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北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练18 任意角、弧度制及任意角的三角函数
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这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练18 任意角、弧度制及任意角的三角函数，共6页。
1.(2021云南大理高三检测)如果角α的终边过点(1,-3),则sin α的值等于( )
A.12B.-12C.-32D.-33
答案:C
解析:点(1,-3)到原点的距离r=(-3)2+12=2,由定义知sin α=yr=-32.
2.(2021江苏无锡模拟)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则( )
A.sin α>0B.sin α<0C.cs α>0D.cs α<0
答案:C
解析:由点的坐标可知,角α的终边可能在第一或第四象限,故正弦符号不确定,角α的余弦必为正值.
3.(2021湖北武汉质检)已知角α为第二象限角,且csα2=-csα2,则角α2是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案:C
解析:因为角α为第二象限角,
所以α2为第一或第三象限角.
又csα2<0,所以α2为第三象限角.
4.(2021江西赣州高三期末)我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫作面度制.在面度制下,角θ的面度数为π3,则角θ的余弦值为( )
A.-32B.-12C.12D.32
答案:B
解析:由面度数的定义可知12θ·r2r2=π3,即θ=2π3.所以cs θ=cs2π3=-12.
5.(2021安徽黄山二模)若一扇形的圆心角为144°,半径为10 cm,则扇形的面积为 cm2.
答案:40π
解析:扇形的面积为S=144360·π·102=40π(cm2).
6.(2021上海华东师大二附中三模)与2 021°终边相同的最小正角是 .
答案:221°
解析:因为2 021°=1 800°+221°=5×360°+221°,所以与2 021°终边相同的最小正角是221°.
7.(2021广西南宁三中模拟)已知角α的终边过点P(8m,3),且cs α=-45,则实数m的值为 .
答案:-12
解析:由题意,cs α=8m64m2+9=-45,
解得m=-12.
综合提升组
8.(2021广东梅州一模)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田的弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田的弦长,“矢”指的是弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田面积为72平方米,则sin∠AOB= .
答案:2425
解析:如图所示,AB=6,OA=R,CO=d,
由题意可得弧田面积S=12[6×(R-d)+(R-d)2]=72,解得R-d=1,R-d=-7(舍).
又因为R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.
所以sin∠COA=35,cs∠COA=45,
所以sin∠AOB=2×35×45=2425.
9.(2021广东揭阳质检)长为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=2 dm,弓形高CD=(20-103)cm,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为 cm2.
答案:2 0003π
解析:设截面圆的半径为R,点D在线段CO上,
AD=12AB=10 cm,OD=R-CD=R-(20-103),
根据垂径定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20 cm,
所以∠AOD=π6,则有∠AOB=π3,故可得弧AB=20π3 cm,结合木材长1 m,可得该木材镶嵌在墙中的侧面积约为2 0003π cm2.
10.(2021湖南永州三模)下图为某月牙潭的示意图,该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为30米,两堤岸的连接点A,B间的距离为302米,则该月牙潭的面积为 平方米.
答案:450
解析:如图是内堤岸圆弧所在圆,
由题意OA=OB=30,AB=302,所以OA⊥OB,
弦AB上方弓形面积为S2=14π×302-12×30×30=225π-450,
所以所求面积为S=12π×(152)2-S2=225π-(225π-450)=450.
创新应用组
11.(2021江西赣州一模)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”,它的画法是:以斐波那契数:1,1,2,3,5,8,…为边的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案,例如向日葵、鹦鹉螺等.下图为该螺旋线的前一部分,如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面,则该圆锥的高为( )
A.132B.13154C.134D.132
答案:B
解析:由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,
即接下来的圆弧对应的圆的半径是5+8=13,对应的弧长是l=2π×13×14=13π2.
设圆锥底面半径为r,则2πr=13π2,解得r=134,
所以圆锥的高为h=132-(134) 2=13154.
12.(2021广西柳州模拟)如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=2π3,AC=BC=1,则该月牙形的面积为( )
A.34+π24B.34−π24
C.14+π24D.334−π8
答案:A
解析:如图,取AB的中点D,连接CD.
因为AC=BC=1,所以CD⊥AB.因为∠ACB=2π3,所以∠ACD=π3,
所以AD=AC·sinπ3=1×32=32,所以AB=3.
由正弦定理,得ABsin∠ACB=3sin2π3=332=2R=2,
所以△ABC的外接圆半径R=1.
设△ABC外接圆的圆心为O,连接OD,OA,OB,
则OD⊥AB.
由题意,内侧圆弧为△ABC外接圆的一部分,且其对应的圆心角为∠AOB=2π3,
则弓形ACB的面积为S扇形AOB-S三角形AOB=13πR2-12AB·OD=π3×12-12×3×12=π3−34.
外侧圆弧是以AB为直径的圆的一部分,所以半圆AB的面积为12×π×322=3π8,
则月牙形的面积为3π8-π3−34=34+π24.
1.(2021云南大理高三检测)如果角α的终边过点(1,-3),则sin α的值等于( )
A.12B.-12C.-32D.-33
答案:C
解析:点(1,-3)到原点的距离r=(-3)2+12=2,由定义知sin α=yr=-32.
