河北省石家庄市普通高中高三下学期教学质量检测（三）数学试卷(含答案)

这是一份河北省石家庄市普通高中高三下学期教学质量检测（三）数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.C.3D.5
2．已知圆和圆，则两圆公切线的条数为( )
A.1B.2C.3D.4
3．已知等差数列的前n项和为，，，则( )
A.25B.27C.30D.35
4．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.B.C.D.
5．设，，是三个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
6．某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为( )
A.24B.10C.16D.12
7．已知角满足，，则( )
A.B.C.D.2
8．已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过F与C交于P，Q两点，若，则k的值为( )
A.1B.C.2D.3
二、多项选择题
9．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是( )
A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人
C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.
B.的图象关于直线对称
C.
D.若方程在上有且只有5个根，则
11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，则下列说法正确的有( )
A.若点O为中点，则异面直线与所成角的余弦值为
B.若点N为线段上的动点（包含端点），则的最小值为
C.若点P为的中点，则平面与四边形的交线长为
D.若点Q在侧面正方形内（包含边界）且，则点Q的轨迹长度为
三、填空题
12．为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.则直方图中实数a的值为______.
13．给定函数，用表示，中的较大者，记.若函数的图像与有3个不同的交点，则实数a的取值范围是______.
四、双空题
14．已知数列满足：，，，定义：表示整数a除以4的余数与整数b除以4的余数相同，例：，.设其中，数列的前n项和为，则______；满足的m最小值为______.
五、解答题
15．在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，.
（1）若，求的值；
（2）求面积的最大值.
16．在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.
企业研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
经验回归方程①：；经验回归方程②：.
其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差观测值预测值）：
（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由；
（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件.每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元.若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X，总利润为Y.
（ⅰ）求Y与X的关系式，并求和；
（ⅱ）记该月的成本利润率p，在（1）中选择的经验回归方程下，求p的估计值.（结果保留2位小数）
附：成本利润率.
17．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数，求函数极值点的个数.
18．如图，在五棱锥中，平面平面，，.
（1）证明：平面；
（2）若四边形为矩形，且，，.当直线与平面所成的角最小时，求三棱锥体积.
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，直线l与C交于两点，点A在第一象限，点B在第四象限且满足直线与直线的斜率之积为.当l垂直于x轴时，.
（1）求C的方程；
（2）若点P为C的左顶点且满足，直线与交于，直线与交于.
①证明：为定值；
②证明：四边形的面积是面积的2倍.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得，
所以，
故选：B.
2．答案：C
解析：圆的圆心为，半径，圆的圆心，半径，
则，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.
故选：C
3．答案：A
解析：设等差数列的公差为d，则有，
又，则，解得，
则.
故选：A.
4．答案：B
解析：设双曲线的上焦点为，
双曲线的渐近线方程为，
由点到直线的距离公式可得，
又双曲线的实半轴长为，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为，即.
故选：B.
5．答案：D
解析：对于A选项，若，，，则或，无法确定m与l的关系，错误；
对于B选项，根据面面平行的性质定理，缺少的条件，它们可能平行或异面，错误；
对于C选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件，l，平行、相交或均有可能，错误；
对于D选项，若，，，则，由面面垂直的判定定理可得，正确.
故选：D
6．答案：D
解析：若乙值前两天，则甲有两种选择，共有，
若乙值后两天，则甲有两种选择，共有，
若乙不值第一天和最后一天，共有，
共有种不同安排方法.故选：D.
7．答案：C
解析：因为，即，
所以，
整理得，变形得，
所以.
故选：C
8．答案：C
解析：由可得，则，，，
联立，得，
，
，，
由焦半径公式可得，，
则，
则有，，
，解得，又，故.
故选：C.
9．答案：ABD
解析：根据题意，设{是参加100米的同学}，
{是参加400米的同学}，
{是参加1500米的同学}，
则，，，
且，，，
则，
所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，
只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.
