，两点，
，，
点，点，
，在右边2个单位，
当线段上的点到距离较小时，分两种情况：
①当、在点左侧时，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
解得：，
②当在右侧，在左侧时，过作于，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
，
而，，
，
时等腰直角三角形，
，
，即，
解得，
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，线段上的点到距离较小时，，
当线段上的点到距离较小时，也分两种情况：
①当在右侧，在左侧时，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
解得，
②当、在点右侧时，过作于，如图：
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，
，即，
，
而，，
，
时等腰直角三角形，
，
，即，
解得：，
线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，线段上的点到距离较小时，，
综上所述，线段上存在点使得这一点关于线段的线段比，则或．
【点评】本题考查一次函数应用，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．
13．（2022•泰州）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”．
（1）若，，试判断函数是否为函数、的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数与的图像相交于点．
①若，点在函数、的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
②若，函数、的“组合函数”图像经过点．是否存在大小确定的值，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图像与轴交点的位置不变？若存在，请求出的值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由，可知函数是函数、的“组合函数”；
（2）①由得，当时，，根据点在函数、的“组合函数”图象的上方，有，而，可得；
②由函数、的“组合函数” 图象经过点，知，即，而，即得，可得，令得，即，即可得时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
【解答】解：（1）函数是函数、的“组合函数”，理由如下：
，
，
函数是函数、的“组合函数”；
（2）①由得，
，
、的“组合函数”为，
时，，
点在函数、的“组合函数”图象的上方，
，
，
，
，
，
；
②存在时，对于不等于1的任意实数，都有“组合函数”图象与轴交点的位置不变，，理由如下：
由①知，，
函数、的“组合函数” 图象经过点，
，
，
，
，有，
，
令得，
变形整理得：，
当，即时，，
，
时，“组合函数”图象与轴交点的位置不变，．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．
14．（2024•钟楼区校级模拟）在同一平面内，具有一条公共边且不完全重合的两个全等三角形，我们称这两个三角形叫做“共边全等”．
（1）下列图形中两个三角形不是“共边全等”是 ③ ；
（2）如图1，在边长为6的等边三角形中，点在边上，且，点、分别在、边上，满足和为“共边全等”，求的长；
（3）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与直线、轴相交于、两点，点是的中点，、在的边上，当以、、为顶点的三角形与 “共边全等”时，请直接写出点的坐标．
【分析】（1）由于第③个图不符合共边要求，所以图③即为答案；
（2）为两个全等三角形的公共边，由于点在边上，在边上，两个三角形的位置可以如图②，在公共边异侧，构成一个轴对称图形，也可以构成一个平行四边形（将图③的两条最长边重合形成），分两类讨论，画出图形，按照图②构图，会得到一个一线三等角模型，利用相似，列出方程来解决，按照平行四边形构图，直接得到为等边三角形，计算边长即可求得；
（3）由题目要求，可以知道两个全等三角形的公共边为边，由于要构成，所以点只能在和边上，当在边上，两个三角形可以在同侧，也可以在异侧，当在异侧构图时，可以得到图3和图4，在图3中，当在同侧构图时，可以得到图6，当在边上时，只能落在上，得到图7，利用已知条件，解三角形，即可求出点坐标．
【解答】解：（1）①②均符合共边全等的特点，只有③，没有公共边，所以③不符合条件，
答案是③；
（2）①如图1，当，且是共边全等时，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，
②如图2，当，且是共边全等时，
，
，，
，
又，
，
又，
，
，
设，则，
，
解得，
，，
，
综上所述，或；
（3）联立，解得，
，
令，得，
，
，
为中点，
，
，
由题可得，点只能在边和上，
①在上时，如图3，，
，，
，
四边形为平行四边形，
为中点，
为中点，
又，
为中点，
，
②当在边上，如图4，，
，
如图5，过作于，则，，
，
，
过作于，
，
设，则，
，
，
，
，
，
③当在边上，在边上时，如图6，，
，，
