海南省海口市琼山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（A卷）

这是一份海南省海口市琼山中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（A卷），共15页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调递减区间是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
2．（3分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．eB．1C．﹣1D．﹣e
3．（3分）在（x﹣）5的展开式中，x的系数为（ ）
A．﹣10B．﹣5C．5D．10
4．（3分）数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则不正确的是（ ）
A．a1＝1B．d＝﹣C．a2+a12＝10D．S10＝40
5．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x﹣2）f'（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣1，1）∪（2，+∞）
6．（3分）已知数列{an}满足，若a1＝2，则a2023＝（ ）
A．2B．﹣1C．D．﹣2
7．（3分）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0D．x2+y2﹣2y＝0
8．（3分）函数的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x﹣6y﹣2＝0B．3x+6y﹣4＝0C．7x﹣6y+6＝0D．7x﹣6y﹣6＝0
9．（3分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（ ）
A．4尺B．4.5尺C．5尺D．5.5尺
10．（3分）已知数列{an}满足a3﹣a2＝9，an﹣4an﹣1+3an﹣2＝0（n≥3），则an﹣a1＝（ ）
A．B．C．2•3n﹣6D．
11．（3分）已知函数f（x）＝（a+1）ex﹣x，g（x）＝﹣x2+（a﹣2）x﹣1，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在a∈R，使得f（x）的图象与x轴相切
B．存在a∈R，使得f（x）有极大值
C．若a＞﹣1，则f（x）＞g（x）
D．若﹣3＜a＜﹣1，则关于x的方程f（x）＝g（x）有且仅有3个不等的实根
12．（3分）如图所示为y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣2，0）
C．（﹣2，0），（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
13．（3分）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念．现有4名男生、2名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有（ ）种排法．
A．120B．144C．192D．240
（多选）14．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，1，1）关于xOy平面的对称点为（1，﹣1，1）
B．若向量，且，则x＝1
C．若向量，则在上的投影向量的模为
D．O为空间中任意一点，若，且x+y+z＝0，则P，A，B，C四点共面
二、非选择题（共58分）
15．（8分）在数列{an}中，已知a1＝2，anan﹣1＝2an﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2021，则n的值为 ．
16．（10分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．
（1）若a＝3，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设f（x）存在两个极值点x1，x2且x1＜x2，若，求证：．
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）y＝2x2+lnx+csx；
（2）y＝x3ex；
（3）y＝ln（3x﹣1）；
（4）；
（5）．
18．（10分）已知在（1+2x）n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含x2的项的系数；
（3）求（1+2x）n×（1+x）6展开式中含x2的项的系数．
19．（10分）已知在等差数列{an}中，a2＝3，a5＝﹣3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（10分）已知数列{an}中．
（1）求证：{an﹣2}是等比数列；
（2）若数列{bn}满足bn＝（2n+1）（an﹣2），求数列{bn}的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）函数f（x）＝x3﹣3x+1的单调递减区间是（ ）
A．（1，2）B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】由导数与单调性的关系求解；
【解答】解：f（x）＝x3﹣3x+1，则f'（x）＝3x2﹣3，
由3x2﹣3＜0得﹣1＜x＜1，
故f（x）的单调递减区间是（﹣1，1），
故选：B．