故选：ABD
10．答案：ACD
解析：对于A，由，得，即，又，
，故A正确；
对于C，又的图象过点，则，即，
，即得，，又，，
所以，故C正确；
对于B，因为，而，
故直线不是函数的对称轴，故B错误；
对于D，由，得，
解得或，，
方程在上有5个根，从小到大依次为：，，，，，
而第7个根为，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：对于A，取中点E，连接，，，
则，所以为异面直线与所成角，
在中，，故A错误；
对于B，将侧面延旋转至与平面共面，
如图连接，交与点N，此时最小，

且，故B正确；
对于C，如图，以点D为原点，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为平面平面，
所以平面与平面的交线为过点M且平行于的直线，
取靠近的四等分点F，连接，并延长交于点S，
连接，交于点T，
由，所以，，
则，则，所以为平面与平面的交线，
则为平面与平面的交线，
所以为平面与四边形的交线，
由于，所以，
又，所以，
则，故C错误；
对于D，因为点Q在侧面正方形内，设，
则，，
因为，所以，
化简，
则点Q的轨迹为直线在正方形内的线段，其长度为，故D正确.
故选：BD
12．答案：
解析：由直方图可知：组距为10，
所以，
解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：由，，
因为，
所以图象变为：
其中，当且仅当时取最大值；
且设两函数在第一象限的交点为P，即当，， ，
解得：，
由题意与函数的图象有3个不同的交点，
由数形结合易知：，或，
故答案为：.
14．答案：2；40
解析：由，则，，
则、、都不是4的倍数，是4的倍数，
，不是4的倍数，，不是4的倍数，
，不是4的倍数，
，是4的倍数，
依次可得当n为4的倍数时，也是4的倍数，
当n不为4的倍数时，也不是4的倍数，
由，
则有当k是4的倍数时，，当k不是4的倍数时，，则；
当，
，
当，即时，有，
，
故满足的m最小值为40.
故答案为：2；40.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1），，，
（2），，，
，，
，，
当且仅当时，等号成立
16．答案：（1）残差见解析；经验回归方程①更适宜作为y关于x的回归方程，理由见解析；
（2）（i）216；（ii）0.29
解析：（1）经验回归方程②的残差数据如下表：
经验回归方程②的残差图如图所示：
经验回归方程①更适宜作为y关于x的回归方程.
（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：
理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小.
理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄.
理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x轴.
（2）（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率
则，因此
由，则
（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值（万元）则
17．答案：（1）单调性见解析；
（2）2个
解析：（1），
，
当时，当，时，，单调递增；
当时，，单调递减.
当时，当，时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，在单调递增.
（2）时，，，
设，，在区间单调递增.
因为，
所以存在唯一使得，
当时，，单调递减，即单调递减；
当时，，单调递增，即单调递增.
，且在单调递减，所以，又
因此在区间存在唯一零点t
当，时，，单调递增；
当时，，单调递减；所以极值点为1，t，
因此极值点个数为2.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：因为平面平面，，平面，
平面平面，所以平面，
又平面，所以，
又因为，，且平面，所以平面.
（2）以E为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系
设，则，，，
可得与y轴夹角为，所以，
，
，，平面的法向量记为
由得
令，得
即，
当时，等号成立，
此时，直线与平面的所成的角取得最小值，
此时
19．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）当l垂直x轴时，由直线与直线的斜率之积为，故，，设，，则，解得，即，则，解得，，故C的方程为；
（2）①设，，，，由知，将得，
即.由A，B为C上点，则
，.又直线与直线的斜率之积为，故，即.因此；
②由①联立，消去x得，，
，，
由，
即，即.因此有，，.
面积，四边形的面积，即若要证，只需证.
设，，故只需证即可.
直线，，联立解得，
同理得.
故
，故问题得证.
x
5
7
9
11
y
200
298
431
609
x
5
7
9
11
y
200
298
431
609
x
5
7
9
11
y
200
298
431
609
20
21