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高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练55 几何概型
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这是一份高考总复习优化设计一轮用书文科数学配北师版课时规范练55 几何概型，共6页。试卷主要包含了故选D，已知圆C等内容，欢迎下载使用。
1.(2021山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:15~8:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是( )
A.23B.58C.13D.38
答案:D
解析:一名职工在7:50到8:30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟,但有效刷卡时间是15分钟,所以该职工能正常刷卡上班的概率P=1540=38.故选D.
2.已知α∈[0,π],则满足sin αA.14B.13C.12D.34
答案:A
解析:∵α∈[0,π],sin α3.(2021福建龙岩质检)在区间-π2,π2上随机取一个实数x,使cs x≥12的概率为( )
A.34B.23C.12D.13
答案:B
解析:不等式cs x≥12在区间-π2,π2上的解为-π3≤x≤π3,故cs x≥12的概率为2π3π=23.
4.在一次试验中,向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子,图中半圆的直径分别为AB,BC.经过统计,发现落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(mA.π-28B.π-24
C.π-18D.π-14
答案:A
解析:设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积等于4.因为阴影部分的面积等于2×14π×12-12×1×1=π-22,所以mN≈π-224=π-28.故选A.
5.(2021河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)=sin x+3cs x,当x∈[0,π]时,f(x)≥1的概率为( )
A.13B.14C.15D.12
答案:D
解析:由f(x)=2sinx+π3≥1,x∈[0,π]得x∈0,π2,∴所求概率P=π2π=12,故选D.
6.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2B.p1=p3
C.p2=p3D.p1=p2+p3
答案:A
解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.
所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24−12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24−12ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.
7.(2021山西孝义模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-3的概率是( )
A.16B.13C.23D.56
答案:D
解析:如图:
当直线PM的斜率为-3时,倾斜角为120°,∠POM=60°,当点Q在优弧PM(不含端点)上时,直线PQ的斜率大于-3,优弧PM的长度为2π-π3×1=5π3,圆的周长为2π×1=2π,根据几何概型的概率公式可得所求概率为5π32π=56.故选D.
8.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为 .
答案:1-π4
解析:在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外及圆上,且在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,所以OA·OB≥4π2的概率为P=4π2-π34π2=1-π4.
综合提升组
9.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为( )
A.23B.22C.12D.13
答案:A
解析:圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.
10.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
A.34+12πB.12+1π
C.14−12πD.12−1π
答案:C
解析:∵|z|=(x-1)2+y2≤1,∴(x-1)2+y2≤1,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P=π4-12π=14−12π.故选C.
11.(2021河南商丘、周口、驻马店联考)如图,AC,BD分别是大圆O的两条相互垂直的直径,4个小圆的直径分别为OA,OB,OC,OD,若向大圆内部随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为( )
A.π4B.π8
C.1πD.2π
答案:D
解析:不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π,小圆的半径为1,
如图,设图中阴影部分面积为S,由图形的对称性知,题图中的阴影面积S阴影=8S.
又S=12π×12-14π×12-12×12×2=1,则所求概率为84π=2π.故选D.
12.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[lg2x]为偶数的概率为 .
答案:23
解析:若x∈18,12,则lg2x∈(-3,-1).要使得[lg2x]为偶数,则lg2x∈[-2,-1).所以x∈14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.
创新应用组
13.在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M,求AM(2)在△ABC的内部,以C为端点任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM解:(1)在等腰直角三角形ABC中,设AC长为1,则AB长为2,
在AB上取点C',使AC'=1,若点M在线段AC'上,则满足AM∵AC'=1,AB=2,∴AM∴在斜边AB上任取一点M,则AM(2)在AB上取AC'=AC,则∠ACC'=180°-45°2=67.5°.
则所有可能结果的区域为∠ACB,事件A构成的区域为∠ACC'.
∵∠ACB=90°,∠ACC'=67.5°,
∴AM
1.(2021山西运城模拟)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:15~8:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是( )
A.23B.58C.13D.38
答案:D
解析:一名职工在7:50到8:30之间到单位,刷卡时间长度为40分钟,但有效刷卡时间是15分钟,所以该职工能正常刷卡上班的概率P=1540=38.故选D.