过作于，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
④当在上，在上时，，如图7，
，
过，分别作得垂线，垂足分别为，，
，，
，
四边形是平行四边形，
为中点，
为中点，
，
综上所述，或或或．
【点评】此题是一道一次函数和三角形的综合题，充分利用第一问的构图是此题的突破口，当点所在的位置不确定时，要注意分类讨论，同时，利用已知数据解三角形是解决此题的基本能力要求．
15．（2023•新北区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为、．经过、、三点的圆的圆心为，过点的直线与的公共点是、，与轴交于点，与轴交于点，连接、、．已知．
（1）的直径为 ，点的坐标为 ；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度．
【分析】（1）连接，求出，可得的直径为，而为中点，知；
（2）连接，由，得，故，设，即，可解得；用待定系数法得直线所对应的函数表达式为；
（3）设，由，，可得，；分三种情况：①当时，连接，求出，，可得，故；
②当时，证明得，解得，可得；③当时，由，有，得，．
【解答】解：（1）连接，如图：
，
为的直径，
，，
，
的直径为，
为中点，
；
故答案为：，；
（2）连接，如图：
，
，
，
设，
，，
，
解得，
；
设直线所对应的函数表达式为，把，代入得：
，
解得，
直线所对应的函数表达式为；
（3）设，
，，
，
解得或，
，；
①当时，连接，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图：
，，
，
，，
，，
，，
，
，即，
；
；
③当时，如图：
，
，
，即，
，
；
综上所述，的长度为5或或10．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及圆的性质及应用，待定系数法，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用．
16．（2023•梁溪区模拟）如图，以、为顶点作等边，点在第二象限．
（1）求直线所对应的函数表达式．
（2）过点作一条直线交于点，交于点，且．
①求点的坐标与的度数；
②在轴上是否存在这样的点，使得点到的两边所在直线的距离相等？若存在，请直接写出所以符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过作于，求出，可得，，即得，，用待定系数法得直线解析式为；
（2）①过作交于，过作于，由，有，可得，证明是等边三角形，即可得，从而可求得，，用待定系数法得直线解析式为，联立即可解得，；故，，即可得；
②分两种情况：当在轴下方时，过作于，设交轴于，由到的两边所在直线的距离相等，知是的角平分线，故，从而，是等腰直角三角形，有，，，而是等腰直角三角形，即可得；当在轴上方时，过作于，延长交轴于，同理可求得．
【解答】解：（1）过作于，如图：
、，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
设直线解析式为，将，，代入得：
，
解得，
直线解析式为；
（2）①过作交于，过作于，如图：
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，，
设直线解析式为，把，，代入得：
，
解得，
直线解析式为，
联立，解得，
，；
，
，
，
，
，
；
点的坐标为，，的度数为；
②在轴上存在点，使得点到的两边所在直线的距离相等，理由如下：
当在轴下方时，过作于，设交轴于，如图：
到的两边所在直线的距离相等，
是的角平分线，
，
，
是等腰直角三角形，
点的坐标为，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
当在轴上方时，过作于，延长交轴于，如图：
到的两边所在直线的距离相等，
是的角平分线，
，
，
是等腰直角三角形，
点的坐标为，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
综上所述，的坐标为或．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形求出点的坐标．
17．（2023•海州区校级二模）问题提出：
（1）在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模型“化．例如在三角形全等与三角形的相似的学习过程中，“”字形是非常重要的基本图形．如图1，已知：，、、三点共线，，由易证；
如图2，已知：，、、三点共线，若、、，则的长为 ；
问题探究：
（2）①如图3，已知：，，、、三点共线，求证：；
②如图4，已知点，点在直线上，若，则此时点的坐标为 ；
问题拓展：
（3）如图5，正方形中，点是边上一点，，，垂足分别为、．若，四边形的面积等于10，求正方形的面积．
（4）如图6，正方形中，点、分别在、边上，，连接、，则的最小值是 ．
【分析】（1）证，按比例求出，再利用勾股定理求出的长即可；
（2）①证，则，，然后等量代换得出结论即可；
②过点作轴于点，过点作轴于点，证，设出点坐标，根据比例关系求出点坐标即可；
（3）证，得，，根据四边形的面积等于10，求出的长，再根据勾股定理求出的长，然后求正方形面积即可；
