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2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题03 二次函数的图象与性质大题（五大题型）（含解析）
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这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题03 二次函数的图象与性质大题（五大题型）（含解析），共52页。试卷主要包含了已知二次函数，已知二次函数为常数，等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
题型一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
题型二．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
题型三．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
题型四．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
题型五．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
题型一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若抛物线经过点，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围；
（3）若对于，，存在，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴进行计算，得，再把代入，即可作答．
（2）因为，，，是抛物线上的点，所以把，分别代入，得出对应的，，再根据联立式子化简，计算即可作答；
（3）根据，，存在，得出当或者，即可作答．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
，
即，
抛物线，
把代入，
得，
解得；
（2）由（1）知抛物线，
，，，是抛物线上任意两点，
，，
对于，，都有，
，
解得或；
（3），，，是抛物线上任意两点，
对于，，存在，且
关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
综上，满足的取值范围为且．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数．
（1）若它的图象经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，的最小值为1，求出的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，，，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）把代入解析式求出，再根据对称轴公式求出对称轴；
（2）根据抛物线开口向下，以及时，由函数的性质可知，当时，的最小值为1，然后求即可；
（3），两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出，再令，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出．
【解答】解：（1）将代入二次函数，得，
解得，
对称轴直线为；
（2）当时，，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，有最大值，
时，的最小值为1，
当时，，
解得；
（3）是定值，理由：
，两点都在这个二次函数的图象上，
，
，
令，
整理得：，
直线与该二次函数交于，，，两点，
，是方程的两个根，
是定值．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质．
3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当时，点的坐标为，将其代入函数解析式中解得，则函数解析式为抛物线的解析式为，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令，求出抛物线与轴交于和，由题意可得，则点在轴的下方，以此即可解答；
（2）将点坐标代入函数解析式，通过可得的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）①当时，点的坐标为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线；
②令，则，
解得：，，
抛物线与轴交于和，
点，，且，
点在轴的下方，
或．
（2），理由如下：
将代入得，
，
，
，
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
且，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）
4．（2023•南京）已知二次函数为常数，．
（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）若，求证：当时，．
（3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，则的取值范围是 或 ．
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）将代入函数解析式，进行证明即可．
（3）对和进行分类讨论即可．
【解答】证明：（1）因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下．
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以．
（3）因为抛物线的对称轴为直线，且过定点，
又因为该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，
所以当时，
，
解得，
故．
当时，
，
解得，
故．
综上所述，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求抛物线的顶点；
（2）若，求的取值范围；
（3）若点，在抛物线上，若存在，使成立，求的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；
（2）由，得到，解不等式即可；
（3）由题意可知或，解不等式组即可．
【解答】解：（1）抛物线．
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（2）点，在抛物线上，且，
，
；
（3）点，在抛物线上，存在，使成立，
或，
解得．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点，，为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【分析】（1）将点代入抛物线中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；
（2）分类讨论当和，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出的取值范围．
【解答】解（1）抛物线经过点，
把代入得，
，
，
抛物线的对称轴，
答：抛物线的对称轴为：；
（2）①当时，抛物线开口方向向上，对称轴，在轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小，
当时，
，，在抛物线上，
，
此时与题干相矛盾，故舍去，
当时，
，，在抛物线上，
，
此时与题干相矛盾，故舍去；
②当时，抛物线开口方向向下，对称轴，在轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大，
当时，点、分别在对称轴同侧时，
，，在抛物线上，
，
，
此时，即，
，
当时，点、分别在对称轴两侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
当时，且点、分别在对称轴两侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
当时，且点、分别在对称轴同侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
答：的取值范围为．
【点评】本题考查的重点是二次函数的性质和图象的增减性，正确运用属性结合思想是本题做题的关键．
7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标；
（2）已知点，．
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围．
【分析】（1）将，，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）①待定系数法进行求解即可；
②将代入解析式，得到抛物线必过点，求出和的函数值，根据抛物线与线段有公共点，列出不等式进行求解即可．
【解答】解：（1），
解：当，时，，
顶点的坐标为：；
当时，，即，
解得：，，
，；
（2）①抛物线恰好经过，两点，
则：，
解得：；
②当时，，
当时，，
抛物线过，
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，抛物线与线段有公共点，
即：，
解得：；
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，抛物线与线段有公共点，