2.已知α∈[0,π],则满足sin α
答案:A
解析:∵α∈[0,π],sin α
A.34B.23C.12D.13
答案:B
解析:不等式cs x≥12在区间-π2,π2上的解为-π3≤x≤π3,故cs x≥12的概率为2π3π=23.
4.在一次试验中,向如图所示的正方形ABCD中随机撒一大把豆子,图中半圆的直径分别为AB,BC.经过统计,发现落在正方形ABCD中的豆子有N粒,其中有m(m
C.π-18D.π-14
答案:A
解析:设正方形ABCD的边长为2,则正方形ABCD的面积等于4.因为阴影部分的面积等于2×14π×12-12×1×1=π-22,所以mN≈π-224=π-28.故选A.
5.(2021河南豫北名校联盟精英对抗赛)已知函数f(x)=sin x+3cs x,当x∈[0,π]时,f(x)≥1的概率为( )
A.13B.14C.15D.12
答案:D
解析:由f(x)=2sinx+π3≥1,x∈[0,π]得x∈0,π2,∴所求概率P=π2π=12,故选D.
6.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2B.p1=p3
C.p2=p3D.p1=p2+p3
答案:A
解析:设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.
所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24−12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24−12ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.
7.(2021山西孝义模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(1,0)和圆O:x2+y2=1,在圆O上任取一点Q,连接PQ,则直线PQ的斜率大于-3的概率是( )
A.16B.13C.23D.56
答案:D
解析:如图:
当直线PM的斜率为-3时,倾斜角为120°,∠POM=60°,当点Q在优弧PM(不含端点)上时,直线PQ的斜率大于-3,优弧PM的长度为2π-π3×1=5π3,圆的周长为2π×1=2π,根据几何概型的概率公式可得所求概率为5π32π=56.故选D.
8.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为 .
答案:1-π4
解析:在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外及圆上,且在以2π为边长的正方形内及正方形的边上,所以OA·OB≥4π2的概率为P=4π2-π34π2=1-π4.
综合提升组
9.已知圆C:x2+y2=4,直线l:y=x+b.当实数b∈[0,6]时,圆C上恰有2个点到直线l的距离为1的概率为( )
A.23B.22C.12D.13
答案:A
解析:圆C的圆心坐标为O(0,0),半径为2,直线l为x-y+b=0.当b2=3,即b=32时,圆上恰有一个点到直线l距离为1,当b2=1,即b=2时,圆上恰有3个点到直线l距离为1.所以当b∈(2,32)时,圆上恰有2个点到直线l的距离为1,故概率为32-26=23.故选A.
10.设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为( )
A.34+12πB.12+1π
C.14−12πD.12−1π
答案:C
解析:∵|z|=(x-1)2+y2≤1,∴(x-1)2+y2≤1,其几何意义表示为以(1,0)为圆心,1为半径的圆面,如图所示,而y≥x所表示的区域如图中阴影部分,故P=π4-12π=14−12π.故选C.
11.(2021河南商丘、周口、驻马店联考)如图,AC,BD分别是大圆O的两条相互垂直的直径,4个小圆的直径分别为OA,OB,OC,OD,若向大圆内部随机投掷一点,则该点落在阴影部分的概率为( )
A.π4B.π8
C.1πD.2π
答案:D
解析:不妨设大圆的半径为2,则大圆的面积为4π,小圆的半径为1,
如图,设图中阴影部分面积为S,由图形的对称性知,题图中的阴影面积S阴影=8S.
又S=12π×12-14π×12-12×12×2=1,则所求概率为84π=2π.故选D.
12.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[lg2x]为偶数的概率为 .
答案:23
解析:若x∈18,12,则lg2x∈(-3,-1).要使得[lg2x]为偶数,则lg2x∈[-2,-1).所以x∈14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.
创新应用组
13.在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.
(1)在斜边AB上任取一点M,求AM
在AB上取点C',使AC'=1,若点M在线段AC'上,则满足AM
则所有可能结果的区域为∠ACB,事件A构成的区域为∠ACC'.
∵∠ACB=90°,∠ACC'=67.5°,
∴AM
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