（4）设正方形的边长为，，则，利用勾股定理分别求出和的值，然后利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：；
（2）①证明：，
，
，
又，
，
，，
，
；
②过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
点在直线上，
设，
则，
解得，
，，
故答案为：，；
（3）正方形中，，，
，，，
，
，，
四边形的面积等于10，
，
即，
，
解得或（舍去），
，
正方形的面积为；
（4）设正方形的边长为，，则，
，，
，
令，则，
，
，
当时，有最大值，则有最小值，最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查一次函数，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性较强，熟练掌握一次函数，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
18．（2023•金坛区一模）在平面直角坐标系中，对于点，记线段的中点为．若点，，，按逆时针方向排列构成菱形，其中，则把菱形称为点的“菱形” ，把菱形边上所有点都称为点的“菱点”．已知点．
（1）在图1中，用直尺和圆规作出点的“菱形” ，并直接写出点的坐标（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点是点的“菱点”，求的值；
（3）若一次函数的图象上存在点的“菱点”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）分别以，，为圆心，2为半径作圆，即可确定，的位置，作出点的“菱形” ，求出到轴，轴的距离，结合可得点的坐标是，；
（2）分两种情况：当点在边上时，过点作轴，垂足为，由，可得是等腰直角三角形，即得；当点在边上时，过点作轴，垂足为，可得，故；（3）设直线与轴交于，与轴交于，过作于，可得，①当最大时，与重合，此时，由，可求出最大为；②当直线在下方时，有，即可得，从而得到答案．
【解答】解：（1）作出点的“菱形” ，如图：
，且，，
点的坐标是，；
（2）当点在边上时，过点作轴，垂足为，如图：
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，即；
当点在边上时，过点作轴，垂足为，如图：
则，
，
，
，即；
综上所述，的值是或；
（3）设直线与轴交于，与轴交于，过作于，如图：
在中，令得，令得，
，
，
①当最大时，与重合，此时，
，
，
，即最大为；
②当直线在下方时，如图：
，
，即，
，
，
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，锐角三角函数等知识，解题的关键是画出图形，应用数形结合思想解决问题．
19．（2022•吴中区模拟）探究与应用：在学习几何时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，字形是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①
（1）请就图①证明上述“模块”的合理性．已知：，求证：；
（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题：
①如图②，已知点，点在直线上运动，若，求此时点的坐标；
②如图③，过点作轴与轴的平行线，交直线于点、，求点关于直线的对称点的坐标．
【分析】（1）根据余角的性质就可以求出，再由，就可以得出结论；
（2）①作轴于点，轴于点，可以得出，可以得出，设点的坐标为，建立方程求出其解就可以得出结论；
②过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，设，先可以求出、的坐标，进而可以求出，，，，，．再由条件可以求出，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】（1）证明：，
．
，
，
．
，
；
（2）解：①作轴于点，轴于点
，
．
，
，．
点在直线上，
设点的坐标为，
，，
，
，
，
，；
②过点作的延长线于点，过点作的延长线于点，
，
点的纵坐标为1，点的横坐标为，
，，
，，
，，
，．
设，
，，，，
由对称可知：，
，
，
，
，
解得：
，．
【点评】本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，方程组的运用，解答时灵活运用相似三角形的性质是关键．
20．（2022•雨花台区校级模拟）阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接，，，求最小值．
【思考交流】小明：如图2，先将点向右平移2个单位长度到点，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，将点向左平移2个单位长度得到点，连接．．此时的最小值等于．
小颖：如图3，先将点向右平移2个单位长度到点，作点关于轴的对称点，连接可以求解．
小亮：对称和平移还可以有不同的组合．
【尝试解决】在图2中，的最小值是 7 ．
【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系中，已知点，，，，连接，，，则的最小值是 ，此时 ，并请在图5中用直尺和圆规作出最小时的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系中，已知点，是一次函数图象上一点，与轴垂直且（点在点右侧），连接，，，直接写出的最小值是 ，此时点的坐标是 ．