即：，；
综上：或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2024•浙江模拟）设二次函数，均为常数，，已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）判断，的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，这三个数中，只有一个数是负数，求的取值范围．
【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，据此可解决问题．
（2）根据（1）中发现的关系，可求出的值，据此即可解决问题．
（3）根据和相等，所以三个数中的负数只能为，据此可解决问题．
【解答】解：（1）．
因为二次函数的解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，
又因为，
所以点与关于抛物线的对称轴对称，
故．
（2）因为，，
所以．
将和代入函数解析式得，
，
解得
所以二次函数的解析式为．
将代入函数解析式得，
．
（3）由（1）知，，
所以，，中只能为负数．
将代入函数解析式得，
，
所以二次函数解析式为．
将代入函数解析式得，
．
将代入函数解析式得，
．
则，
解得，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
（1）若，求抛物线的对称轴；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；
（2）利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，，，
该抛物线的对称轴为：直线，即直线；
（2）当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过和两点．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
【分析】（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出对称轴为：直线，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；
（3）分时，时，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）把和代入，
得：，
解得：；
（2）抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴为：直线，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
，即；
（3）①当时，，，即，
解得：，抛物线不经过点，
如图①，抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知：；
②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则，
解得：，，
当时，，
此时，定点横坐标满足，符合题意；
当时，如图②，抛物线与线段只有一个交点，
如图③，
当时，，
此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时，把代入，得：
，
解得：，
当时，如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点，
结合图象可知：时，抛物线与线段有一个交点，
综上所述：的取值范围为：或或．
【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．
11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据确定的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，为抛物线上的对称点，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）过，，
，，
，
对称轴为直线，
①当时，
时，随的增大而增大，
，
解得，
；
②当时，
时，随的增大而增大，
，
解得，
，
综上：的取值范围是 或；
（3）点在抛物线上，
，
点，在抛物线上，
对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，的取值范围为或．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
12．（2024•保山一模）如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求的值．
【分析】（1）将，，三点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）用表示出和，建立关于的方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将，，三点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）将代入抛物线得表达式得，
，
所以点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
所以直线的函数解析式为．
因为，且抛物线的对称轴为直线，
所以．
又因为点坐标为，
所以．
因为，
所以，
解得，
又因为，
所以．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于点，．当时，求点的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出，两点坐标，再将，两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．
（2）根据得到与的关系，建立方程即可解决问题．
【解答】解：（1）令得，，
所以点的坐标为；
令得，，
所以点的坐标为；
将，两点坐标代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）因为轴，轴，
所以，
则．
因为，，
所以．
令点坐标为，
则点坐标为，
所以，
则，
解得或3．
当时，；
当时，；
所以点的坐标为或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数的图象经过点，．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当抛物线上、两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求的值；
（4）点在抛物线上，其横坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，分别连结，，，当与的面积相等时，直接写出的值．
【分析】（1）依据题意，将、两点代入解析式求出，即可得解；
（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由可以判断得解；
（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；
（4）分别写出、、、的坐标，与的面积相等，所以到的距离等于到的距离，可得的值．
【解答】解：（1）由题意，将，代入解析式得，
，，
，，
抛物线的解析式为；
（2）由题意，抛物线，
抛物线开口向上，当时，有最小值为，
当时，；当时，，
当时，；
（3）由题意得，，，
①当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，
②当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为或，
显然最小值是时不合题意，
最小值为，
，
解得：或，
时，、两点之间部分的最小值为，故舍去，
③当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，
，故舍去，
综上，满足题意得的值为：或；
（4）由题意得，，，，
设，代入、两点，
，
解得：，，
，
与的面积相等，
到的距离与到的距离相等，
到的距离，
到的距离，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，满足题意得的值为：或．
【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．
题型四．抛物线与x轴的交点（共14小题）
15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2）不论为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ，， ．
（3）在的范围中，的最大值是2，直接写出的值．
【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；
（2）当时，，当时，，即可得到定点坐标；
（3）利用抛物线过两个定点，得到函数随增大而增大，代入解析式求出值即可．
【解答】解：（1）①当时，函数解析式为，此一次函数与轴有交点；
②当时，函数解析式为，令，则有，
△．
不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2），
当时，，
当时，，
不论为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．
故答案为：，，
（3）若，函数，随增大而增大，当时，，与题干条件符；
当时，函数是二次函数，
①当时，抛物线过，两点，当的范围中时，随的增大而增大，
当时，，
即，解得（舍去）．