【点评】本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，属于基础题．
2．（3分）曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与x轴交点的横坐标是（ ）
A．eB．1C．﹣1D．﹣e
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在点（0，1）处的切线方程，取y＝0求得x值即可．
【解答】解：由y＝ex，得y′＝ex，则，
∴曲线y＝ex在点（0，1）处的切线方程为y＝x+1，
取y＝0，可得x＝﹣1．
∴曲线y＝ex在点（0，1）处的切线与x轴交点的横坐标是﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
3．（3分）在（x﹣）5的展开式中，x的系数为（ ）
A．﹣10B．﹣5C．5D．10
【分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为1，求出k的值进行计算即可．
【解答】解：展开式的通项公式Tk+1＝x5﹣k（﹣）k＝x5﹣2k（﹣1）k，
由5﹣2k＝1得2k＝4，得k＝2，
即x次项为（﹣1）2x＝10x，即x的系数为10，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式求出k的值是解决本题的关键，是基础题．
4．（3分）数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则不正确的是（ ）
A．a1＝1B．d＝﹣C．a2+a12＝10D．S10＝40
【分析】由可得，进一步解得，从而即可对选项进行逐一判断．
【解答】解：根据题意，由，得，
解得，则选项A正确．选项B错误；
则a2+a12＝2a1+12d＝2+12×＝10，选项C正确；
S10＝10a1+45d＝10+45×＝40，所以选项D正确．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（3分）已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x﹣2）f'（x）＞0的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣1，1）∪（2，+∞）
【分析】由函数f（x）的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由（x﹣2）f′（x）＞0得到关于x的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集．
【解答】解：由函数f（x）的图象可得，
当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0．
由（x﹣2）f′（x）＞0⇔①或 ②
解①得，x＞2，解②得，﹣1＜x＜1，
综上，不等式（x﹣2）f′（x）＞0的解集为（﹣1，1）∪（2，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性与导数的关系，训练了不等式组的解法，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题．
6．（3分）已知数列{an}满足，若a1＝2，则a2023＝（ ）
A．2B．﹣1C．D．﹣2
【分析】由数列的递推式计算前几项，可得数列的周期，即可得到所求值．
【解答】解：由an+1＝，a1＝2，可得a2＝＝﹣1，
a3＝＝，a4＝＝2，a5＝＝﹣1，，
可得数列{an}是周期为3的数列，
则a2023＝a3×674+1＝a1＝2．
故选：A．
【点评】本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
7．（3分）已知圆C过点（1，﹣1），且与x轴相切，圆心在y轴上，则圆C的方程为（ ）
A．x2+y2+2x＝0B．x2+y2+2y＝0
C．x2+y2﹣2x＝0D．x2+y2﹣2y＝0
【分析】设圆心为C（0，b），半径为r，根据条件，建立方程组r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，求出b，r，即可求出结果．
【解答】解：由题可设圆心为C（0，b），半径为r，
所以r＝|b|且1+（b+1）2＝r2，解得b＝﹣1，r＝1，
故圆C的方程为x2+（y+1）2＝1，即x2+y2+2y＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题．
8．（3分）函数的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．3x﹣6y﹣2＝0B．3x+6y﹣4＝0C．7x﹣6y+6＝0D．7x﹣6y﹣6＝0
【分析】求导得斜率，即可由点斜式求解方程．
【解答】解：，
故，
又，
所以切线方程为，即7x﹣6y﹣6＝0．
故选：D．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（3分）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（ ）
A．4尺B．4.5尺C．5尺D．5.5尺
【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解．
【解答】解：设十二个节气分别对应等差数列{an}中的前12项，且{an}的公差为d，
根据题意，有，
则，解得，