【分析】【尝试解决】根据作图痕迹分析出，小明的做法是先将点向右平移2个单位长度，再利用对称的性质，两点之间线段最短得到点的位置，进而得到点的位置．
【灵活应用】借助小明的思路，的长度一定，利用平移和对称，转化求其最小值．
【拓展提升】按照前面的思路的长度一定，利用平移，找到两个固定点与在一条直线上运动的点，利用对称求最小值．
【解答】解：【尝试解决】由题意得，，
则，
故，
故答案为：7．
【灵活应用】先将点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点就是点，以点为圆心，的长为半径画圆，与直线的交点就是点，连接，，，此时最小，最小值即为，
作图如下：
由作图得，，且，
四边形是平行四边形，且，，，，
最小值为，此时为点的横坐标2，
故答案为：；2；
【拓展提升】
先将点向右平移2个单位长度得到点，得到平行四边形，，而中，为定值2，即求的最小值，由题意得：点在直线上，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，交直线的交点为点，点往左平移2个单位为点．如图：
与直线垂直，
设直线解析式为，将代入得：，
直线解析式为，
解得，
，
是中点，设，
，解得，
设所在直线的解析式为，将、代入得：
得，解得，
，
点是直线与直线的交点，
解得，
，，
点是将点向左平移2个单位长度，
，，
此时，
故答案为；．
【点评】本题考查平移和对称中的最短路径问题，结合一次函数待定系数法，还涉及关于直线对称点的求法，综合性较强，对学生的作图能力和计算能力要求较高，属于压轴题．
21．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点是函数的图象的“好点”．
（1）在函数①，②，③的图象上，存在“好点”的函数是 ③ （填序号）．
（2）设函数与的图象的“好点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值；
（3）若将函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求的值．
【分析】（1）判断与各个函数图象是否有公共点即可；
（2）先得出的“好点”，从而得出的长，在上的点，使得，从而求得点坐标，将点坐标代入求得的值；
（3）折叠前的抛物线上有两个“好点”，所以折叠后的抛物线上有一个“好点”即可，即与折叠后抛物线只有一个公共点，从而求得折叠后的抛物线解析式，进一步求得结果．
【解答】解：（1），
，
①不是“好点”的函数，
，，
，
②不是“好点”的函数，
，
，
△，
方程组有解，
③是“好点”的函数，
故答案为：③；
（2），，
，
，
如图，
当为等腰三角形时，或，
当时，
，
，
，
，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
当时，点，
，
，
综上所述：或或；
（3）设翻折后的抛物线解析式为，
的图象上有两个“好点”： 和，
当上有一个“好点”时，
把代入得，
，
化简整理得，
，
△，
，
，
由得，
，
，
．
当在上时，
此时，
或，
这时也有三个“好点”： ，，，
或0．
【点评】本题考查了结合一次函数，反比例函数及二次函数知识，考查了对“好点”的理解，等腰三角形知识，坐标系中线段的长，两个图象的交点与方程组之间的关系等知识，解决问题的关键是根据题意，转化为学过的知识．
22．（2022•宜兴市校级一模）如图（1），在平面直角坐标系中，四边形的顶点是坐标原点，点坐标，点在轴上，点在第二象限角平分线上，动点、同时从点出发，点以的速度沿匀速运动到终点；点沿运动到终点，点在线段、、上分别做匀速运动，速度分别为、、．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的部分函数关系如图（2）中的曲线段、曲线段和线段所示．
（1） ， ；
（2）求曲线段的解析式；
（3）补全函数图象（请标注必要的数据）；
（4）当点、在运动过程中是否存在这样的，使得直线把四边形的面积分成两部分，若存在直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）观察图象可知，时，点运动到点位置，时，点运动到点位置．如图1中，作轴于，于．利用图中信息，求出点、坐标即可解决问题．
（2）如图1中，当点在线段上时，作于，交于．由，可得，推出，可得，，可得．
（3）利用描点法即可解决问题；
（4）分两种情形构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）观察图象可知，时，点运动到点位置，时，点运动到点位置．
如图1中，作轴于，于．
由题意，
，
，
，，
，
在中，，
，
故答案为，．
（2）如图1中，当点在线段上时，作于，交于．
，
，
，
，，
．
（3）时，，
点奥的结论，
，
当时，，
函数图象如图所示：
（4）如图3中，由题意满足条件的点在线段上，点在线段上．
四边形的面积为48，
当四边形的面积或26时，满足条件，
则有：或，
解得或4（负根已经舍弃）．
或时，直线把四边形的面积分成两部分．
【点评】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．