②当时，抛物线过，两点，其增减性依旧是随的增大而增大和①相同．
综上分析，．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点和点坐标，再根据解析求解即可．
【解答】解：（1）将，代入得，
解得，
二次函数的解析式为：；
（2）将配方得顶点式，
顶点，
在中，当时，
解得或，
，
，
．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，交抛物线于点，（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
（3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；
（2）求出直线与抛物线的交点，坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，，则点，求出，由三角形的面积公式求出关于的函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）分和两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）抛物线与抛物线的形状相同，
，
抛物线与轴交于点和，
抛物线的解析式为；
（2）当时，联立方程组，
解得或，
，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，如图，
设点坐标为，，
点，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
面积的最大值为；
（3）令，则，
点坐标为，
令，则，
解得，
点坐标为，，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
18．（2024•西湖区校级模拟）已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
【分析】（1）把，的值代入配方找顶点即可解题；
（2）分别令，，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；
（3）现根据题意得到，且，然后得到，借助图象求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）当，时，，
顶点坐标为；
（2）3个，理由为：
令，则，
即，
解得：，，
令，则，
即，
解得：，，
又且，
两条抛物线与轴的交点总个数为3个；
（3）抛物线上的任意一点均有，
，且，
整理得：，
的开口向上，且抛物线与轴交点的横坐标为，，
如图所示，借助图象可知当或时，．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
19．（2024•三元区一模）抛物线与轴相交于点，，与轴正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点，，，是抛物线上不同的两点．
①当，满足什么数量关系时，；
②若，求的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①若，则、关于抛物线对称轴对称，即可求解；
②，而，得到的函数表达式，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若，则、关于抛物线对称轴对称，
即，
即，
当时，；
②，
，
，
即的最小值为．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的基本性质是解答本题的关键．
20．（2024•黄山一模）已知抛物线与轴交于，两点，经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点是轴上位于点与点之间的一个动点（含点与点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于点、点．求线段的最大值．
【分析】（1）设出抛物线解析式的交点式，再把点坐标代入解析式求出即可；
（2）先根据（1）中解析式求出点坐标，再用待定系数法求直线解析式，再设设，，则，，得出，由的取值范围和二次函数的性质求的最大值．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
可设抛物线的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设，，
则，，
，
当时，，
当时，有最大值2；
当时，，
当时，有最大值．
综上所述，的最大值为．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，函数的最值等知识，关键是求出函数解析式．
21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，点是抛物线上轴左侧的一个动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据轴对称的性质可知，，建立方程求出点坐标即可．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，，
，，
，
解得，
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解答本题的关键．
22．（2024•江西模拟）已知关于的二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
【分析】（1）当时，，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式，得出顶点坐标为，设，可得，将其代入，得出关于的函数表达式，即可解答．
【解答】（1）证明：当时，．
△，
该方程总有两个不相等的实数根，
无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点．
（2）解：，，，
二次函数的顶点坐标为，
设，可得，将其代入，
整理后得．
顶点的运动轨迹为二次函数的图象，且该图象开口向下，
故当时，取得最大值，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及顶点坐标公式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质．
23．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）若该抛物线过点；
①求该抛物线的表达式，并求出此时，两点的坐标；
②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为，点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长；
（2）点关于的对称轴的对称点的坐标为 （用含的代数式表示）．
【分析】（1）①将代入，求出的值即可确定函数解析式；
②根据平移的性质可得向上平移2个单位长度后为，即可得出结果；
（2）先求点坐标，再求抛物线的对称轴为直线，则点关于对称轴的对称点为．
【解答】解：（1）①将点坐标代入，则，
则，
抛物线与轴交于，两点，
将代入，即，
解得，；
，；
②向上平移2个单位长度后为，
平移后顶点坐标为，线段的长为2；
（2）当时，，
，
抛物线与轴交于点，
，
抛物线对称轴为直线，
，
点关于的对称轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
24．（2024•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点、分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接交轴于点，连接、，设的面积为，且，求点的坐标．
【分析】（1）把，代入，用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，点坐标为，然后用待定系数法求直线的解析式，从而求出点坐标，再根据三角形的面积公式以及，求出点的横坐标，然后再代入二次函数解析式，从而得出结论．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把，坐标代入得：，
解得，
直线与轴的交点的坐标为
，
，
的面积为，
，
，
解得，
把代入得，
点坐标为，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式．
25．（2024•宜昌模拟）如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数为常数）的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【分析】（1）令，则，可求，当，则，可求，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由题意知，的图象与直线平行，如图，结合图象求解作答即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得，或，
，
当，则，即，
设一次函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
（2）由题意知，的图象与直线平行，
如图，
当时，对于的每一个值，，
由图可知：．
【点评】本题考查了二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．
26．（2024•昆山市模拟）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若抛物线关于原点对称的抛物线为，求抛物线的表达式；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）根据抛物线与抛物线为关于原点对称，求出抛物线的表达式即可；