∴立夏的影长为a10＝a1+9d＝11﹣6＝5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．（3分）已知数列{an}满足a3﹣a2＝9，an﹣4an﹣1+3an﹣2＝0（n≥3），则an﹣a1＝（ ）
A．B．C．2•3n﹣6D．
【分析】根据已知的递推关系可以得到{an+1﹣an}为等比数列，再用累加法求解即可．
【解答】解：由已知得：an﹣an﹣1＝3（an﹣1﹣an﹣2）（n≥3），
又a3﹣a2＝9，所以a3﹣a2＝3（a2﹣a1）＝9，即a2﹣a1＝3，
所以{an+1﹣an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
因此，
当n≥2时，，
相加得：．
故选：A．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
11．（3分）已知函数f（x）＝（a+1）ex﹣x，g（x）＝﹣x2+（a﹣2）x﹣1，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在a∈R，使得f（x）的图象与x轴相切
B．存在a∈R，使得f（x）有极大值
C．若a＞﹣1，则f（x）＞g（x）
D．若﹣3＜a＜﹣1，则关于x的方程f（x）＝g（x）有且仅有3个不等的实根
【分析】对f（x）求导，分析单调性即可判断极值，由f（x）＞g（x），可参变分离，根据新函数的单调性极值最值趋势即可判断．
【解答】解：由题知f′（x）＝（a+1）ex﹣1，当a＝0时f′（x）＝ex﹣1，
当x＝0时f′（0）＝0，所以f（x）在x＝0处的切线斜率为0，
此时f（x）的图象与x轴相切．故A正确．
由f′（x）＝（a+1）ex﹣1，当a+1≤0时，f′（x）＜0，
所以f（x）在R上单调递减，无极大值，
当a+1＞0时，f′（x）＞0时时，，
所以f（x）的图象先减后增，有极小值无极大值，故B错误．
当f（x）＞g（x）时，即（a+1）ex﹣x＞﹣x2+（a﹣2）x﹣1，
即a（ex﹣x）＞﹣ex﹣x2﹣x﹣1令h（x）＝ex﹣x，h′（x）＝ex﹣1，
当h′（x）＞0时，x＞0，当h′（x）＜0时，x＜0，
所以h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
h（x）＞h（0）＝1，所以，
令，
，
因为ex+1＞0，所以当x＜﹣1或x＞1时m′（x）＞0，
当﹣1＜x＜1时m′（x）＜0，所以m（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，
在（﹣1，1）上单调递减，m（x）极大值为m（﹣1）＝﹣1，
又x→+∞时，m（x）→﹣1，所以m（x）最大值为﹣1，
所以当a＞﹣1时，a＞m（x）恒成立，即f（x）＞g（x）恒成立，故C正确．
由C选项的判断知，m（x）极小值为，
又x→﹣∞时，m（x）→﹣∞，所以当﹣3＜a＜﹣1时，a＝m（x）有且仅有3个不等的实根，
故f（x）＝g（x）有且仅有3个不等的实根，故D正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于难题．
12．（3分）如图所示为y＝f'（x）的图象，则函数y＝f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣2，0）
C．（﹣2，0），（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞）
【分析】根据原函数的单调性与导函数符号之间的关系，即可得到答案．
【解答】解：当f'（x）＜0时，f（x）单调递减，
从图可知，当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，0）和（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，属于基础题．
13．（3分）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念．现有4名男生、2名女生照相合影，若男生甲不站两端且女生必须相邻，则有（ ）种排法．
A．120B．144C．192D．240
【分析】把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一，再对2名女生进行排列作答．
【解答】解：依题意，把两个女生视为一个整体与4个男生排列，甲站中间3个位置之一的排列有种，
而2名女生的排列有种，
所以符合条件的排列有种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）14．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，1，1）关于xOy平面的对称点为（1，﹣1，1）
B．若向量，且，则x＝1
C．若向量，则在上的投影向量的模为
D．O为空间中任意一点，若，且x+y+z＝0，则P，A，B，C四点共面
【分析】选项A，直接求出点（1，1，1）关于xOy平面的对称点，即可判断出选项A的正误；选项B，利用空间向量垂直的坐标表示，即可得出x，从而可判断出选项B的正误；选项C，根据投影向量的定义，即可求出结果，从而判断出选项C的正误；选项D，根据空间向量共面的结论可判断出选项D的正误．
【解答】解：对于选项A，点（1，1，1）关于xOy平面的对称点为（1，1，﹣1），所以选项A错误，
对于选项B，因为，且，所以2×1+0×2﹣2x＝0，得到x＝1，所以选项B正确，
对于选项C，因为，所以在上的投影向量的模为，故选项C正确，
对于选项D，由空间向量基本定理的推论可知：，且x+y+z＝1时，P，A，B，C四点共面，所以选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