2.(2021江苏无锡模拟)若角α的终边经过点P(3,a)(a≠0),则( )
A.sin α>0B.sin α<0C.cs α>0D.cs α<0
答案:C
解析:由点的坐标可知,角α的终边可能在第一或第四象限,故正弦符号不确定,角α的余弦必为正值.
3.(2021湖北武汉质检)已知角α为第二象限角,且csα2=-csα2,则角α2是( )
A.第一象限角B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
答案:C
解析:因为角α为第二象限角,
所以α2为第一或第三象限角.
又csα2<0,所以α2为第三象限角.
4.(2021江西赣州高三期末)我们学过用角度制与弧度制度量角,最近,有学者提出用“面度制”度量角,因为在半径不同的同心圆中,同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数,从而称这个常数为该角的面度数,这种用面度作为单位来度量角的单位制,叫作面度制.在面度制下,角θ的面度数为π3,则角θ的余弦值为( )
A.-32B.-12C.12D.32
答案:B
解析:由面度数的定义可知12θ·r2r2=π3,即θ=2π3.所以cs θ=cs2π3=-12.
5.(2021安徽黄山二模)若一扇形的圆心角为144°,半径为10 cm,则扇形的面积为 cm2.
答案:40π
解析:扇形的面积为S=144360·π·102=40π(cm2).
6.(2021上海华东师大二附中三模)与2 021°终边相同的最小正角是 .
答案:221°
解析:因为2 021°=1 800°+221°=5×360°+221°,所以与2 021°终边相同的最小正角是221°.
7.(2021广西南宁三中模拟)已知角α的终边过点P(8m,3),且cs α=-45,则实数m的值为 .
答案:-12
解析:由题意,cs α=8m64m2+9=-45,
解得m=-12.
综合提升组
8.(2021广东梅州一模)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是弧田面积计算公式为:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢).弧田是由圆弧(弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田的弦)围成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田的弦长,“矢”指的是弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弧田的弦AB等于6米,其弧田的弧所在圆为圆O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田面积为72平方米,则sin∠AOB= .
答案:2425
解析:如图所示,AB=6,OA=R,CO=d,
由题意可得弧田面积S=12[6×(R-d)+(R-d)2]=72,解得R-d=1,R-d=-7(舍).
又因为R2-d2=32=9,所以R=5,d=4.
所以sin∠COA=35,cs∠COA=45,
所以sin∠AOB=2×35×45=2425.
9.(2021广东揭阳质检)长为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=2 dm,弓形高CD=(20-103)cm,估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为 cm2.
答案:2 0003π
解析:设截面圆的半径为R,点D在线段CO上,
AD=12AB=10 cm,OD=R-CD=R-(20-103),
根据垂径定理可得R2=OD2+AD2,解得R=20 cm,
所以∠AOD=π6,则有∠AOB=π3,故可得弧AB=20π3 cm,结合木材长1 m,可得该木材镶嵌在墙中的侧面积约为2 0003π cm2.
10.(2021湖南永州三模)下图为某月牙潭的示意图,该月牙潭是由两段在同一平面内的圆弧形堤岸连接围成,其中外堤岸为半圆形,内堤岸圆弧所在圆的半径为30米,两堤岸的连接点A,B间的距离为302米,则该月牙潭的面积为 平方米.
答案:450
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由题意OA=OB=30,AB=302,所以OA⊥OB,
弦AB上方弓形面积为S2=14π×302-12×30×30=225π-450,
所以所求面积为S=12π×(152)2-S2=225π-(225π-450)=450.
创新应用组
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A.132B.13154C.134D.132
答案:B
解析:由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,
即接下来的圆弧对应的圆的半径是5+8=13,对应的弧长是l=2π×13×14=13π2.
设圆锥底面半径为r,则2πr=13π2,解得r=134,
所以圆锥的高为h=132-(134) 2=13154.
12.(2021广西柳州模拟)如图所示,阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是△ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若∠ACB=2π3,AC=BC=1,则该月牙形的面积为( )
A.34+π24B.34−π24
C.14+π24D.334−π8
答案:A
解析:如图,取AB的中点D,连接CD.
因为AC=BC=1,所以CD⊥AB.因为∠ACB=2π3,所以∠ACD=π3,
所以AD=AC·sinπ3=1×32=32,所以AB=3.
由正弦定理,得ABsin∠ACB=3sin2π3=332=2R=2,
所以△ABC的外接圆半径R=1.
设△ABC外接圆的圆心为O,连接OD,OA,OB,
则OD⊥AB.
由题意,内侧圆弧为△ABC外接圆的一部分,且其对应的圆心角为∠AOB=2π3,
则弓形ACB的面积为S扇形AOB-S三角形AOB=13πR2-12AB·OD=π3×12-12×3×12=π3−34.
外侧圆弧是以AB为直径的圆的一部分,所以半圆AB的面积为12×π×322=3π8,
则月牙形的面积为3π8-π3−34=34+π24.
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