甘肃省环县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份甘肃省环县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，对任意实数，有，则的值为，若，则的值可以是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第一章，第四章，选择性必修第二册第一章~第二章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知函数在处的导数为3，则（ ）
A.3 B. C.6 D.
2.已知等比数列的公比为4，则的值为（ ）
A.4 B. C. D.16
3.设，若，则（ ）
A.1 B.-2 C.3 D.-1
4.已知向量分别是直线的一个方向向量，若，则（ ）
A.-3 B.-4 C.3 D.4
5.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.16 B.18 C.24 D.26
6.对任意实数，有，则的值为（ ）
A.-20 B.-16 C.22 D.30
7.设点是函数图象上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在棱长为2的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则的值可以是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
10.已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ）
A.数列的首项为1 B.
C. D.数列的公比为
11.下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则__________.
13.在数列中，.若为等差数列，则__________.
14.如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是__________的最大值为__________.（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某班级举行元旦文艺晚会，晚会有3个唱歌节目和3个小品节目.
（1）若第一个节目是小品节目，有多少种排法？
（2）若3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法？
16.（本小题满分15分）
已知函数在点处的切线斜率为-1，且在处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最值.
17.（本小题满分15分）
已知等差数列的其前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（本小题满分17分）
如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若的两个极值点分别为，证明：.
环县一中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 函数在处的导数为.故选B.
2.A 因为等比数列的公比为4，所以.故选A.
3.A ，解得.故选A.
4.C 因为，所以，解得，所以.故选C.
5.B 因为是等差数列，所以也是等差数列，所以，即，解得.故选B.
6.B 因为，所以，故选B.
7.B 点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为..故选B.
8.A 记正方体的外接球的球心为，易得，且，所以，故选A.
9.BC 因为，所以或，解得或5.故选BC.
10.BCD设的公差为，由，得不确定，错误，B正确；C正确，D正确.故选BCD.
11.AD 令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，即，故A正确，错误；
令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以当时，，即，故C错误，D正确.故选AD.
12.18-4ln2 由题意知，令，得，解得，所以，所以.
13.-30 设的公差为，所以，所以，所以，所以.
14.； 点在平面上，
分别取的中点，则点的轨迹是正六边形，
因为正方体的棱长为4，
所以正六边形的边长为，
所以点的轨迹围成图形的面积是.
由投影分析的最大值为12.
15.解：（1）第一个节目是小品节目的排法有（种）；
（2）将3个唱歌节目进行捆绑，与其他3个节目形成4个元素，然后进行全排，则排法种数为.
16.解：（1）由，
根据题意可得
解得，
所以；
（2）由（1）知，令，
解得，
当时，为增函数，
当时，为减函数，
当时，为增函数，
又，
所以.
17.解：（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.
解得
所以；
（2）由（1）知，
所以
.
18.（1）证明：不妨设，则，
所以，所以，即，
在直三棱柱中，平面，
又平面，所以，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，所以，所以，易得平面的一个法向量为，
又，又平面，所以平面；
（2）解：因为，所以，
设平面的一个法向量为，所以
令，解得，所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）解：在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
（2）证明：由（1）知是方程的两个不同的根，所以，
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减
所以，
所以.