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    吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案)

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    这是一份吉林省部分名校2023-2024学年高一下学期期末联合考试数学试卷(含答案),共15页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,双空题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.复数的虚部为( )
    A.1B.C.3D.i
    2.某纺织厂4月份生产了三种类型的纱线,分别为大卷纱线、中卷纱线和小卷纱线,其中大卷纱线有2000卷,中卷纱线有8000卷,小卷纱线有20000卷.为检查该纺织厂4月份生产的这三种类型纱线的质量,按比例用分层随机抽样的方法从中抽检240卷,则被抽检的小卷纱线有( )
    A.120卷B.150卷C.160卷D.200卷
    3.有一艘船以每小时25海里的速度向正东方向行驶,在A处测得灯塔P在该船的东北方向,该船行驶2小时后到达B处,测得灯塔P在该船的东偏北方向上,则( )
    A.海里B.海里C.50海里D.海里
    4.小唐5月日每天的运动时长(单位:分钟)统计数据如图所示,则( )
    A.小唐这7天每天运动时长的平均数是72
    B.小唐这7天每天运动时长的极差是42
    C.小唐这7天每天运动时长的中位数是75
    D.小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92
    5.若某圆台的上底面半径为1,下底面半径为4,该圆台的体积不小于,则该圆台的高的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    6.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,,O是该正五角星的中心,则( )
    A.B.C.12D.18
    7.如图,在直三棱柱中,所有棱长都相等,D,E,F分别是棱,,的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
    A.B.C.D.
    8.如图,在平面四边形中,,为钝角三角形,,则四边形的面积的最大值为( )
    A.1B.C.D.
    二、多项选择题
    9.若复数,则( )
    A.B.
    C.为实数D.
    10.在正三棱锥中,,则下列结论正确的是( )
    A.若,则二面角是
    B.若二面角是,则正三棱锥的体积是
    C.荅,则正三棱锥内切球的半径是
    D.若,则正三棱锥外接球的表面积为
    11.欧拉线定理指出三角形的外心、垂心、重心都在同一条直线上,且重心与外心之间的距离是重心与垂心之间的距离的一半.设O,H,G分别是的外心、垂心和重心,则( )
    A.B.
    C.D.
    三、双空题
    12.已知复数,,,,在复平面内对应的点分别为A,B,C,D,若,则实数________;若,则实数________.
    四、填空题
    13.某校高一(1)班有男生20人,女生30人.已知某次数学测验中,男生成绩的平均数为100,方差为11,女生成绩的平均数为95,方差为16,则这次测验中班级总体成绩的方差为________.
    14.在棱长为4的正方体中,E,F分别为线段,上的动点,点O为侧面的中心,则的周长的最小值为________.
    五、解答题
    15.如图,在直四棱柱中,底面为菱形,,M为的中点.
    (1)证明:平面.
    (2)求点B到平面的距离.
    16.在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,且.
    (1)求角A的大小;
    (2)若,求面积的最大值.
    17.近年来,由于互联网的普及,直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后,随机抽取了100个商家的平均日利润(单位:百元)进行了统计,所得的频率分布直方图如图所示.
    (1)求m的值,并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
    (2)以样本估计总体,该直播平台为了鼓励直播带货,提出了两种奖励方案,一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励,二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励,两种奖励方案只选择一种,你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.
    18.对任意两个非零向量,,定义:
    (1)若向量,,求的值;
    (2)若单位向量,满足,求向量与的夹角的余弦值;
    (3)若非零向量,满足,向量与的夹角是锐角,且是整数,求的取值范围.
    19.如图,在四棱锥中,,,,,M在线段上(不含端点),底面.
    (1)证明:平面平面.
    (2)设,,请写出三棱锥的体积V关于x的函数表达式,并求出V的最大值.
    参考答案
    1.答案:A
    解析:因为,所以的虚部为1.
    故选:A.
    2.答案:C
    解析:依题意,被抽检的小卷纱线有(卷).
    故选:C.
    3.答案:A
    解析:由题可知,,,海里,在中,由正弦定理可得,
    则海里.
    故选:A.
    4.答案:D
    解析:,A错误;
    B选项,小唐这7天每天运动时长的极差是,B错误;
    C选项,将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为45,58,60,70,80,92,100,
    则小唐这7天每天运动时长的中位数是70,C错误;
    D选项,因为,所以第80百分位数是第6个数,即92,D正确.
    故选:D.
    5.答案:B
    解析:设该圆台的高为h,则该圆台的体积.
    因为该圆台的体积不小于,所以,解得.
    故选:B.
    6.答案:A
    解析:如图,交于点F,则F是中点且,
    由题意可得.
    故选:A.
    7.答案:D
    解析:连接,因为在直三棱柱中,E,F分别是棱,的中点,
    故,,即四边形为平行四边形,
    所以,则即为异面直线与所成角或其补角;
    直三棱柱中,所有棱长都相等,设其棱长为2,
    连接,,则,,而平面,故平面,
    平面,故,
    D是棱的中点,故,则,
    而,又,
    故在中,,
    由于异面直线所成角的范围为大于,小于等于,
    故异面直线与所成角的余弦值是,
    故选:D.
    8.答案:B
    解析:法一:设,则,,
    在中,,
    因为,所以.
    四边形的面积为

