高考第一轮文科数学（人教A版）课时规范练19　两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式

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1.tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=( )
A.1B.-1C.2D.-2
2.计算cs5π12csπ6+csπ12sinπ6=( )
A.0B.12C.22D.32
3.(2022江苏苏州八校联盟联考)若tan α=3,则1+cs2α1-sin2α=( )
A.12B.-12C.±12D.±2
4.(2023江苏泰州模拟)若tan2θ+3tan θ-1=0,则tan 2θ=( )
A.23B.36C.32D.233
5.(2022江苏南京外国语学校模拟)已知α∈π,3π2,若csα+π3=55,则csα+π12=( )
A.31010B.1010C.-1010D.-31010
6.已知cs α≠0,且4sin 2α-3cs 2α=3,则tan α=( )
A.35B.±35C.34D.±34
7.已知cs x=13,则sin2x-π2= .
8.已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sin α-7tan 2α的值为 .
综合提升组
9.在平面直角坐标系中,已知点A(cs 15°,sin 15°),B(cs 75°,sin 75°),则|AB|=( )
A.1B.2C.3D.2
10.已知锐角α,β满足sin α-cs α=16,tan α+tan β+3tan αtan β=3,则α,β的大小关系是( )
A.α<π4<βB.β<π4<α
C.π4<α<βD.π4<β<α
11.若csα+π6=15,α为锐角,则csα-π6=( )
A.1+6210B.3+2610
C.26-310D.1-6210
12.已知α∈-π2,0,且cs2α+sin 2α=710,则cs2α1+sin2α=( )
A.1126B.4936C.14D.136
创新应用组
13.(2022陕西宝鸡三模)若α∈π4,π,cs 2α-sinπ4-α=0,则sin 2α的值为( )
A.12B.32
C.-32D.-12
14.设α,β均为锐角,且cs(α+β)+cs(α-β)=sinαsinβ,则tanα2+sin2β的最大值是( )
A.16B.66C.6D.63
参考答案
课时规范练19 两角和与差的正
弦、余弦与正切公式及二倍角公式
1.A tan1°+tan44°1-tan1°tan44°=tan 45°=1.
2.C cs5π12csπ6+csπ12sinπ6=cs5π12csπ6+sin5π12sinπ6=cs5π12−π6=csπ4=22.
3.A 显然1-sin 2α≠0.1+cs2α1-sin2α=cs2α+sin2α+cs2α-sin2αcs2α+sin2α-2sinαcsα
=2cs2αcs2α+sin2α-2sinαcsα
=21+tan2α-2tanα
=21+32-2×3=12,故选A.
4.D 由题意知3tan θ=1-tan2θ,则13=tanθ1-tan2θ,∴tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=233.故选D.
5.C ∵α∈π,3π2,∴α+π3∈4π3,11π6,∴sinα+π3<0,∴sinα+π3=-255.∴csα+π12=csα+π3−π4=csα+π3csπ4+sinα+π4sinπ4=-1010.故选C.
6.C 由4sin 2α-3cs 2α=3,可得4sin 2α=3cs 2α+3=6cs2α,即8sin αcs α=6cs2α.因为cs α≠0,可得4sin α=3cs α,即tan α=34.
7.79 sin2x-π2=-cs 2x=1-2cs2x=1-2×132=79.
8.-39 因为角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),
所以x=4a,y=3a,r=(4a)2+(3a)2=-5a,
所以sin α=3a-5a=-35,
tan α=3a4a=34,所以tan 2α=2tanα1-tan2α=2×341-(34) 2=247,
所以25sin α-7tan 2α=25×-35-7×247=-39.
9.A ∵点A(cs 15°,sin 15°),B(cs 75°,sin 75°),
∴|AB|=(cs15°-cs75°)2+(sin15°-sin75°)2
=2-2(cs15°·cs75°+sin15°·sin75°)
=2-2cs(75°-15°)
=2-2cs60°
=1.
10.B ∵α为锐角,sin α-cs α=16,∴α>π4.又tan α+tan β+3tan αtan β=3,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=3.又β为锐角,∴0<α+β<π,∴α+β=π3,又α>π4,∴β<π4<α.
11.A 由csα+π6=15,α为锐角,得sinα+π6=265,则csα-π6=csα+π6−π3=csα+π6csπ3+sinα+π6sinπ3=15×12+265×32=1+6210.
12.B 由cs2α+sin 2α=710,得cs2α+2sinαcsαcs2α+sin2α=710,即1+2tanα1+tan2α=710,整理,得7tan2α-20tan α-3=0,即(7tan α+1)(tan α-3)=0,∴tan α=-17或tan α=3.由α∈-π2,0,得tan α=-17.∴cs2α1+sin2α=cs2αcs2α+sin2α+2sinαcsα=11+tan2α+2tanα=11+149-27=4936.故选B.
13.D 由cs 2α-sinπ4-α=0,得cs 2α=22cs α-22sin α.∴cs2α-sin2α=(cs α-sin α)(cs α+sin α)=22(cs α-sin α).∵α∈π4,π,cs α-sin α=2csα+π4≠0,∴cs α+sin α=22,两边同时平方,得1+2sin αcs α=12,∴sin 2α=-12.故选D.
14.B 由cs(α+β)+cs(α-β)=sinαsinβ,得2cs αcs β=sinαsinβ,即tan α=2sin βcs β,因为α,β均为锐角,所以tanα2+sin2β=2sinβcsβ3sin2β+2cs2β=23sinβcsβ+2csβsinβ≤223sinβcsβ·2csβsinβ=66,当且仅当3sinβcsβ=2csβsinβ,即tan β=63时,等号成立.故tanα2+sin2β的最大值是66.