（3）设点坐标为，根据，列出关于的方程，解方程求出即可．
【解答】解：（1）将点，代入，
则，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）抛物线与关于原点对称，
抛物线的解析式为；
（3）存在，理由：
，，，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得或，
，或，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
27．（2024•安徽模拟）已知抛物线，是常数）与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上的一点．
（1）求，的值；
（2）如图1，点是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点的横坐标大1，分别过点和点作轴，轴，与分别与交于点，，连接，，求的值；
（3）如图2，连接与交于点，连接，，当时，求点的坐标．
【分析】（1）把点和点代入，解方程组即可；
（2）根据（1）中解析式求出点坐标，然后用待定系数法求出直线解析式，再设点坐标为，根据已知得出点，，的坐标，然后由三角形的面积公式求出面积即可；
（3）先求出三角形和三角形的面积，再根据，求出的值，从而求出点坐标，再用待定系数法求职直线的解析式，然后联立直线和所组成的方程组，解方程组求出点坐标．
【解答】解：（1）把点和点代入得：
，
解得，
，的值分别为和3；
（2）由（1）可知抛物线的表达式为，
当时，，
点，
设直线的表达式为，
把点，点代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
点是上方抛物线上的一点，
设点坐标为，
点是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点的横坐标大1，轴，轴，
点，点，，点，
点到的距离为，点到的距离为，
，
，
；
（3）点，
，
，
，
由（2）知，点坐标为，
，
，
解得，
此时点坐标为，
设直线的表达式为，
把点，坐标代入得：，
解得，
直线的表达式为，
由（2）知直线的表达式为，
联立直线，表达式，得，
解得，
当时，，
点的坐标为，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积等知识，关键是用待定系数法求出函数解析式利用函数的性质解答．
28．（2024•西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，点，的对应点分别为，．抛物线的顶点为，则在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积等于△的面积．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，代入解析式，解方程组即可；
（2）先根据抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，得出，的坐标和抛物线的解析式，然后根据三角形的面积公式求出的坐标．
【解答】解：（1）把，代入，
得．
解得，
抛物线的解析式的解析式为；
（2）存在，
抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，
，，
，，
抛物线为的解析式为，
，
△的面积，
的面积等于△的面积，
，
，
点在轴下方，
，
把代入得，，
解得，
的坐标为，或，．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，关键是根据图象的几何变换求出抛物线的解析式．
题型五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②分情况讨论，当时，当时，当时，分别得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
，
的顶点坐标为；
（2）①设点的横坐标为，
过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式为：，
当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当时，，
且当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
Ⅱ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
，
解得（舍；
Ⅲ、当时，，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
30．（2023•大庆）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）构造直角三角形，把放在直角三角形中，用表示的值并化简；
（3）二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过，，三个点，
，
，
二次函数的表达式为：．
（2）过作，垂足为，
点的横坐标为，点的横坐标为，
，
二次函数的对称轴为直线，
点，关于直线对称，
到的距离是，
，
，
，，
，
在中，．
（3）线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为，则，，
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小．若线段与二次函数的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当时，开口向上，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，把代入得，
．
②当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，代入得．
③当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入得，
．
综上，的取值范围是：或或．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第（3）问，关键是研究二次函数的性质，找到分类标准．
31．（2024•历下区一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，且顶点在直线上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点时，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点，满足．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线为抛物线的换系抛物线，点，点在抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【分析】（1）先求出，，再根据条件运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线交轴于点，过点作于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，再证得，可得，即，可求得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标；
（3）根据抛物线的顶点在直线上且过点，设顶点坐标为，则抛物线表达式可设为，进而得出抛物线的表达式为，对称轴为直线，再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）在中，当时，；当时，；
，，
抛物线的顶点为点，
设抛物线的解析式为，把代入，得，
解得：，
，
抛物线的表达式为；
（2）存在点，满足．
理由如下：设直线交轴于点，如图，过点作于点，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，，
在中，，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得：（舍去）或，
直线的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点的坐标为，；
（3）抛物线的顶点在直线上且过点，设顶点坐标为，则抛物线表达式可设为，
将代入得，
解得：或，
若，则抛物线表达式为，则抛物线的二次项系数为0，不符合题意；
若，代入，可得，
抛物线的表达式为，对称轴为直线，
抛物线开口向上，所以距离对称轴越近值越小，
对于，都有，
当点，点都在抛物线对称轴右侧时，
，此不等式组无解；
当点，点分别在抛物线对称轴两侧时，
，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，角平分线性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
0
2
5
3
0
1
2
3
4
0
0
5
通用的解题思路：
题型一．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
题型二．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
题型三．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
题型四．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
