贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

这是一份贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题，共8页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第八章8.3。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱的轴截面是矩形B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A．B．2C．1或2D．2或
4．菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（ ）
A．由两个圆台组成B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成D．由两个棱台组成
5．已知平面向量，满足，且，则，的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．平面内顺次连接，，，所组成的图形是（ ）
A．平行四边形B．直角梯形
C．等腰梯形D．以上都不对
8．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为，然后从点处沿南偏东方向前进140米到达点处，在处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（ ）
A．70米B．80米
C．90米D．100米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ）
A．是虚数B．的虚部为
C．D．
10．如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
11．在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．若为边的中点，则的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数是纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值为______．
13．如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则______．
14．在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知复数满足，．
（1）求复数；
（2）求复数的实部和虚部．
16．（本小题满分15分）
如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积．
17．（本小题满分15分）的内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，，，求，．
18．（本小题满分17分）
已知向量，．
（1）求的值；（2）求向量与夹角的余弦值．
19．（本小题满分17分）
在平面四边形中（，在的两侧），，．
（1）若，，求；
（2）若，求四边形的面积的最大值．
智成中学2023~2024学年度高一下学期第二次月考・数学
参考答案、提示及评分细则
1．A ．故选A．
2．C 因为旋转体不是多面体，所以C项不正确．
3．C 由余弦定理得，化简得，解出或2．故选C．
4．C 将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥．故选C．
5．D ，，，设，夹角为，，，又，．故选D．
6．A 由题可知，该圆锥的底面半径为，底面周长为，因此，该圆锥表面积为．
7．B 因为，，，，则，，，，所以四边形为直角梯形．故选B．
8．A 设塔的高度为，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍去）．故选A．
9．AD 因为，所以，
A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确；
B选项中，的虚部为1，B错误；
C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误；
D选项中，，，，D正确．故选AD．
10．ABC 因为为正六边形，即每个内角都为．
对于A，，故A正确；
对于B，为等边三角形，设正六边形边长为，中点为，连接，则，，，所以，即，故B正确；
对于C，易知，，故C正确；
对于D，根据投影向量的定义，在上的投影向量为，故D不正确．故选ABC．
11．ACD 由题意可知，利用余弦定理得，因为，所以，故A正确；
由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误；
在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由上述知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确；
利用正弦定理，，则，，于是的周长，由于是锐角三角形，因此解出，则，故D正确．故选ACD．
12．1 则．
13． 由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，上底面面积为，则下底面面积为，所以，所以．
14．3 记，又，所以，所以，解得．
15．解：（1）设，，，可得，
由，可得，
又由和，
有可得，
由上知；
（2）由，有，
可知复数的实部为，虚部为0．
16．解：（1）设底面圆的直径为，
由题可知，圆柱的体积，解得，
因此圆柱的侧面积为；
（2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1，因此边长，
所以三棱柱的体积．
17．解：（1）由已知，
结合正弦定理得，
所以，
即，亦即，
因为，所以．
（2）由，，得，即，
又，得，
所以，又，．
18．解：（1），，
，，
；
（2）设与的夹角为，则，
，，
，，
，
向量与夹角的余弦值为．
19．解：（1）在中，由余弦定理得，
即．因为，，所以，
又，所以．
在中，由正项定理得，
所以，
又，所以，所以；
（2）设，所以．
在中，由余弦定理得．
所以的面积，
所以，此时，
又的面积，
所以四边形的面积的最大值为．