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高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练35 综合法、分析法、反证法
展开这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练35 综合法、分析法、反证法，共3页。试卷主要包含了已知a>5,求证，用合适的方法证明，证明，用分析法证明，列三角形数表等内容，欢迎下载使用。
证明:要证a-5−a-3
只需证2a-5+2a2-5a<2a-5+2a2-5a+6,
只需证a2-5a
所以a-5−a-3
(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5≥a2b3+a3b2.
(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.
证明:(1)综合法:
(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),
因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)≥0,所以a5+b5≥a2b3+a3b2.
(2)反证法:
假设a不是偶数,即a是奇数,
不妨设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.
因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,
由上述矛盾可知,a一定是偶数.
3.已知α∈(0,π),试用分析法和综合法分别推证下列命题:2sin 2α≤sinα1-csα.
证明:(方法1 分析法)
要证2sin 2α≤sinα1-csα成立,只需证4sin αcs α≤sinα1-csα,
∵α∈(0,π),∴sin α>0,∴只需证4cs α≤11-csα.
∵1-cs α>0,∴只需证4cs α(1-cs α)≤1,
即4cs2α-4cs α+1≥0,只需证(2cs α-1)2≥0,显然成立.
命题得证.
(方法2 综合法)
sinα1-csα-2sin 2α=sin α11-csα-4cs α=(1-2csα)2sinα1-csα,
∵α∈(0,π),∴-1
∴2sin 2α≤sinα1-csα.
4.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.
(2)求证:6是无理数.
证明:(1)对于不等式|x-3|-|x-5|≥-2,
当x≤3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.
当3
当x≥5时,左边=x-3-(x-5)=2>-2.
所以|x-3|-|x-5|≥-2,对所有实数x均成立,等号成立时x∈(-∞,3].
(2)假设6是有理数,则6=mn,其中m,n是互质的整数,
则m=6n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,
设m=2k,k∈Z,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,
所以假设不成立.所以6是无理数.
5.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x>1,则3x2+1x2>3x+1x>3x+1x.
(2)用反证法证明:若a
证明:(1)因为x>1,所以要证3x2+1x2>3x+1x,
只需证3x4+1>3x3+x,即证3x3(x-1)>x-1,所以只需证3x3>1.
因为x>1,所以3x3>3>1,故3x2+1x2>3x+1x得证.
令t=x>1,则3x+1x>3x+1x等价于3t2+1t2>3t+1t,
又因为已证明3x2+1x2>3x+1x,所以3t2+1t2>3t+1t.
故3x2+1x2>3x+1x>3x+1x.
(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x>0)有零点,
则方程f(x)=0在(0,+∞)上有解,即a=4exx2在(0,+∞)上有解.
设g(x)=4exx2(x>0),g'(x)=4ex(x-2)x3(x>0),
当0
所以g(x)min=g(2)=e2,又因为a
6.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表
假设第n行的第二个数为an(n≥2,n∈N+).
(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;
(2)求证:数列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.
(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n≥2,n∈N+),
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+…+2+2=(n-2)(n-1+2)2+2=n2-n+22(n≥3).
又a2=2也满足上式,∴an=n2-n+22(n≥2,n∈N+).
(2)证明:(反证法)假设{an}中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n≥3,n∈N+)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2×n2-n+22=(n-1)2-(n-1)+22+(n+1)2-(n+1)+22=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.
故数列{an}(n≥2,n∈N+)中任意的连续三项不可能构成等差数列.
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