题型五．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
题型一．二次函数的性质（共3小题）
1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．
（1）若抛物线经过点，求的值；
（2）若对于，，都有，求的取值范围；
（3）若对于，，存在，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴进行计算，得，再把代入，即可作答．
（2）因为，，，是抛物线上的点，所以把，分别代入，得出对应的，，再根据联立式子化简，计算即可作答；
（3）根据，，存在，得出当或者，即可作答．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
，
即，
抛物线，
把代入，
得，
解得；
（2）由（1）知抛物线，
，，，是抛物线上任意两点，
，，
对于，，都有，
，
解得或；
（3），，，是抛物线上任意两点，
对于，，存在，且
关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
当时，存在，
解得，
综上，满足的取值范围为且．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键．
2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数．
（1）若它的图象经过点，求该函数的对称轴．
（2）若时，的最小值为1，求出的值．
（3）如果，两点都在这个二次函数的图象上，直线与该二次函数交于，，，两点，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）把代入解析式求出，再根据对称轴公式求出对称轴；
（2）根据抛物线开口向下，以及时，由函数的性质可知，当时，的最小值为1，然后求即可；
（3），两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出，再令，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出．
【解答】解：（1）将代入二次函数，得，
解得，
对称轴直线为；
（2）当时，，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，有最大值，
时，的最小值为1，
当时，，
解得；
（3）是定值，理由：
，两点都在这个二次函数的图象上，
，
，
令，
整理得：，
直线与该二次函数交于，，，两点，
，是方程的两个根，
是定值．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质．
3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当时，点的坐标为，将其代入函数解析式中解得，则函数解析式为抛物线的解析式为，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令，求出抛物线与轴交于和，由题意可得，则点在轴的下方，以此即可解答；
（2）将点坐标代入函数解析式，通过可得的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）①当时，点的坐标为，
抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线；
②令，则，
解得：，，
抛物线与轴交于和，
点，，且，
点在轴的下方，
或．
（2），理由如下：
将代入得，
，
，
，
抛物线开口向下，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
且，
，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）
4．（2023•南京）已知二次函数为常数，．
（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）若，求证：当时，．
（3）若该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，则的取值范围是 或 ．
【分析】（1）证明即可解决问题．
（2）将代入函数解析式，进行证明即可．
（3）对和进行分类讨论即可．
【解答】证明：（1）因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下．
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以．
（3）因为抛物线的对称轴为直线，且过定点，
又因为该函数的图象与轴有两个公共点，，，，且，
所以当时，
，
解得，
故．
当时，
，
解得，
故．
综上所述，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）求抛物线的顶点；
（2）若，求的取值范围；
（3）若点，在抛物线上，若存在，使成立，求的取值范围．
【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案；
（2）由，得到，解不等式即可；
（3）由题意可知或，解不等式组即可．
【解答】解：（1）抛物线．
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：；
（2）点，在抛物线上，且，
，
；
（3）点，在抛物线上，存在，使成立，
或，
解得．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．
（1）求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）；
（2）点，，为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围．
【分析】（1）将点代入抛物线中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；
（2）分类讨论当和，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出的取值范围．
【解答】解（1）抛物线经过点，
把代入得，
，
，
抛物线的对称轴，
答：抛物线的对称轴为：；
（2）①当时，抛物线开口方向向上，对称轴，在轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小，
当时，
，，在抛物线上，
，
此时与题干相矛盾，故舍去，
当时，
，，在抛物线上，
，
此时与题干相矛盾，故舍去；
②当时，抛物线开口方向向下，对称轴，在轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大，
当时，点、分别在对称轴同侧时，
，，在抛物线上，
，
，
此时，即，
，
当时，点、分别在对称轴两侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
当时，且点、分别在对称轴两侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
当时，且点、分别在对称轴同侧时，
，，在抛物线上，
，
与题干相矛盾，故舍去，
答：的取值范围为．
【点评】本题考查的重点是二次函数的性质和图象的增减性，正确运用属性结合思想是本题做题的关键．
7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的，的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．
（1）若输入，，得到如图①所示的图象，求顶点的坐标及抛物线与轴的交点，的坐标；
（2）已知点，．
①若输入，的值后，得到如图②的图象恰好经过，两点，求出，的值；
②淇淇输入，嘉嘉输入，若得到二次函数的图象与线段有公共点，求淇淇输入的取值范围．
【分析】（1）将，，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）①待定系数法进行求解即可；
②将代入解析式，得到抛物线必过点，求出和的函数值，根据抛物线与线段有公共点，列出不等式进行求解即可．
【解答】解：（1），
解：当，时，，
顶点的坐标为：；
当时，，即，
解得：，，
，；
（2）①抛物线恰好经过，两点，
则：，
解得：；
②当时，，
当时，，
抛物线过，
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，抛物线与线段有公共点，
即：，
解得：；
当时，，
当点在点上方，或与点重合时，抛物线与线段有公共点，
即：，；
综上：或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．（2024•浙江模拟）设二次函数，均为常数，，已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
（1）判断，的大小关系，并说明理由；
（2）若，求的值；
（3）若在，，这三个数中，只有一个数是负数，求的取值范围．
【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线，据此可解决问题．
（2）根据（1）中发现的关系，可求出的值，据此即可解决问题．
（3）根据和相等，所以三个数中的负数只能为，据此可解决问题．
【解答】解：（1）．
因为二次函数的解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，
又因为，
所以点与关于抛物线的对称轴对称，
故．
（2）因为，，
所以．
将和代入函数解析式得，
，
解得
所以二次函数的解析式为．
将代入函数解析式得，
．
（3）由（1）知，，
