贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

这是一份贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，在中，，则的面积为，已知是虚数单位，则复数，如图，在中，，则，若复数等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数的模为（ ）
A．B．2C．D．3
2．已知向量，它们的夹角为，则（ ）
A．10B．C．D．13
3．将图（1）中的等腰直角三角形沿斜边的中线折起得到四面体，如图（2），则在四面体中，与的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直
4．在中，角的对边分别为，则外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，是水平放置的利用斜二测画法得到的直观图，其中，则的面积是（ ）
A．3B．C．D．
6．在中，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是虚数单位，则复数（ ）
A．B．1C．D．
8．如图，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（ ）
A．圆柱B．棱柱C．球D．圆台
10．若复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．的虚部为
B．的实部为1
C．在复平面上对应的点位于第一象限
D．
11．下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．若非零向量满足，且不共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，若三点共线，则________．
13．如图，一艘船以每小时的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为________．
14．已知四棱锥如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形，顶点在底面的投影为底面中心，高为2．则该几何体的体积________，表面积________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤
15．（本小题满分13分）
在中，分别是内角的对边，已知．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
16．（本小题满分15分）
已知复数且，为虚数单位，当为何值时
（1）复数是实数？
（2）复数是虚数？
（3）复数是纯虚数？
17．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥中，底面为的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
18．（本小题满分17分）
已知向量不共线，向量．
（1）若，求的值；
（2）若为相互垂直的单位向量，且，求的值．
19．（本小题满分17分）
在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，分别为线段上一点，且．
（1）证明：；
（2）证明：平面，并求三棱锥的体积．
智成中学2023～2024学年度高一下学期第三次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ．故选C．
2．C 因为向量，它们的夹角为，所以，
所以．故选C．
3．C 由异面直线的定义可知，与异面，由，可知平面，故．故选C．
4．B 设外接圆的半径为，解得外接圆的面积为．故选B．
5．A 根据斜二测画法知为直角三角形，，故的面积．故选A．
6．A 的面积为．
7．B 因为，所以．故选B．
8．C 由图可得，，
所以．因为，，所以．
9．ACD 由几何体的构成可知选项A，C，D正确．
10．BC 因为复数，所以的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确；，所以在复平面上对应的点为，位于第一象限，故C正确；，D错误．故选BC．
11．AD 根据平面向量相等的定义，A正确；若，则不能推出，B错误；表示与共线的向量，表示与共线的向量，C错误；根据平面向量基本定理，D正确．故选AD．
12． 由，又三点共线，得，解得．
13． 由图知，由正弦定理有．
14．8 几何体的体积为．
正侧面及相对侧面底边上的高为．
左、右侧面的底边上的高为．
故几何体的表面积为．
15．解：（1）由，
有．
又，
所以．
（2）由，有，
可得，得，
的面积为．
16．解：（1）当为实数时，，解得或．
（2）当为虚数时，，解得且且．
（3）当为纯虚数时，，解得．
17．证明：（1）平面平面
平面
平面
（2）平面平面
为等腰直角三角形，为斜边的中点
平面
平面
18．解：（1）因为，所以．
因为，所以．
因为，所以存在实数，使得，
则，
解得．
（2）因为，所以，
因为，所以，
即．
因为为相互垂直的单位向量，所以，
则，即．
19．证明：（1）由得，
平面平面，平面平面，
平面．
又平面．
（2）在棱上取一点，使得．
，又，
四边形为平行四边形．
，又．
．
平面平面，又平面，
平面．
平面，且到平面的距离为．
．