北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练27　平面向量的数量积及其应用

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1.(2021北京人大附中高三月考)在等边三角形ABC中,AB=1,D为AB边的中点,则AC·DA的值为( )
A.34B.14C.-14D.-34
答案:C
解析:∵=120°,又D为AB边的中点,AB=1,
∴|DA|=12.
∴AC·DA=|AC||DA|cs 120°=1×12×-12=-14.
2.(2021河北张家口二模)设平面向量a=(1,0),若a·b=2,cs=13,则|b|=( )
A.2B.3
C.9D.6
答案:D
解析:cs=a·b|a||b|=13⇒21·|b|=13⇒|b|=6.
3.(2021山西太原一模)已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,则|2a+b|=( )
A.3B.7C.5D.22
答案:C
解析:a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,
所以a2-2a·b+b2=2,
解得a·b=0,所以|2a+b|=4a2+4a·b+b2=5.
4.(2021西藏拉萨二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则cs为( )
A.1010B.-55C.22D.-22
答案:B
解析:因为a=(-1,2),b=(3,2),
所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).
所以cs=(a+b)·(a-b)|a+b||a-b|=-825×4=-55.
5.(2021江西萍乡二模)已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则a与b的夹角为( )
A.120°B.90°C.60°D.30°
答案:C
解析:由|a-2b|=13,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,所以a·b=1,即1×2×cs=1,cs=12,=60°.
6.(2021吉林长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4 km/h,设v1和v2所成角为θ(0<θ<π),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cs θ等于( )
河流两岸示意图
A.-215B.-25C.-35D.-45
答案:B
解析:由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cs θ+v22=0,即10×4cs θ+42=0,
所以cs θ=-25.
7.(2021贵州贵阳二模)若向量a,b满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b在a方向上的射影为( )
A.1B.-1C.-12D.12
答案:D
解析:由已知条件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=4+2a·b=6,
∴a·b=|a|·|b|cs=1,因此,b在a方向上的射影为|b|cs=12.
8.(2021山东济南一模)已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
答案:C
解析:由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,
所以a·b=-12,由a·b=|a||b|·cs=-12,得=2π3.
9.(2021山西晋中三模)若向量m=(0,-2),n=(3,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量 .
答案:(3,1)(答案不唯一)
解析:因为m=(0,-2),n=(3,1),
所以2m+n=2(0,-2)+(3,1)=(3,-3),
设a=(x,y),x·y≠0,因为a与2m+n垂直,所以a·(2m+n)=0,即3x-3y=0,
令x=3,则y=1,所以a=(3,1).
10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,P为半圆上任意一点,则BP·AD的最小值为 .
答案:2-5
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y)(y≥0),故BP=(x+2,y),AD=(1,-2),
所以BP·AD=x-2y+2.令x-2y+2=t,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得|2-t|5=1,t=2-5,即BP·AD的最小值是2-5.
11.(2021北京海淀模拟)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为 ;|2a-b|= .
答案:π3 27
解析:由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,
因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,
则cs=a·b|a||b|=31×6=12,
因为∈[0,π],所以=π3,
即a与b的夹角为π3,
又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=27.
综合提升组
12.(2021湖南师大附中高三月考)已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6
答案:B
解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,
∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,
(b-2a)·b=b2-2a·b=0,
∴a2=b2=2a·b,
设a与b的夹角为θ,cs θ=a·b|a||b|=12,
∵θ∈[0,π],∴θ=π3.
13.(2021四川成都二诊)在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC·BO=3,则BC边的长度为( )
A.6B.23C.26D.6
答案:A
解析:在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,
∴AD⊥BC,在Rt△BDO中有BD=BO·cs∠OBD,且BD=BC2,
∵BC,BO的夹角为∠OBD,即BC·BO=|BC|·|BO|·cs∠OBD=3,
∴|BC|22=3,可得|BC|=6,∴BC边的长度为6.
14.(2021山东临沂二模)点A,B,C在圆O上,若|AB|=2,∠ACB=30°,则OC·AB的最大值为( )
A.3B.23
C.4D.6
答案:C
解析:点A,B,C在圆O上,|AB|=2,∠ACB=30°,
设三角形的外接圆的半径为R,可得2R=2sin30°=4,所以R=2,
如图,因为|AB|=2,|OC|=R=2,
所以当OC与AB共线同向时,向量的数量积取得最大值4.
故选C.
15.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为 .
答案:6
解析:由题意,得F(-1,0),设P(x0,y0),则有x024+y023=1,解得y02=31-x024,
因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),
所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+31-x024=x024+x0+3=14(x0+2)2+2,
因为-2≤x0≤2,故当x0=2时,OP·FP取得最大值6.
16.(2021天津部分学校高三调研)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=23,∠ABC=π3,且AD·AC=12,则|AD|= ,若M是线段AB上的一个动点,则DM·CM的取值范围是 .
答案:4 454,18
解析:因为AB=BC=23,∠ABC=π3,
所以△ABC为正三角形,
所以AC=23,∠BAC=π3.
因为AB⊥AD,所以∠CAD=π6.
因为AD·AC=12,所以|AD||AC|·csπ6=12,
所以|AD|=1223×32=4.
因为M是线段AB上的一个动点,
所以可设AM=tAB(0≤t≤1),
所以DM·CM=(AM−AD)·(AM−AC)=(tAB−AD)·(tAB−AC)=t2AB2-tAB·AC-tAB·AD+AD·AC=(23)2t2-t·23×23×12-0+12=12t2-6t+12=12t-142+454,
因为0≤t≤1,所以t=14时,12t-142+454取得最小值454,当t=1时,12t-142+454取得最大值18,
所以DM·CM的取值范围是454,18.
创新应用组
17.已知圆O上有三点A,B,C,AB=2且∠ACB=90°,D为BC中点,AD延长线与圆O交于点E,如图,AE·AB=185,则AD·BC的值为( )
A.-1B.-85
C.-85或-1D.-85或1
答案:C
解析:由∠ACB=90°,可得BA为直径,连接BE,
则∠ACB=∠AEB=90°,
故AE·AB=AE·(AE+EB)=AE2+AE·EB=|AE|2=185,
∴|BE|=|AB|2-|AE|2 =4-185=105,
∵∠BDE=∠ADC,∠AEB=∠ACB=90°,则△DBE∽△DAC.
设|BC|=2x,|AD|=y,|AC|=2z,
∵D为BC中点,则|BD|=|CD|=x,
由△DBE∽△DAC可得|BD||AD|=|BE||AC|=|DE||CD|,
∴xy=1052z=3105-yx,4x2+4z2=4,解得x=22,y=102,z=22或x=255,y=2105,z=55.
∵D为BC的中点,则AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12(AC−AB)=12(AB+AC),
当x=z=22,y=102时,AD·BC=12(AB+AC)·(AC−AB)=12(AC2−AB2)=-1;
当x=255,y=2105,z=55时,AD·BC=12(AB+AC)·(AC−AB)=12(AC2−AB2)=1245-4=-85.
综上所述,AD·BC=-1或-85.

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