所以，，中只能为负数．
将代入函数解析式得，
，
所以二次函数解析式为．
将代入函数解析式得，
．
将代入函数解析式得，
．
则，
解得，
所以的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
（1）若，求抛物线的对称轴；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；
（2）利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，，，
该抛物线的对称轴为：直线，即直线；
（2）当时，可知点，，从左至右分布，
，
，
解得；
当时，
，
，不合题意，
综上，的取值范围是．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线，，为常数，且经过和两点．
（1）求和的值（用含的代数式表示）；
（2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围；
（3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围．
【分析】（1）把和代入，即可求解；
（2）先求出对称轴为：直线，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解；
（3）分时，时，结合图象即可求解．
【解答】解：（1）把和代入，
得：，
解得：；
（2）抛物线经过，两点，
抛物线的对称轴为：直线，
抛物线开口向下，
当时，随的增大而减小，
，即；
（3）①当时，，，即，
解得：，抛物线不经过点，
如图①，抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知：；
②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则，
解得：，，
当时，，
此时，定点横坐标满足，符合题意；
当时，如图②，抛物线与线段只有一个交点，
如图③，
当时，，
此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时，把代入，得：
，
解得：，
当时，如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点，
结合图象可知：时，抛物线与线段有一个交点，
综上所述：的取值范围为：或或．
【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．
11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线的对称轴；
（2）若抛物线经过点，当自变量的值满足时，随的增大而增大，求的取值范围；
（3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；
（2）把，代入抛物线解析式得出，的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出的取值范围；
（3）先画出函数图象，再根据确定的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，为抛物线上的对称点，
，
抛物线的对称轴为直线；
（2）过，，
，，
，
对称轴为直线，
①当时，
时，随的增大而增大，
，
解得，
；
②当时，
时，随的增大而增大，
，
解得，
，
综上：的取值范围是 或；
（3）点在抛物线上，
，
点，在抛物线上，
对称轴为直线，
①如图所示：
，
且，
；
②如图所示：
，
，
，
综上所述，的取值范围为或．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．
题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）
12．（2024•保山一模）如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
（1）试求抛物线的表达式；
（2）过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求的值．
【分析】（1）将，，三点坐标代入函数解析式即可解决问题．
（2）用表示出和，建立关于的方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
将，，三点坐标代入函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的表达式为．
（2）将代入抛物线得表达式得，
，
所以点的坐标为．
令直线的函数解析式为，
则，
解得，
所以直线的函数解析式为．
因为，且抛物线的对称轴为直线，
所以．
又因为点坐标为，
所以．
因为，
所以，
解得，
又因为，
所以．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一点，过点分别作轴，轴的平行线，交直线于点，．当时，求点的坐标．
【分析】（1）根据一次函数解析式求出，两点坐标，再将，两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．
（2）根据得到与的关系，建立方程即可解决问题．
【解答】解：（1）令得，，
所以点的坐标为；
令得，，
所以点的坐标为；
将，两点坐标代入二次函数解析式得，
，
解得，
所以抛物线的函数表达式为．
（2）因为轴，轴，
所以，
则．
因为，，
所以．
令点坐标为，
则点坐标为，
所以，
则，
解得或3．
当时，；
当时，；
所以点的坐标为或．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数的图象经过点，．点在抛物线上，其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）当抛物线上、两点之间部分的最大值与最小值的差为时，求的值；
（4）点在抛物线上，其横坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，分别连结，，，当与的面积相等时，直接写出的值．
【分析】（1）依据题意，将、两点代入解析式求出，即可得解；
（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由可以判断得解；
（3）依据题意，分类讨论计算可以得解；
（4）分别写出、、、的坐标，与的面积相等，所以到的距离等于到的距离，可得的值．
【解答】解：（1）由题意，将，代入解析式得，
，，
，，
抛物线的解析式为；
（2）由题意，抛物线，
抛物线开口向上，当时，有最小值为，
当时，；当时，，
当时，；
（3）由题意得，，，
①当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，
②当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为或，
显然最小值是时不合题意，
最小值为，
，
解得：或，
时，、两点之间部分的最小值为，故舍去，
③当时，、两点之间部分的最大值为，最小值为，
，
解得：，
，故舍去，
综上，满足题意得的值为：或；
（4）由题意得，，，，
设，代入、两点，
，
解得：，，
，
与的面积相等，
到的距离与到的距离相等，
到的距离，
到的距离，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
综上，满足题意得的值为：或．
【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论．
题型四．抛物线与x轴的交点（共14小题）
15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2）不论为何值，该函数的图象经过的定点坐标是 ，， ．
（3）在的范围中，的最大值是2，直接写出的值．
【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；
（2）当时，，当时，，即可得到定点坐标；
（3）利用抛物线过两个定点，得到函数随增大而增大，代入解析式求出值即可．
【解答】解：（1）①当时，函数解析式为，此一次函数与轴有交点；
②当时，函数解析式为，令，则有，
△．
不论为何值，该函数的图象与轴总有公共点．
（2），
当时，，
当时，，
不论为何值，该函数的图象经过的定点坐标是．
故答案为：，，
（3）若，函数，随增大而增大，当时，，与题干条件符；
当时，函数是二次函数，
①当时，抛物线过，两点，当的范围中时，随的增大而增大，
当时，，
即，解得（舍去）．
②当时，抛物线过，两点，其增减性依旧是随的增大而增大和①相同．
综上分析，．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求的面积
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点和点坐标，再根据解析求解即可．
【解答】解：（1）将，代入得，
解得，
二次函数的解析式为：；
（2）将配方得顶点式，
顶点，
在中，当时，
解得或，
，
，
．
【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，交抛物线于点，（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
（3）若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；
（2）求出直线与抛物线的交点，坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，，则点，求出，由三角形的面积公式求出关于的函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）分和两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）抛物线与抛物线的形状相同，
