北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练43　空间向量及其运算

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)课时规范练43　空间向量及其运算，共6页。试卷主要包含了设p等内容，欢迎下载使用。

1.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案:B
解析:当非零向量a,b,c共面时,{a,b,c}不能是空间的一个基底;若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面,所以a,b,c一定是非零向量.因此p是q的必要不充分条件.
2.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )
A.5π6B.2π3C.π3D.π6
答案:D
解析:∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2),∴cs=a·b|a||b|=32×6=32.又∈[0,π],∴a与b的夹角为π6.
3.(2021陕西宝鸡渭滨模拟)已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA=23PB-xPC+16BD,则实数x的值为( )
A.13B.-13C.16D.-16
答案:B
解析:PA=23PB-xPC+16BD=23PB-xPC+16(PD−PB)=12PB-xPC+16PD,
由题意,需12-x+16=1,解得x=-13.
4.(2021天津西青模拟)设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,-6,3),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=( )
A.10B.3C.4D.22
答案:B
解析:因为a⊥c,所以3x-6+3=0,解得x=1,所以a=(1,1,1).因为b∥c,所以13=y-6=13,解得y=-2,所以b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=22+(-1)2+22=3.
5.(2021安徽六安一中月考)已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|=7,则a与b的夹角为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
答案:C
解析:设a与b的夹角为θ.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,所以1+2×1×2cs θ+4=7,解得cs θ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3.
6.已知空间四边形ABCD的每条棱和对角线的长都等于a,E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为( )
A.a2B.12a2C.14a2D.34a2
答案:C
解析: 此空间四边形是一个正四面体,所以AE·AF=12(AB+AC)·12AD=14(AB·AD+AC·AD)=14(a2cs 60°+a2cs 60°)=14a2.故选C.
7.(2021浙江镇海中学模拟)已知空间三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),若向量PA与PB的夹角为60°,则实数m的值是( )
A.1B.2C.-1D.-2
答案:B
解析:∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),
∴PA=(-2-m,-m,8-m),PB=(4-m,-4-m,6-m),
由题意有cs 60°=PA·PB|PA||PB|=3m2-12m+403m2-12m+683m2-12m+68,
即3m2-12m+682=3m2-12m+40,
整理得m2-4m+4=0,解得m=2.
8.(2021山东菏泽一中月考)已知空间四边形OABC各边及其对角线OB,AC的长都是6,AM=2MB,MG=GC,OG=xOA+yOB+zOC,则x+y+z= ,OG的长为 .
答案:1 5
解析:空间四边形OABC为正四面体,
OG=OM+MG=OA+23AB+12MC=OA+23AB+12(MA+AC)=OA+23AB+12×23BA+12AC=OA+13AB+12AC=OA+13(OB−OA)+12(OC−OA)=OA−13OA−12OA+13OB+12OC=16OA+13OB+12OC,∴x+y+z=1.
又OA·OB=OA·OC=OB·OC=6×6×cs 60°=18,
|OG|2=OG2=16OA+13OB+12OC2=136OA2+19OB2+14OC2+19OA·OB+16OA·OC+13OB·OC=136×36+19×36+14×36+19×18+16×18+13×18=25.
所以|OG|=5.
9.如图,已知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点,且OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k≠0,m≠0,求证:
(1)A,B,C,D四点共面,E,F,G,H四点共面;
(2)AC∥EG;
(3)OG=kOC.
证明:(1)∵AC=AD+mAB,m≠0,∴A,B,C,D四点共面.
∵EG=EH+mEF,m≠0,∴E,F,G,H四点共面.
(2)EG=EH+mEF=OH−OE+m(OF−OE)=k(OD−OA)+km(OB−OA)
=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,
∴AC∥EG.
(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.
综合提升组
10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若AP=2PB,则|PD|的值是 .
答案:773
解析:设P(x,y,z),则AP=(x-1,y-2,z-1),PB=(-1-x,3-y,4-z).
由AP=2PB,得点P坐标为-13,83,3.又D(1,1,1),∴|PD|=773.
11.(2021浙江宁波镇海中学月考)已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD,M,N分别为线段AB,CD上的点,满足AM=13AB,DN=14DC,点G在线段MN上,且满足MG=2GN,若AG=xAB+yAC+zAD,则x+y+z= .
答案:79
解析:AG=AM+MG=13AB+23MN,又MN=AN−AM=AN−13AB,
故AG=AM+MG=13AB+23AN−13AB=19AB+23AN,而AN=AD+DN=AD+14DC=AD+14(AC−AD)=14AC+34AD,所以AG=19AB+2314AC+34AD=19AB+16AC+12AD.
因为AB,AC,AD不共面,
故x=19,y=16,z=12,
所以x+y+z=79.
12.(2021山东临沂模拟)已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为 .
答案:(-∞,-2)∪-2,75
解析:由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),
所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-4<0,解得k<75.
若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ<0,
则k=2λ,1=-λ,所以k=-2.
所以若ka+b与2a-b的夹角为钝角,则k<75且k≠-2.
综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪-2,75.
13.已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,MN为其外接球的一条直径,P为正四面体A-BCD表面上任意一点,则PM·PN的最小值为 .
答案:-8
解析:设正四面体外接球球心为O,正四面体A-BCD的外接球半径为3,
设正四面体A-BCD内切球半径为r,一个面的面积为S,高为h,
则VA-BCD=4×13Sr=13Sh,
所以h=4r,显然r+3=h=4r,
所以r=1,即|PO|min=1.
PM·PN=(PO+OM)·(PO+ON)=PO2+OM·ON=PO2-9≥1-9=-8.
创新应用组
14.(2021湖南师大二附中高三月考)给定两个不共线的空间向量a与b,定义叉乘运算:a×b.规定:①a×b为同时与a,b垂直的向量;②a,b,a×b三个向量构成右手系(如图甲);③|a×b|=|a||b|sin.如图乙,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,则下列结论不正确的是( )
图甲
图乙
A.AB×AD=AA1
B.AB×AD=AD×AB
C.(AB+AD)×AA1=AB×AA1+AD×AA1
D.长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=(AB×AD)·CC1
答案:B
解析:∵|AB×AD|=|AB||AD|sin 90°=2×2×1=4,且AA1分别与AB,AD垂直,∴AB×AD=AA1,故A正确;由题意,AB×AD=AA1,AD×AB=A1A,故B错误;∵AB+AD=AC,∴|(AB+AD)×AA1|=|AC×AA1|=22×4×1=82,且(AB+AD)×AA1与DB共线同向.∵|AB×AA1|=2×4×1=8,AB×AA1与DA共线同向,|AD×AA1|=2×4×1=8,AD×AA1与AB共线同向,∴|AB×AA1+AD×AA1|=82,且AB×AA1+AD×AA1与DB共线同向,故C正确;(AB×AD)·CC1=AA1·CC1=4×4×cs 0°=16,故D正确.
15.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cs=33,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为 .
答案:(1,1,1)
解析:由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E1,1,a2,
所以DP=(0,0,a),AE=-1,1,a2,|DP|=a,|AE|=(-1)2+12+a22=2+a24=8+a22.
又cs=33,
所以0×(-1)+0×1+a22a·8+a22=33,
解得a2=4,
即a=2,
所以E(1,1,1).