    当,即时,
    四边形的面积取得最大值,最大值为.
    法二:四边形的面积.
    故选:B.
    9.答案:BC
    解析:由,得,A错误.
    ,B正确.
    因为,所以为实数,C正确.
    ,D错误.
    故选:BC.
    10.答案:ABD
    解析:如图,取的中点M,连接,,则是二面角的平面角.
    作平面,垂足为H,点H在上,且.
    对于A,由,得,则,从而,故A正确.
    对于B,二面角是,即,得,
    则3,从而三棱锥的体积,故B正确.
    由,得.对于C,设三棱锥内切球的半径为r,则,所以,故C错误.
    设三棱锥外接球的半径为R,球心为O,且在上,连接,
    则,即,
    解得,所以,所以,故D正确.
    故选:ABD.
    11.答案:BCD
    解析:对于A,连接并延长,交于点D,则D是的中点,,
    于是,当时,A,O,D不共线,即,A错误;
    对于B,由欧拉线定理得,有,,则,B正确;
    对于C,H是的垂心,即,则,
    于是,即,C正确;
    对于D,由欧拉线定理知,则,即,D正确.
    故选:BCD.
    12.答案:;0
    解析:依题意得,,,,则,.
    若,则,解得;
    若,则,解得.
    故答案为:,0.
    13.答案:20
    解析:依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为,
    方差为.
    故答案为:.
    14.答案:
    解析:如图①,设侧面的中心为M,根据正方体的结构特征可得,
    则周长的最小值即的最小值.
    将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上,
    将平面绕着旋转至与平面在同一平面上,
    过点O作于点S,则,其中,
    如图②,则,
    故的周长的最小值为.
    故答案为:.
    15.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)连接,因为,,故四边形为平行四边形,
    设与交于点O,则O为的中点,连接.
    因为M为的中点,所以为的中位线,则,
    因为平面,平面,所以平面.
    (2)延长交于点N,连接,,取的中点P,连接,
    则,而,故四边形为平行四边形,
    故.
    因为四边形为菱形,故,故,
    故为等边三角形,所以且.
    因为平面,平面
    所以,而,,平面,
    所以平面,因为平面,
    则点M到平面的距离为.
    .
    因为,,所以.
    设点B到平面的距离为h,则.
    由,得,解得.
    故点B到平面的距离为.
    16.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)因为,所以.
    因为,所以,
    所以,解得或.
    因为,所以,则.
    (2)因为,所以,即,则.
    因为,,所以.
    因为,当且仅当时,等号成立,
    所以,即,
    则的面积,故面积的最大值为.
    17.答案:(1),中位数为74,平均数为72.5
    (2)方案一受到奖励的商家更多,理由见解析
    解析:(1)由题意可知,解得.
    设中位数为n,则,解得,所以中位数为74,
    平均数为
    (2)由题意可知,方案一受到奖励的商家的个数为,
    方案二受到奖励的商家的个数为,
    因为,所以方案一受到奖励的商家更多.
    18.答案:(1)
    (2)
    (3)
    解析:(1)因为,,所以,
    所以,
    故的值为.
    (2)因为向量、是单位向量,所以,,
    由,
    可得,
    解得,
    由,可得,

    故向量与的夹角的余弦值为.
    (3)设向量与的夹角为,由题意可知,则,
    因为,所以,.
    因为,所以,.
    因为是整数,所以,
    所以,,
    而,即,所以,
    因为,
    ,所以,即,
    故的取值范围为.
    19.答案:(1)证明见解析
    (2)见解析
    解析:(1)因为底面,底面,所以.
    又因为,,,平面,所以平面,
    因为平面,所以平面平面.
    (2)过点P作,交于N,连接,.
    由,得,因为,,,,所以,则,所以,
    则,,
    .
    因为底面,平面,所以,又,,平面,所以平面,而平面,
    所以.
    中由余弦定理得,所以,
    则,,
    所以.
    因为,所以,,
    所以当时,V取得最大值,最大值为.
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