二、非选择题（共58分）
15．（8分）在数列{an}中，已知a1＝2，anan﹣1＝2an﹣1﹣1（n≥2，n∈N*），记数列{an}的前n项之积为Tn，若Tn＝2021，则n的值为 2020 ．
【分析】由数列的递推式推得数列是首项为1，公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式和累乘法，可得所求值．
【解答】解：因∀n∈N*，n≥2，anan﹣1＝2an﹣1﹣1，显然an﹣1≠0，
则有，
而a1＝2，有an﹣1﹣1≠0，则，
从而得数列是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，，整理得，
则，当Tn＝2021时，n＝2020，
所以n的值为2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
16．（10分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣ax（a∈R）．
（1）若a＝3，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设f（x）存在两个极值点x1，x2且x1＜x2，若，求证：．
【分析】（1）将a＝3代入f（x）中，求出f（x）的导函数，再利用导数的几何意义求解即可；
（2）先求出，构造函数，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最小值，从而证明结论．
【解答】解：（1）当a＝3时，f（x）＝lnx+x2﹣3x，
则，f（1）＝﹣2，
∴切线的斜率k＝f'（1）＝0，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y+2＝0．
（2）证明：∵f（x）＝lnx+x2﹣ax，
∴，
由f（x）存在两个极值点x1，x2且x1＜x2，
可知方程2x2﹣ax+1＝0存在两个互异的正实数根x1，x2且x1＜x2，
∴，∴，∴，
∴
＝
＝＝，
令，则，
∵，∴g'（x1）＜0，∴g（x1）在上单调递减，
∴，又，∴，
∴．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．
17．（10分）求下列函数的导数：
（1）y＝2x2+lnx+csx；
（2）y＝x3ex；
（3）y＝ln（3x﹣1）；
（4）；
（5）．
【分析】根据基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式逐项求导即可．
【解答】解：（1）；
（2）y′＝（x3）′ex+x3（ex）′＝3x2ex+x3ex＝（x3+3x2）ex；
（3）；
（4）；
（5）．
【点评】本题考查了基本初等函数、积的导数、商的导数和复合函数的求导公式，是基础题．
18．（10分）已知在（1+2x）n的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5：2．
（1）求n的值；
（2）求含x2的项的系数；
（3）求（1+2x）n×（1+x）6展开式中含x2的项的系数．
【分析】（1）利用二项式系数建立方程即可求解；（2）求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解；（3）根据二项式定理求出展开式中含x2的项，由此即可求解．
【解答】解：（1）∵，∴n＝6．
（2）（1+2x）n的展开式的通项为，
令r＝2，则含x2的项的系数为；
（3）由（1）知（1+2x）n×（1+x）6＝（1+2x）6×（1+x）6，
所以展开式中含x2项为：C+C+1×＝147，
所以展开式中含x2项的系数为147．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
19．（10分）已知在等差数列{an}中，a2＝3，a5＝﹣3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式进行求解即可．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，
由；
（2）
＝（5+3+⋯+7﹣2n）+（2+22+⋯+2n）
＝
＝6n﹣n2+2n+1﹣2．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，数列的求和，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
20．（10分）已知数列{an}中．
（1）求证：{an﹣2}是等比数列；
（2）若数列{bn}满足bn＝（2n+1）（an﹣2），求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）利用数列递推式变形得an+1﹣2＝2（an﹣2），利用等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）得aₙ﹣2＝2n﹣1，即bₙ＝（2n+1）•2n﹣1，利用错位相减法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵，
∴an+1﹣2＝2（an﹣2），
又a1﹣2＝1，则，
∴数列{an﹣2}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得an﹣2＝2n﹣1，即bn＝（2n+1）•2n﹣1，
∴，2，
两式相减得，
∴Tn＝1+（2n﹣1）•2ⁿ．
【点评】本题考查等比数列的定义和错位相减法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．