，
抛物线与轴交于点和，
抛物线的解析式为；
（2）当时，联立方程组，
解得或，
，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，如图，
设点坐标为，，
点，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
面积的最大值为；
（3）令，则，
点坐标为，
令，则，
解得，
点坐标为，，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
18．（2024•西湖区校级模拟）已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线．
（1）当，时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断这两条抛物线与轴的交点的总个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
【分析】（1）把，的值代入配方找顶点即可解题；
（2）分别令，，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；
（3）现根据题意得到，且，然后得到，借助图象求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）当，时，，
顶点坐标为；
（2）3个，理由为：
令，则，
即，
解得：，，
令，则，
即，
解得：，，
又且，
两条抛物线与轴的交点总个数为3个；
（3）抛物线上的任意一点均有，
，且，
整理得：，
的开口向上，且抛物线与轴交点的横坐标为，，
如图所示，借助图象可知当或时，．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．
19．（2024•三元区一模）抛物线与轴相交于点，，与轴正半轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点，，，是抛物线上不同的两点．
①当，满足什么数量关系时，；
②若，求的最小值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①若，则、关于抛物线对称轴对称，即可求解；
②，而，得到的函数表达式，进而求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：，
即，
即，
解得：，
故抛物线的表达式为：；
（2）如图，
由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线，
①若，则、关于抛物线对称轴对称，
即，
即，
当时，；
②，
，
，
即的最小值为．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的基本性质是解答本题的关键．
20．（2024•黄山一模）已知抛物线与轴交于，两点，经过点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若点是轴上位于点与点之间的一个动点（含点与点，过点作轴的垂线分别交抛物线和直线于点、点．求线段的最大值．
【分析】（1）设出抛物线解析式的交点式，再把点坐标代入解析式求出即可；
（2）先根据（1）中解析式求出点坐标，再用待定系数法求直线解析式，再设设，，则，，得出，由的取值范围和二次函数的性质求的最大值．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于，两点，
可设抛物线的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）当时，，
，
设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设，，
则，，
，
当时，，
当时，有最大值2；
当时，，
当时，有最大值．
综上所述，的最大值为．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，函数的最值等知识，关键是求出函数解析式．
21．（2024•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，，与轴交于点，点是抛物线上轴左侧的一个动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点关于直线的对称点恰好落在轴上，求点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据轴对称的性质可知，，建立方程求出点坐标即可．
【解答】解：（1）将，代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）设，，
，，
，
解得，
．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解答本题的关键．
22．（2024•江西模拟）已知关于的二次函数．
（1）求证：无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点的坐标为，求与之间的函数关系及的最大值．
【分析】（1）当时，，再根据一元二次方程根的判别式，即可解答；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式，得出顶点坐标为，设，可得，将其代入，得出关于的函数表达式，即可解答．
【解答】（1）证明：当时，．
△，
该方程总有两个不相等的实数根，
无论为何值，该函数的图象与轴总有两个交点．
（2）解：，，，
二次函数的顶点坐标为，
设，可得，将其代入，
整理后得．
顶点的运动轨迹为二次函数的图象，且该图象开口向下，
故当时，取得最大值，最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及顶点坐标公式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的基本性质．
23．（2024•峰峰矿区校级二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）若该抛物线过点；
①求该抛物线的表达式，并求出此时，两点的坐标；
②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应的函数为，点的对应点为，求平移后顶点坐标和线段的长；
（2）点关于的对称轴的对称点的坐标为 （用含的代数式表示）．
【分析】（1）①将代入，求出的值即可确定函数解析式；
②根据平移的性质可得向上平移2个单位长度后为，即可得出结果；
（2）先求点坐标，再求抛物线的对称轴为直线，则点关于对称轴的对称点为．
【解答】解：（1）①将点坐标代入，则，
则，
抛物线与轴交于，两点，
将代入，即，
解得，；
，；
②向上平移2个单位长度后为，
平移后顶点坐标为，线段的长为2；
（2）当时，，
，
抛物线与轴交于点，
，
抛物线对称轴为直线，
，
点关于的对称轴的对称点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
24．（2024•安徽模拟）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点、分别是抛物线上第四象限、第二象限上的点，其中点的横坐标为，连接交轴于点，连接、，设的面积为，且，求点的坐标．
【分析】（1）把，代入，用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，点坐标为，然后用待定系数法求直线的解析式，从而求出点坐标，再根据三角形的面积公式以及，求出点的横坐标，然后再代入二次函数解析式，从而得出结论．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）点是抛物线上第二象限上的点，其横坐标为，
点坐标为，
设直线的解析式为，
把，坐标代入得：，
解得，
直线与轴的交点的坐标为
，
，
的面积为，
，
，
解得，
把代入得，
点坐标为，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，以及待定系数法求函数解析式，关键是待定系数法求出函数解析式．
25．（2024•宜昌模拟）如图，函数的图象与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点．
（1）已知一次函数的图象过点，，求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，函数为常数）的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【分析】（1）令，则，可求，当，则，可求，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）由题意知，的图象与直线平行，如图，结合图象求解作答即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得，或，
，
当，则，即，
设一次函数解析式为，
将，代入得，
，
解得，，
一次函数的解析式为；
（2）由题意知，的图象与直线平行，
如图，
当时，对于的每一个值，，
由图可知：．
【点评】本题考查了二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式．熟练掌握二次函数与轴的交点坐标，一次函数解析式，一次函数图象的平移，二次函数与不等式是解题的关键．
