高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练30　等比数列

这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练30　等比数列，共6页。试卷主要包含了故为充分不必要条件等内容，欢迎下载使用。
1.(2021陕西西安二模)在等比数列{an}中,a3a7=9,则a5=( )
A.±3B.3C.±3D.3
答案:A
解析:由等比数列的性质,可得a52=a3a7=9,则a5=±3.
2.(2021四川成都三诊)已知数列{an}为等比数列,则“a6>a5>0”是“数列{an}为递增数列”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
答案:B
解析:设数列{an}的公比为q.充分性:当a6>a5>0时,q=a6a5>1,且a1=a5q4>0,则数列{an}为递增数列;
必要性:当数列{an}为递增数列时,若a11的n的最大值为 .
答案:-12 3
解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.
所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-12n-1,
所以当n为偶数时,an0.
要使an>1,则4-n>0且n为奇数,即n0,an+1=3an+4.
(1)证明:数列{an+2}为等比数列;
(2)若a3=25,求数列{an-n}的前n项和Sn.
(1)证明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),
因为an>0,所以an+2≠0,
所以数列{an+2}为等比数列.
(2)解:若a3=25,则an+2=(a3+2)×3n-3,即an+2=(25+2)×3n-3,
所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,
数列{an-n}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)-(1+n)·n2-2n=3(1-3n)1-3−(1+n)·n2-2n
=3n+12−n22−5n2−32.
综合提升组
10.(2021广东梅州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则S1a1+S2a2+…+S8a8= .
答案:502
解析:因为an+Sn=1,
所以当n≥2时,an-1+Sn-1=1,
两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=12an-1(n≥2);
当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=12.
所以数列{an}表示首项为12,公比为12的等比数列,所以an=12n,
Sn=12[1-(12) n]1-12=1-12n,所以Snan=1-(12) n(12) n=2n-1,
所以S1a1+S2a2+S3a3+…+S8a8=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=2(1-28)1-2-8=29-10=502.
11.(2021山东淄博高三)在等比数列{an}中,a1=2,公比q>1,a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是 .
答案:1 022
解析:由f(x)=13x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,
又因为a2,a3是函数f(x)=13x3-6x2+32x的两个极值点,
所以a2,a3是函数f'(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的两个零点,即4或8,
又因为a1=2,{an}是等比数列,所以a2=4,a3=8,故q=2.
则前9项和为2(1-29)1-2=210-2=1 022.
12.(2021河南湘豫名校联盟3月联考)已知等比数列{an}满足a1-a3=-827,a2-a4=-89,则使得a1a2…an取得最小值的n为 .
答案:3或4
解析:设公比为q,则q=a2-a4a1-a3=3,∴a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-827,∴a1=127,a2=19,a3=13,a4=1,…,
∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.
13.(2021湖南长沙模拟预测)在等比数列{an}中,a2=2,a5=14,则满足a1a2+a2a3+…+anan+1≤212成立的n的最大值为 .
答案:3
解析:已知{an}为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=14,q3=18,解得q=12,
又a2=2,∴a1=4.
∵an+1an+2anan+1=q2=14,∴数列{anan+1}也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为14.
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=323(1-4-n)≤212,从而有14n≥164.
∴n≤3.故nmax=3.
14.(2021山东青岛西海岸新区高三期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则{an}的通项公式an= ;若数列{bn}的通项公式bn=n,将数列{bn}中与{an}相同的项去掉,剩下的项依次构成数列{cn},{cn}的前n项和为Tn,则T100= .
答案:2n 5 545
解析:由题意,数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,
当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,
所以{an}的通项公式an=2n.
在数列{bn}的前100项中与数列{an}相同的项为2,22,23,24,25,26,
所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2−2(1-26)1-2=5 671-126=5 545.
创新应用组
15.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EMQ的面积为S2).
有以下结论:①数列{an}是公比为23的等比数列;②S1=112;③数列{Sn}是公比为49的等比数列;④数列{Sn}的前n项和Tn