26．（2024•昆山市模拟）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若抛物线关于原点对称的抛物线为，求抛物线的表达式；
（3）在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点，代入，即可求解；
（2）根据抛物线与抛物线为关于原点对称，求出抛物线的表达式即可；
（3）设点坐标为，根据，列出关于的方程，解方程求出即可．
【解答】解：（1）将点，代入，
则，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）抛物线与关于原点对称，
抛物线的解析式为；
（3）存在，理由：
，，，
，
，
，
设点坐标为，
，
，
解得或，
，或，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．
27．（2024•安徽模拟）已知抛物线，是常数）与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是上方抛物线上的一点．
（1）求，的值；
（2）如图1，点是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点的横坐标大1，分别过点和点作轴，轴，与分别与交于点，，连接，，求的值；
（3）如图2，连接与交于点，连接，，当时，求点的坐标．
【分析】（1）把点和点代入，解方程组即可；
（2）根据（1）中解析式求出点坐标，然后用待定系数法求出直线解析式，再设点坐标为，根据已知得出点，，的坐标，然后由三角形的面积公式求出面积即可；
（3）先求出三角形和三角形的面积，再根据，求出的值，从而求出点坐标，再用待定系数法求职直线的解析式，然后联立直线和所组成的方程组，解方程组求出点坐标．
【解答】解：（1）把点和点代入得：
，
解得，
，的值分别为和3；
（2）由（1）可知抛物线的表达式为，
当时，，
点，
设直线的表达式为，
把点，点代入得：
，
解得，
直线的表达式为，
点是上方抛物线上的一点，
设点坐标为，
点是第二象限抛物线上的一点，且横坐标比点的横坐标大1，轴，轴，
点，点，，点，
点到的距离为，点到的距离为，
，
，
；
（3）点，
，
，
，
由（2）知，点坐标为，
，
，
解得，
此时点坐标为，
设直线的表达式为，
把点，坐标代入得：，
解得，
直线的表达式为，
由（2）知直线的表达式为，
联立直线，表达式，得，
解得，
当时，，
点的坐标为，．
【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积等知识，关键是用待定系数法求出函数解析式利用函数的性质解答．
28．（2024•西安校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，点，的对应点分别为，．抛物线的顶点为，则在轴下方的抛物线上是否存在点，使得的面积等于△的面积．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把，代入解析式，解方程组即可；
（2）先根据抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，得出，的坐标和抛物线的解析式，然后根据三角形的面积公式求出的坐标．
【解答】解：（1）把，代入，
得．
解得，
抛物线的解析式的解析式为；
（2）存在，
抛物线关于坐标原点对称的抛物线为，
，，
，，
抛物线为的解析式为，
，
△的面积，
的面积等于△的面积，
，
，
点在轴下方，
，
把代入得，，
解得，
的坐标为，或，．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，关键是根据图象的几何变换求出抛物线的解析式．
题型五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2024•鄞州区模拟）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②分情况讨论，当时，当时，当时，分别得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
，
的顶点坐标为；
（2）①设点的横坐标为，
过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式为：，
当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当时，，
且当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
Ⅱ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
，
解得（舍；
Ⅲ、当时，，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
30．（2023•大庆）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
（1）求二次函数的表达式；
（2）若将线段向下平移，得到的线段与二次函数的图象交于，两点在左边），为二次函数的图象上的一点，当点的横坐标为，点的横坐标为时，求的值；
（3）若将线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数的图象只有一个交点，其中为常数，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）选择三个合适的点，利用待定系数法求二次函数的表达式；
（2）构造直角三角形，把放在直角三角形中，用表示的值并化简；
（3）二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小，所以利用数形结合寻求线段与抛物线的交点问题．
【解答】解：（1）二次函数的图象经过，，三个点，
，
，
二次函数的表达式为：．
（2）过作，垂足为，
点的横坐标为，点的横坐标为，
，
二次函数的对称轴为直线，
点，关于直线对称，
到的距离是，
，
，
，，
，
在中，．
（3）线段先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为，则，，
二次函数与轴交于，两点，对称轴为直线，二次函数与二次函数只是开口大小和方向发生了变化，并且越大，开口越小．若线段与二次函数的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当时，开口向上，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最大，把代入得，
．
②当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，代入得．
③当时，开口向下，如图，线段与二次函数的图象只有一个交点，当抛物线经过时开口最大，最小，最小，把代入得，
．
综上，的取值范围是：或或．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数表达式，解直角三角形，渗透了分类和数形结合的思想，对于第（3）问，关键是研究二次函数的性质，找到分类标准．
31．（2024•历下区一模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，且顶点在直线上．
（1）如图，当抛物线的顶点在点时，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点，满足．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）定义抛物线为抛物线的换系抛物线，点，点在抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【分析】（1）先求出，，再根据条件运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线交轴于点，过点作于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，再证得，可得，即，可求得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标；
（3）根据抛物线的顶点在直线上且过点，设顶点坐标为，则抛物线表达式可设为，进而得出抛物线的表达式为，对称轴为直线，再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）在中，当时，；当时，；
，，
抛物线的顶点为点，
设抛物线的解析式为，把代入，得，
解得：，
，
抛物线的表达式为；
（2）存在点，满足．
理由如下：设直线交轴于点，如图，过点作于点，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，，，
在中，，
，，，
，
，，
，
，
，即，
解得：（舍去）或，
直线的解析式为，
联立方程组得，
解得：，，
点的坐标为，；
（3）抛物线的顶点在直线上且过点，设顶点坐标为，则抛物线表达式可设为，
将代入得，
解得：或，
若，则抛物线表达式为，则抛物线的二次项系数为0，不符合题意；
若，代入，可得，
抛物线的表达式为，对称轴为直线，
抛物线开口向上，所以距离对称轴越近值越小，
对于，都有，
当点，点都在抛物线对称轴右侧时，
，此不等式组无解；
当点，点分别在抛物线对称轴两侧时，
，
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，角平分线性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
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